Herhaal desimale

'N Herhalende desimale of herhalende desimaal is 'n desimale voorstelling van 'n getal waarvan die syfers periodiek is (die waardes word gereeld herhaal) en die oneindig herhaalde gedeelte is nie nul nie . Daar kan aangetoon word dat 'n getal rasioneel is as en slegs as die desimale voorstelling herhaal of eindig (dws almal behalwe eindig, baie syfers is nul). Byvoorbeeld, die desimale voorstelling van1/3word periodiek net na die desimale punt en herhaal die enkelsyfer "3" vir ewig, dws 0.333 .... 'n Meer ingewikkelde voorbeeld is 3227/555, waarvan die desimaal by die tweede syfer na die desimale punt periodiek word en dan die volgorde "144" vir altyd herhaal, dws 5.8144144144 .... Op die oomblik is daar geen enkele algemeen aanvaarde notasie of frasering vir die herhaling van desimale getalle nie.

Die oneindig herhaal syfer volgorde staan bekend as die repetend of reptend . As die herhaling nul is, word hierdie desimale voorstelling 'n eind desimaal genoem eerder as 'n herhalende desimaal, aangesien die nulle weggelaat kan word en die desimale eindig voor hierdie nulle. ^[1] Elke eindwoordige desimale voorstelling kan as 'n desimale breuk geskryf word , 'n breuk waarvan die noemer 'n mag van 10 is (bv. 1.585 = 1585/1000); dit kan ook geskryf word as 'n verhouding van die vorm k/2 ⁿ 5 ^m(bv. 1.585 = 317/2 ³ 5 ²). Maar elke getal met 'n eindige desimaal verteenwoordiging het ook trivially n tweede, alternatiewe verteenwoordiging as 'n herhalende desimale wie repetend is die syfer 9 . Dit word verkry deur die finale (regter) nie-nul-syfer met een te verminder en 'n herhaling van 9. 1.000 ... = 0.999 ... en 1.585000 ... = 1.584999 ... is twee voorbeelde hiervan. (Hierdie tipe herhalende desimaal kan verkry word deur langdeling as 'n gewysigde vorm van die gewone delingsalgoritme gebruik word . ^[2] )

Daar word gesê dat enige getal wat nie as 'n verhouding van twee heelgetalle uitgedruk kan word nie , irrasioneel is . Hulle desimale voorstelling eindig nie en word nie oneindig herhaal nie, maar strek vir ewig sonder gereelde herhaling. Voorbeelde van sulke irrasionale getalle is die vierkantswortel van 2 en $π$ .

Agtergrond

Notasie

Daar is verskillende notasiekonvensies om herhalende desimale voor te stel. Nie een van hulle word universeel aanvaar nie.

In die Verenigde State , Kanada , Indië , Frankryk , Duitsland , Switserland , Tsjeggië en Slowakye is die konvensie om 'n horisontale lyn ('n vinculum ) bo die herhaling te trek. (Sien voorbeelde in tabel hieronder, kolom Vinculum.)
In die Verenigde Koninkryk , Nieu-Seeland , Australië , Suid-Korea en die vasteland van China is die byeenkoms om kolletjies bo die buitenste syfers van die repetisie te plaas. (Sien voorbeelde in kolom Dots in die tabel hieronder.)
In dele van Europa , Viëtnam en Rusland is die ooreenkoms om die herhaling tussen hakies in te sluit . (Kyk na voorbeelde in die tabel hieronder, kolom hakies.) Dit kan verwarring veroorsaak met die notasie vir standaardonsekerheid .
In Spanje en sommige Latyns-Amerikaanse lande word die boognotasie oor die herhaling ook gebruik as alternatief vir die vinculum en die puntnotasie. (Sien voorbeelde in die tabel hieronder, kolom Arc.)
Informeel word herhalende desimale dikwels deur 'n ellips voorgestel (drie periodes, 0,333 ...), veral as die vorige notasiekonvensies die eerste keer op skool geleer word. Hierdie notasie lei tot onsekerheid oor watter syfers herhaal moet word en selfs of daar enigsins herhaling plaasvind, aangesien sulke ellipse ook gebruik word vir irrasionele getalle ; $π$ , byvoorbeeld, kan voorgestel word as 3.14159 ....

