Singulariteit (wiskunde)

Vanuit Wikipedia, die vrye ensiklopedie
Spring na navigasieSpring na soek

In wiskunde is 'n singulariteit 'n punt waar 'n gegewe wiskundige voorwerp nie gedefinieer word nie, of 'n punt waar die wiskundige voorwerp op ' n spesifieke manier ophou om goed op te tree, soos deur 'n gebrek aan onderskeidbaarheid of analise . [1] [2] [3] [4]

Byvoorbeeld, die werklike funksie

het 'n eiesoortigheid by , waar die numeriese waarde van die funksie nader dus word die funksie nie gedefinieer nie. Die absolute waarde funksiehet ook 'n singulariteit by x = 0 , aangesien dit daar nie onderskei kan word nie. [1] [5]

Die algebraïese kromme gedefinieer deur in die die koördinaatstelsel het 'n eiesoortigheid (genoem 'n knus ) by. Vir singulariteite in algebraïese meetkunde , sien enkelpunt van 'n algebraïese variëteit . Vir singulariteite in differensiële meetkunde , sien singulariteitsteorie .

Werklike ontleding

In werklike analise is singulariteite óf diskontinuïteite óf diskontinuïteite van die afgeleide (soms ook diskontinuïteite van hoër -orde afgeleides). Daar is vier soorte diskontinuïteite: tipe I , wat twee subtipes het, en tipe II , wat ook in twee subtipes verdeel kan word (alhoewel dit gewoonlik nie so is nie).

Veronderstel dit om die manier waarop hierdie twee tipes grense gebruik word, te beskryf is 'n funksie van 'n werklike argument , en vir enige waarde van sy argument, sê , dan die linkerhandse limiet ,, en die regterhandse limiet ,, word gedefinieer deur:

, beperk deur en
, beperk deur .

Die waarde is die waarde wat die funksie neig na die waarde benaderings van onder , en die waarde is die waarde wat die funksie neig na die waarde benaderings van bo , ongeag die werklike waarde wat die funksie het op die punt waar .

Daar is 'n paar funksies waarvoor hierdie perke glad nie bestaan ​​nie. Byvoorbeeld, die funksie

neig na niks as benaderings . Die perke in hierdie geval is nie oneindig nie, maar eerder ongedefinieerd : daar is geen waarde nievestig op. Deur te leer uit komplekse analise word dit soms 'n noodsaaklike eienaardigheid genoem .

Die moontlike gevalle teen 'n gegewe waarde want die argument is soos volg.

  • 'N Punt van kontinuïteit is 'n waarde van waarvoor , soos 'n mens verwag vir 'n gladde funksie. Al die waardes moet eindig wees. As is nie 'n punt van kontinuïteit nie, dan vind 'n diskontinuïteit plaas by .
  • 'N Diskontinuïteit van tipe I kom voor wanneer beide en bestaan ​​en is eindig, maar ten minste een van die volgende drie voorwaardes geld ook:
    • ;
    • is nie gedefinieer vir die geval van ; of
    • het 'n gedefinieerde waarde, wat egter nie ooreenstem met die waarde van die twee perke nie.
    Tipe I -diskontinuiteite kan verder onderskei word as een van die volgende subtipes:
    • 'N Sprong -diskontinuïteit vind plaas wanneer, ongeag of word gedefinieer, en ongeag die waarde daarvan as dit gedefinieer word.
    • 'N Verwyderbare diskontinuïteit vind plaas wanneer, ook ongeag of word gedefinieer, en ongeag die waarde daarvan as dit gedefinieer word (maar wat nie ooreenstem met die van die twee perke nie).
  • 'N Tipe II -diskontinuïteit kom voor wanneer beide of bestaan ​​nie (moontlik albei). Dit het twee subtipes, wat gewoonlik nie afsonderlik beskou word nie:
    • 'N Oneindige diskontinuïteit is die spesiale geval wanneer die linker- of regterhandlimiet nie bestaan ​​nie, spesifiek omdat dit oneindig is, en die ander limiet óf oneindig is, óf 'n goed gedefinieerde eindige getal is. Met ander woorde, die funksie het 'n oneindige diskontinuïteit wanneer die grafiek 'n vertikale asimptoot het .
    • 'N Essensiële singulariteit is 'n term wat uit komplekse analise ontleen is (sien hieronder). Dit is die geval wanneer die een of die ander perke beperk word of bestaan ​​nie, maar nie omdat dit 'n oneindige diskontinuïteit is nie . Essensiële eienaardighede benader geen beperking nie, selfs nie as geldige antwoorde uitgebrei word om in te sluit nie.

