Singulariteitsteorie

Vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na navigasieSpring na soek

In wiskunde , singulariteitstheorie studies ruimtes wat byna is manifoldsets , maar nie heeltemal. 'N Tou kan dien as 'n voorbeeld van 'n eendimensionele spruitstuk as 'n mens die dikte daarvan verwaarloos. 'N Eienaardigheid kan gemaak word deur dit op te bal, op die vloer te laat val en dit plat te maak. Op sommige plekke kruis die plat tou homself in ongeveer 'X' vorm. Die punte op die vloer waar dit gedoen word, is 'n soort singulariteit, die dubbele punt: 'n stuk van die vloer stem ooreen met meer as 'n stuk tou. Miskien raak die tou ook sonder om te kruis, soos 'n onderstreepte " U". Dit is 'n ander soort eienaardigheid. Anders as die dubbele punt, is dit nie stabiel nie , in die sin dat 'n klein druk die onderkant van die" U "van die" onderstreep "sal ophef.

Vladimir Arnold definieer die hoofdoel van die singulariteitsteorie as 'n beskrywing van hoe voorwerpe van parameters afhang, veral in gevalle waar die eiendomme skielik verander onder 'n klein variasie van die parameters. Hierdie situasies word perestroika ( Russies : перестройка ), bifurkasies of katastrofes genoem. Enkele van die belangrikste wiskundige doelwitte is die klassifikasie van die tipes veranderinge en die kenmerk van stelle parameters wat aanleiding gee tot hierdie veranderinge. Singulariteite kan voorkom in 'n wye verskeidenheid wiskundige voorwerpe, van matrikse wat afhang van parameters tot golffronts. [1]

Hoe kan eienaardighede ontstaan

In die singulariteitsteorie word die algemene verskynsel van punte en stelle singulariteite bestudeer, as deel van die konsep dat veelvoude (spasies sonder singulariteite) spesiale, enkele punte op verskillende maniere kan verwerf. Projeksie is een manier, baie duidelik in visuele terme wanneer driedimensionele voorwerpe in twee dimensies geprojekteer word (byvoorbeeld in een van ons ); As u na die klassieke beeldhouwerk kyk, is die gordynvoue een van die duidelikste kenmerke. Hierdie soort eienaardighede sluit in bytmiddels , baie bekend as die ligpatrone aan die onderkant van 'n swembad.

Ander maniere waarop singulariteite voorkom, is deur degenerasie van veelvuldige struktuur. Die teenwoordigheid van simmetrie kan 'n goeie rede wees om te kyk na wentelvoue , wat veelvoude is wat 'hoeke' gekry het in 'n opvouingsproses, wat lyk soos die vou van 'n tafeldoek.

Singulariteite in algebraïese meetkunde

Algebraïese kromme singulariteite

'N Kromme met 'n dubbele punt
'N Kromme met 'n punt

Histories is eienaardighede die eerste keer opgemerk in die studie van algebraïese kurwes . Die dubbele punt by (0, 0) van die kromme

en die hoogtepunt daar

is kwalitatief verskillend, soos gesien kan word net deur te skets. Isaac Newton het 'n gedetailleerde studie gedoen van alle kubieke kurwes , die algemene familie waartoe hierdie voorbeelde behoort. Dit is opgemerk in die formulering van Bézout se stelling dat sulke enkelvoudige punte met veelvoud getel moet word (2 vir 'n dubbele punt, 3 vir 'n punt), in die berekening van kruisings van krommes.

Dit was toe 'n kort stap om die algemene idee van 'n enkele punt van 'n algebraïese variëteit te definieer ; dit wil sê, om hoër dimensies toe te laat.

Die algemene posisie van singulariteite in algebraïese meetkunde

Sulke eienaardighede in algebraïese meetkunde is in beginsel die maklikste om te bestudeer, aangesien dit gedefinieer word deur polinoomvergelykings en dus in terme van 'n koördinaatstelsel . 'N Mens kan sê dat die ekstrinsieke betekenis van 'n enkele punt nie ter sprake is nie; dit is net dat die koördinate in die omringende ruimte in intrinsieke terme die meetkunde van die algebraïese variëteit op die punt nie regstreeks vertaal nie . Intensiewe studies van sulke eienaardighede het uiteindelik gelei tot die fundamentele stelling van Heisuke Hironaka oor die resolusie van singulariteite (in birationale meetkunde in kenmerk0). Dit beteken dat die eenvoudige proses om 'n stuk tou van homself te "oplig" deur die "voor die hand liggende" gebruik van die kruising op 'n dubbele punt, nie in wese misleidend is nie: al die eienaardighede van algebraïese meetkunde kan as een of ander manier herwin word van 'n baie algemene ineenstorting (deur verskeie prosesse). Hierdie resultaat word dikwels implisiet gebruik om affiniese meetkunde uit te brei na projektiewe meetkunde : dit is heeltemal tipies dat 'n affiniese variëteit oneindige punte op die hipervlak by die oneindigheid verkry , wanneer die sluiting daarvan in die projektiewe ruimte geneem word. Resolusie sê dat so 'n singulariteite eerder hanteer kan word as 'n (ingewikkeld) soort compactification , eindig met 'nkompakte verdeelstuk (vir die sterk topologie, eerder as die Zariski -topologie , dit wil sê).