Voorbeelde
Breuk	Vinculum	Kolletjies	Hakies	Boog	Ellipsis
1/9	0. 1	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}}}$	0. (1)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frons} {1}}}$	0.111 ...
1/3 = 3/9	0. 3	${\ displaystyle 0. {\ dot {3}}}$	0. (3)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frons} {3}}}$	0,333 ...
2/3 = 6/9	0. 6	${\ displaystyle 0. {\ dot {6}}}$	0. (6)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frons} {6}}}$	0.666 ...
9/11 = 81/99	0. 81	${\ displaystyle 0. {\ dot {8}} {\ dot {1}}}$	0. (81)	${\ displaystyle 0. {\ overset {\ frons} {81}}}$	0,8181 ...
7/12 = 525/900	0,58 3	${\ displaystyle 0.58 {\ dot {3}}}$	0,58 (3)	${\ displaystyle 0.58 {\ overset {\ frown} {3}}}$	0,58 333 ...
1/7 = 142857/999999	0. 142857	${\ displaystyle 0. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	0. (142857)	^[3]	0,142857 142857 ...
1/81 = 12345679/999999999	0. 012345679	${\ displaystyle 0. {\ dot {0}} 1234567 {\ dot {9}}}$	0. (012345679)	^[3]	0,012345679 012345679 ...
22/7 = 3142854/999999	3. 142857	${\ displaystyle 3. {\ dot {1}} 4285 {\ dot {7}}}$	3. (142857)	^[3]	3.142857 142857 ...

In Engels is daar verskillende maniere om herhalende desimale voor te lees. 1.2 34 kan byvoorbeeld gelees word "een punt twee herhaal drie vier", "een punt twee herhaal drie vier", "een punt twee herhalende drie vier", "een punt twee herhaal drie vier" of "een punt twee tot in die oneindigheid drie vier ".

Desimale uitbreiding en herhalingsvolgorde

Om 'n rasionale getal wat as 'n breuk in 'n desimale vorm voorgestel word, in desimale vorm te omskakel , kan 'n lang deling gebruik word . Beskou byvoorbeeld die rasionale getal 5/74:

  0,0 675 74) 5.00000 4.44 560 518 420 370 500

ens. Let op dat ons by elke stap 'n res het; die opeenvolgende restant hierbo is 56, 42, 50. As ons 50 as die restant bereik, en die "0" na onder bring, deel ons 500 deur 74, wat dieselfde probleem is waarmee ons begin het. Daarom herhaal die desimale: 0,0675 675 675 ....

Elke rasionale getal is 'n eind- of herhalende desimaal

Vir enige gegewe deler kan slegs baie verskillende restante voorkom. In die voorbeeld hierbo is die 74 moontlike restante 0, 1, 2, ..., 73. As die res op enige punt in die afdeling 0 is, eindig die uitbreiding op daardie punt. Dan word die lengte van die herhaling, ook genoem 'periode', gedefinieer as 0.

As 0 nooit as 'n restant voorkom nie, gaan die delingsproses vir altyd voort, en uiteindelik moet 'n restant plaasvind wat voorheen plaasgevind het. Die volgende stap in die afdeling sal dieselfde nuwe syfer in die kwosiënt oplewer, en dieselfde res, soos die vorige keer dieselfde was. Daarom sal die volgende afdeling dieselfde resultate herhaal. Die herhalende reeks van syfers word 'herhaal' genoem, met 'n sekere lengte groter as 0, ook genoem 'periode'. ^[4]

Elke herhalende of eindige desimaal is 'n rasionale getal

Elke herhalende desimale getal voldoen aan 'n lineêre vergelyking met heelgetal-koëffisiënte, en die unieke oplossing daarvan is 'n rasionale getal. Om laasgenoemde punt te illustreer, voldoen die getal α = 5.8144144144 ... hierbo aan die vergelyking 10000 α - 10 α = 58144.144144 ... - 58.144144 ... = 58086 , waarvan die oplossing α = is 58086/9990 = 3227/555. Die proses om hierdie heelgetal-koëffisiënte te vind, word hieronder beskryf .

Waardetabel

breuk	desimale uitbreiding	ℓ ₁₀
1/2	0.5	0
1/3	0. 3	1
1/4	0,25	0
1/5	0.2	0
1/6	0,1 6	1
1/7	0. 142857	6
1/8	0,125	0
1/9	0. 1	1
1/10	0.1	0
1/11	0. 09	2
1/12	0,08 3	1
1/13	0. 076923	6
1/14	0,0 714285	6
1/15	0,0 6	1
1/16	0,0625	0

breuk	desimale uitbreiding	ℓ ₁₀
1/17	0. 0588235294117647	16
1/18	0,0 5	1
1/19	0. 052631578947368421	18
1/20	0,05	0
1/21	0. 047619	6
1/22	0,0 45	2
1/23	0. 0434782608695652173913	22
1/24	0,041 6	1
1/25	0,04	0
1/26	0,0 384615	6
1/27	0. 037	3
1/28	0,03 571428	6
1/29	0. 0344827586206896551724137931	28
1/30	0,0 3	1
1/31	0. 032258064516129	15