In werklike analise is 'n singulariteit of diskontinuïteit 'n eienskap van 'n funksie alleen. Enige eiesoortighede wat in die afgeleide van 'n funksie bestaan, word beskou as deel van die afgeleide, nie die oorspronklike funksie nie.

Koördineer singulariteite

'N Koordinaat -singulariteit vind plaas wanneer 'n oënskynlike singulariteit of diskontinuïteit in een koördinaatraam voorkom, wat verwyder kan word deur 'n ander raam te kies. 'N Voorbeeld hiervan is die skynbare singulariteit op die 90 grade breedtegraad in sferiese koördinate . 'N Voorwerp wat noordwaarts beweeg (byvoorbeeld langs die lyn 0 grade lengtegraad) op die oppervlak van 'n bol sal skielik 'n oombliklike lengteverandering by die pool ondervind (in die geval van die voorbeeld, spring van lengte 0 tot 180 grade) . Hierdie diskontinuïteit is egter net duidelik; dit is 'n artefak van die gekose koördinaatstelsel, wat enkelvoudig is by die pole. 'N Ander koördinaatstelsel sou die skynbare diskontinuïteit uitskakel (bv. Deur die breedte-/lengtegraadvoorstelling te vervang deur 'nn -vektorvoorstelling ).

Komplekse ontleding

In komplekse analise is daar verskillende klasse van eienaardighede. Dit sluit die geïsoleerde singulariteite, die nie -geïsoleerde singulariteite en die takpunte in.

Geïsoleerde eienaardighede

Gestel U is 'n oop deelversameling van die komplekse getalle C , met die punt a 'n element van U , en dat f 'n komplekse differensieerbare funksie is wat gedefinieer word in 'n buurt rondom a , uitgesluit a : U \ { a }, dan:

  • Die punt a is 'n verwyderbare singulariteit van f as daar 'n holomorfiese funksie g is gedefinieer op al U , sodat f ( z ) = g ( z ) vir alle z in U \ { a }. Die funksie g is 'n deurlopende plaasvervanger vir die funksie f . [6]
  • Die punt a is 'n paal of nie-noodsaaklike singulariteit van f as daar 'n holomorfe funksie bestaan g gedefinieer op U met g ( a ) nie-nul, en 'n natuurlike getal n sodanig dat f ( z ) = g ( Z ) / ( Z - a ) n vir alle z in U \ { a }. Die minste van hierdie getal n word die orde van die paal genoem. Die afgeleide van 'n nie-essensiële singulariteit self het 'n nie-essensiële singulariteit, met n vermeerder met 1 (behalwe as n 0 is, sodat die singulariteit verwyderbaar is).
  • Die punt a is 'n essensiële singulariteit van f as dit nie 'n verwyderbare singulariteit of 'n paal is nie. Die punt a is 'n noodsaaklike eienaardigheid as en slegs as die Laurent -reeks oneindig baie magte van negatiewe graad het. [2]

Nie -geïsoleerde eienaardighede

Benewens geïsoleerde singulariteite, kan komplekse funksies van een veranderlike ander enkelvoudige gedrag vertoon. Dit word nie -geïsoleerde singulariteite genoem, waarvan daar twee tipes is:

  • Clusterpunte : limietpunte van geïsoleerde singulariteite. As hulle almal pole is, ondanks die toelating van Laurent -reeksuitbreidings op elkeen, is daar nie so 'n uitbreiding moontlik nie.
  • Natuurlike grense : enige nie-geïsoleerde stel (bv. 'N kromme) waarop funksies nie analities voortgesit kan word nie (of buite hulle as dit geslote krommes in die Riemann-sfeer is ).

Takpunte

Takpunte is oor die algemeen die gevolg van 'n funksie met veel waarde , soos of , wat binne 'n sekere beperkte domein gedefinieer word, sodat die funksie binne die domein met 'n enkele waarde gemaak kan word. Die snit is 'n lyn of kromme wat uitgesluit is van die domein om 'n tegniese skeiding tussen diskontinue waardes van die funksie in te voer. As die snit werklik nodig is, sal die funksie aan elke kant van die taksny verskillende waardes hê. Die vorm van die taksny is 'n keuse, al moet dit twee verskillende takpunte verbind (soos en vir ) wat vasgemaak is.