Die gladde teorie en rampe

Ongeveer op dieselfde tyd as Hironaka se werk, het die katastrofeteorie van René Thom baie aandag geniet. Dit is 'n ander tak van die singulariteitsteorie, gebaseer op die vroeëre werk van Hassler Whitney oor kritieke punte . Rofweg gesproke, 'n kritieke punt van 'n gladde funksie is waar die vlak stel ontwikkel 'n enkele punt in die geometriese sin. Hierdie teorie handel oor differensieerbare funksies in die algemeen, eerder as net polinoom. Ter vergoeding word slegs die stabiele verskynsels in ag geneem. 'N Mens kan redeneer dat alles wat deur klein veranderinge vernietig word, in die natuur nie waargeneem sal word nie; die sigbare isdie stal. Whitney het getoon dat die stabiele struktuur van kritieke punte in plaaslike terme in 'n lae aantal veranderlikes baie beperk is. Thom het hierop, en sy eie vroeëre werk, voortgebou om 'n katastrofe -teorie te skep wat veronderstel is om die ononderbroke verandering in die natuur te verklaar.

Arnold se siening

Terwyl Thom 'n vooraanstaande wiskundige was, het die daaropvolgende modieuse aard van elementêre katastrofeteorie soos deur Christopher Zeeman gepropageer, 'n reaksie veroorsaak, veral van Vladimir Arnold . [2] Hy was moontlik grootliks verantwoordelik vir die toepassing van die term singulariteitsteorie op die gebied, insluitend die insette van algebraïese meetkunde, sowel as die wat uit die werk van Whitney, Thom en ander skrywers voortspruit. Hy skryf in terme waarin hy sy afkeer van die te groot klem op 'n klein deel van die gebied duidelik maak. Die grondslag vir gladde singulariteite word geformuleer as die konstruksie van ekwivalensieverhoudings op enkelvoudige punte en kieme. Tegnies behels dit groepaksies van Lie -groepe op ruimtes van stralers ; in minder abstrakte terme word Taylor -reekse ondersoek na veranderings van veranderlikes, met afsonderlikhede vasgemaak met genoeg afgeleides . Volgens Arnold moet toepassings in simplektiese meetkunde as die meetkundige vorm van klassieke meganika gesien word .

Dualiteit

'N Belangrike rede waarom eiesoortighede probleme in wiskunde veroorsaak, is dat die aanroeping van Poincaré -dualiteit ook nie toegelaat word as die struktuur misluk nie. 'N Groot vooruitgang was die bekendstelling van die kruis -kohomologie , wat aanvanklik ontstaan ​​het uit pogings om dualiteit te herstel deur gebruik te maak van lae. Talle verbindings en toepassings spruit voort uit die oorspronklike idee, byvoorbeeld die konsep van perverse gerf in homologiese algebra .

Ander moontlike betekenisse

Die teorie hierbo het nie direk betrekking op die konsep van wiskundige singulariteit as 'n waarde waarteen 'n funksie nie gedefinieer word nie. Sien byvoorbeeld geïsoleerde singulariteit , essensiële singulariteit , verwyderbare singulariteit . Die monodromie -teorie van differensiaalvergelykings , in die komplekse domein, rondom singulariteite, kom egter in verband met die meetkundige teorie. Grofweg bestudeer monodromie die manier waarop 'n dekkaart kan ontaard, terwyl die singulariteitsteorie die manier waarop 'n veelvoud kan ontaard bestudeer; en hierdie velde is gekoppel.

Sien ook

  • Raaklyn
  • Zariski raaklyn
  • Algemene standpunt
  • Kontak (wiskunde)
  • Enkelvoudige oplossing
  • Stratifikasie (wiskunde)
  • Kruising homologie
  • Gemengde Hodge -struktuur
  • Whitney sambreel
  • Ronde funksie

Notas

  1. ^ Arnold, VI (2000). "Singulariteitsteorie" . www.newton.ac.uk . Isaac Newton Instituut vir Wiskundige Wetenskappe . Besoek op 31 Mei 2016 .
  2. ^ Arnold 1992

Verwysings

  • VI Arnold (1992). Katastrofeteorie . Springer-Verlag. ISBN 978-3540548119.
  • E. Brieskorn; H. Knörrer (1986). Vliegtuigalgebraïese kurwes . Birkhauser-Verlag. ISBN 978-3764317690.