breuk	desimale uitbreiding	ℓ ₁₀
1/32	0,03125	0
1/33	0. 03	2
1/34	0,0 2941176470588235	16
1/35	0,0 285714	6
1/36	0,02 7	1
1/37	0. 027	3
1/38	0,0 263157894736842105	18
1/39	0. 025641	6
1/40	0,025	0
1/41	0. 02439	5
1/42	0,0 238095	6
1/43	0. 023255813953488372093	21
1/44	0,02 27	2
1/45	0,0 2	1
1/46	0,0 2173913043478260869565	22

Daardie breuk is die eenheidsbreuk1/nen ℓ ₁₀ is die lengte van die (desimale) herhaling.

Die lengtes van die herhalings van 1/n, n = 1, 2, 3, ..., is:

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (volgorde A051626 in die OEIS ).

Die herhalings van 1/n, n = 1, 2, 3, ..., is:

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (volgorde A036275 in die OEIS ).

Die herhalende lengtes van 1/bl, p = 2, 3, 5, ... ( n de prime), is:

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (volgorde A002371 in die OEIS ).

Die minste primes p waarvoor 1/blhet lengte herhaal n , n = 1, 2, 3, ..., is:

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (volgorde A007138 in die OEIS ).

Die minste primes p waarvoor k/blhet n verskillende siklusse ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., is:

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (volgorde A054471 in die OEIS ).

Ter vergelyking, die lengtes van die herhalings van die binêre breuke1/n, n = 1, 2, 3, ..., is:

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (volgorde A007733 in die OEIS ) .

Breuke met primêre noemers

'N Breuk in laagste terme met 'n prima deler buiten 2 of 5 (dws kopriem tot 10) produseer altyd 'n herhalende desimale. Die lengte van die herhaling (periode van die herhalende desimale segment) van 1/blis gelyk aan die orde van 10 modulo p . As 10 'n primitiewe wortel modulo p is , is die lengte van die herhaling gelyk aan p - 1; so nie, is die lengte van die herhaling 'n faktor van p - 1. Hierdie resultaat kan afgelei word uit die klein stelling van Fermat , wat sê dat 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

Die basis-10 herhaling van die resiprook van enige priemgetal groter as 5 is deelbaar met 9. ^[5]

As die herhalende lengte van 1/blvir priem p is gelyk aan p - 1 dan word die herhaling, uitgedruk as 'n heelgetal, 'n sikliese getal genoem .

Sikliese getalle

Voorbeelde van breuke wat tot hierdie groep behoort, is:

1/7= 0. 142857 , 6 herhalende syfers
1/17= 0. 0588235294117647 , 16 herhalende syfers
1/19= 0. 052631578947368421 , 18 herhalende syfers
1/23= 0. 0434782608695652173913 , 22 herhalende syfers
1/29= 0. 0344827586206896551724137931 , 28 herhalende syfers
1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 herhalende syfers
1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 herhalende syfers
1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 herhalende syfers
1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 herhalende syfers

Die lys kan voortgaan om die breuke in te sluit 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193, ens. (volgorde A001913 in die OEIS ).

Elke regte veelvoud van 'n sikliese getal (dit wil sê 'n veelvoud met dieselfde aantal syfers) is 'n rotasie:

1/7 = 1 × 0,142857 ... = 0,142857 ...
2/7 = 2 × 0,142857 ... = 0,285714 ...
3/7 = 3 × 0,142857 ... = 0,428571 ...
4/7 = 4 × 0,142857 ... = 0,571428 ...
5/7 = 5 × 0,142857 ... = 0,714285 ...
6/7 = 6 × 0.142857 ... = 0.857142 ...

Die rede vir die sikliese gedrag blyk uit 'n rekenkundige oefening van lang verdeling van 1/7: die opeenvolgende oorblyfsels is die sikliese volgorde {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Sien ook die artikel 142 857 vir meer eienskappe van hierdie sikliese nommer.

'N Fraksie wat siklies is, het dus 'n herhalende desimale lengte van ewe, wat in twee reekse verdeel word in die vorm van nege . Byvoorbeeld 1/7 begin '142' en word gevolg deur '857' terwyl 6/7(deur rotasie) begin '857' gevolg deur sy nege 'komplement' 142 '.