Eindigheid in eindtyd

Die wedersydse funksie , wat hiperboliese groei toon .

'N Eindige tyd-singulariteit vind plaas wanneer een invoerveranderlike tyd is, en 'n uitsetveranderlike op 'n eindige tyd na oneindigheid toeneem. Dit is belangrik in kinematika en PDE's ( Partial Differential Equations ) - oneindig kom nie fisies voor nie, maar die gedrag naby die singulariteit is dikwels van belang. Wiskundig is die eenvoudigste eindtydse singulariteite kragwette vir verskillende eksponente van die vormwaarvan die eenvoudigste hiperboliese groei is , waar die eksponent (negatief) 1 is: Meer presies, om 'n eiesoortigheid op 'n positiewe tyd te kry namate die tyd vorder (sodat die uitset tot oneindig word) (gebruik t vir tyd, keer rigting om sodat die tyd tot oneindig word, en die singulariteit vorentoe van 0 na 'n vaste tyd verskuif ).

'N Voorbeeld hiervan is die bonsende beweging van 'n onelastiese bal op 'n vliegtuig. As geïdealiseerde beweging in ag geneem word, waarin dieselfde fraksie kinetiese energie by elke weiering verlore gaan, word die frekwensie van weerkaats oneindig, aangesien die bal in 'n eindige tyd tot stilstand kom. Ander voorbeelde van oneindige tydseenhede sluit in die verskillende vorme van die Painlevé-paradoks (byvoorbeeld die neiging van 'n kryt om oor te slaan as dit oor 'n bord gesleep word) en hoe die presesietempo van 'n muntstuk wat op 'n plat oppervlak gespin word, versnel tot oneindig- voordat hy skielik stop (soos bestudeer met die speelgoed van die Euler's Disk ).

Hipotetiese voorbeelde sluit in Heinz von Foerster se facetious " Doomsday's equation " (simplistiese modelle lewer oneindige menslike bevolking in eindige tyd).

Algebraïese meetkunde en kommutatiewe algebra

In algebraïese meetkunde is 'n singulariteit van 'n algebraïese variëteit 'n punt van die variëteit waar die raaklynruimte nie gereeld gedefinieer kan word nie. Die eenvoudigste voorbeeld van eienaardighede is krommes wat hulself kruis. Maar daar is ander soorte eienaardighede, soos knusse . Byvoorbeeld, die vergelyking y 2 - x 3 = 0 definieer 'n kromme met 'n punt by die oorsprong x = y = 0 . U kan die x -as op hierdie punt as 'n raaklyn definieer , maar hierdie definisie kan nie dieselfde wees as die definisie op ander punte nie. In hierdie geval is die x-as is 'n 'dubbele raaklyn'.

Vir affiniewe en projektiewe variëteite is die singulariteite die punte waar die Jacobiaanse matriks 'n laer rang het as op ander punte van die variëteit.

'N Ekwivalente definisie in terme van kommutatiewe algebra kan gegee word, wat geld vir abstrakte variëteite en skemas : 'n Punt is enkelvoud as die plaaslike ring op hierdie punt nie 'n gewone plaaslike ring is nie .

Sien ook

  • Katastrofe teorie
  • Omskryf en ongedefinieerd
  • Degenerasie (wiskunde)
  • Verdeling met nul
  • Hiperboliese groei
  • Patologies (wiskunde)
  • Enkelvoudige oplossing
  • Verwyderbare eienaardigheid

Verwysings

  1. ^ a b "Die definitiewe woordelys van hoër wiskundige jargon - singulariteit" . Math Vault . 2019-08-01 . Ontsluit 2019/12/12 .
  2. ^ a b "Singulariteite, nulle en pole" . wiskundefakulteit.fullerton.edu . Ontsluit 2019/12/12 .
  3. ^ "Singulariteit | komplekse funksies" . Ensiklopedie Britannica . Ontsluit 2019/12/12 .
  4. ^ "Singulariteit (wiskunde)" . TheFreeDictionary.com . Ontsluit 2019/12/12 .
  5. ^ Berresford, Geoffrey C .; Rockett, Andrew M. (2015). Toegepaste berekening . Cengage -leer. bl. 151. ISBN 978-1-305-46505-3.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Singularity" . mathworld.wolfram.com . Ontsluit 2019/12/12 .