'N Behoorlike prime is 'n prime p wat eindig op die syfer 1 in basis 10 en waarvan die resiprook in basis 10 'n herhaling het met lengte p - 1. In sulke priemgetalle verskyn elke syfer 0, 1, ..., 9 in die herhalende dieselfde aantal kere opeenvolg as mekaar se syfer (naamlik, p - 1/10keer). Hulle is: ^[6]^{: 166}

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861, ... (volgorde A073761 in die OEIS ).

'N Prime is 'n behoorlike prime as en slegs as dit 'n volle reptend prime is en ooreenstem met 1 mod 10.

As 'n prime- p beide primt en veilige prime is , dan 1/blsal 'n stroom p - 1 pseudo-ewekansige syfers lewer . Daardie primes is

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823, ... (volgorde A000353 in die OEIS ).

Ander wederkerige premies

Sommige wederkerigheid van priemgetalle wat nie sikliese getalle genereer nie, is:

1/3= 0. 3 , wat 'n periode (lengte van herhaling) van 1 het.
1/11= 0. 09 , wat 'n periode van 2 het.
1/13= 0. 076923 , wat 'n tydperk van 6 het.
1/31= 0. 032258064516129 , wat 'n tydperk van 15 het.
1/37= 0. 027 , wat 'n periode van 3 het.
1/41= 0. 02439 , wat 'n periode van 5 het.
1/43= 0. 023255813953488372093 , wat 'n tydperk van 21 het.
1/53= 0. 0188679245283 , wat 'n tydperk van 13 het.
1/67= 0. 014925373134328358208955223880597 , wat 'n tydperk van 33 het.

(volgorde A006559 in die OEIS )

Die rede is dat 3 'n verdeler van 9 is, 11 'n verdeler van 99 is, 41 'n verdeler van 99999, ens. Om die periode van 1/bl, kan ons kyk of die priem p die een of ander getal 999 ... 999 deel waarin die aantal syfers p verdeel - 1. Aangesien die tydperk nooit groter is as p - 1 nie, kan ons dit bereken deur te bereken 10 ^{p −1} - 1/bl. Byvoorbeeld, vir 11 kry ons

{\ displaystyle {\ frac {10 ^ {11-1} -1} {11}} = 909090909}

en vind dan herhaling 09 en periode van 2 deur inspeksie.

Daardie wederkerigheid van priemgetalle kan geassosieer word met verskeie reekse van herhalende desimale. Byvoorbeeld, die veelvoude van 1/13kan in twee stelle verdeel word, met verskillende herhalings. Die eerste stel is:

1/13 = 0,076923 ...
10/13 = 0.769230 ...
9/13 = 0.692307 ...
12/13 = 0.923076 ...
3/13 = 0.230769 ...
4/13 = 0.307692 ...,

waar die herhaling van elke breuk 'n sikliese reëling van 076923 is. Die tweede stel is:

2/13 = 0.153846 ...
7/13 = 0.538461 ...
5/13 = 0.384615 ...
11/13 = 0,846153 ...
6/13 = 0.461538 ...
8/13 = 0.615384 ...,

waar die herhaling van elke breuk 'n sikliese reëling van 153846 is.

Oor die algemeen bestaan die versameling van die regte veelvoude van die resiproke van 'n priem- p uit n subsets, elk met herhalende lengte k , waar nk = p - 1.

Totient reël

Vir 'n willekeurige heelgetal n , is die lengte L ( n ) van die desimale herhaling van 1/nverdeel φ ( n ), waar φ die totale funksie is . Die lengte is gelyk aan φ ( n ) as en slegs as 10 'n primitiewe wortel modulo n is . ^[7]

In die besonder volg dit dat L ( p ) = p - 1 as en slegs as p 'n priem is en 10 'n primitiewe wortel modulo p is . Dan, die desimale uitbreidings van n/blvir n = 1, 2, ..., p - 1, almal het die periode p - 1 en verskil slegs deur 'n sikliese permutasie. Sulke getalle p word volle herhalende priemname genoem .

Wederkerigheid van saamgestelde heelgetalle koprim tot 10

As p 'n ander as 2 of 5 is, is die desimale voorstelling van die breuk 1/bl ² herhaal:

149= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

Die periode (lengte van herhaling) L (49) moet 'n faktor wees van λ (49) = 42, waar λ ( n ) as die Carmichael-funksie bekend staan . Dit volg uit Carmichael se stelling wat sê dat as n 'n positiewe heelgetal is, dan is λ ( n ) die kleinste heelgetal m sodat

{\ displaystyle a ^ {m} \ equiv 1 {\ pmod {n}}}

vir elke heelgetal a wat coprime tot n is .

Die tydperk van 1/bl ²is gewoonlik pT _p , waar T _p die periode van is 1/bl. Daar is drie primtjies bekend waarvoor dit nie waar is nie, en vir diegene die tydperk van 1/bl ² is dieselfde as die tydperk van 1/blwant p ² deel 10 ^{p −1} −1. Hierdie drie hoofstukke is 3, 487 en 56598313 (volgorde A045616 in die OEIS ). ^[8]

Die tydperk van 1/p ^kis gewoonlik p ^{k –1}T _p

As p en q ander priemgetalle as 2 of 5 is, is die desimale voorstelling van die breuk 1/pqherhaal. 'N Voorbeeld is 1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 × 17) = LCM ( λ (7), λ (17)) = LCM (6, 16) = 48,

waar LCM die minste algemene veelvoud aandui .

Die tydperk T van 1/pqis 'n faktor van λ ( pq ) en dit is toevallig 48 in hierdie geval:

1119= 0. 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

Die tydperk T van 1/pqis LCM ( T _p , T _q ), waar T _p die periode van is 1/blen T _q is die periode van 1/q.

As p , q , r , ens. Primale is as 2 of 5, en k , l , m , ens. Positiewe heelgetalle is, dan

{\ displaystyle {\ frac {1} {p ^ {k} q ^ {l} r ^ {m} \ cdots}}}

is 'n herhalende desimaal met 'n periode van

{\ displaystyle \ operatorname {LCM} (T_ {p ^ {k}}, T_ {q ^ {l}}, T_ {r ^ {m}}, \ ldots)}

waar T _{p ^k} , T _{q ^l} , T _{r ^m} , ... onderskeidelik die periode van die herhalende desimale is 1/p ^k, 1/q ^l, 1/r ^m, ... soos hierbo omskryf.

Wederkerigheid van heelgetalle, nie tot 10 nie

'N Heelgetal wat nie koprim tot 10 is nie, maar 'n primêre faktor behalwe 2 of 5 het, het 'n resiprook wat uiteindelik periodiek is, maar met 'n nie-herhalende reeks syfers wat die herhalende deel voorafgaan. Die wederkerige kan uitgedruk word as:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {a} 5 ^ {b} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

waar a en b nie albei nul is nie.

Hierdie breuk kan ook uitgedruk word as:

{\ displaystyle {\ frac {5 ^ {ab}} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

as a > b , of as

{\ displaystyle {\ frac {2 ^ {ba}} {10 ^ {b} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

as b > a , of as

{\ displaystyle {\ frac {1} {10 ^ {a} p ^ {k} q ^ {l} \ cdots}} \ ,,}

as a = b .

Die desimale getal het:

'N Aanvanklike oorgang van maksimum ( a , b ) syfers na die desimale punt. Sommige of al die syfers in die verbygaande kan nulle wees.
'N Volgende herhaling wat dieselfde is as die breuk 1/p ^k q ^l ⋯.

Byvoorbeeld 1/28= 0,03 571428 :

a = 2, b = 0, en die ander faktore p ^k q ^l ⋯ = 7
daar is 2 aanvanklike nie-herhalende syfers, 03; en
daar is 6 herhalende syfers, 571428, dieselfde hoeveelheid as 1/7 het.

Herstel van herhalende desimale na breuke

Met 'n herhalende desimaal, is dit moontlik om die breuk wat dit geproduseer het, te bereken. Byvoorbeeld:

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {1} x & = 0.333333 \ ldots \\ 10x & = 3.333333 \ ldots \ quad & {\ text {(vermenigvuldig elke kant van die bogenoemde lyn met 10)}} \\ 9x & = 3 & { \ text {(trek die 1ste reël van die 2de af)}} \\ x & = {\ frac {3} {9}} = {\ frac {1} {3}} & {\ text {(verklein tot die laagste terme) }} \\\ einde {alignat}}}

Nog 'n voorbeeld:

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {1} x & = \ \ \ \ 0.836363636 \ ldots \\ 10x & = \ \ \ 8.36363636 \ ldots \ quad & {\ text {(vermenigvuldig met die krag van 10 om desimaal te skuif na begin van herhaling)}} \\ 1000x & = 836.36363636 \ lpunte & {\ text {(vermenigvuldig met 'n krag van 100 om desimaal te skuif tot einde eerste herhalende desimaal)} \\ 990x & = 828 & {\ text {(aftrek om skoon te maak desimale)}} \\ x & = {\ frac {828} {990}} = {\ frac {18 \ times 46} {18 \ times 55}} = {\ frac {46} {55}}. \ end { gerig}}}

'N Kortpad

Die onderstaande prosedure kan veral toegepas word as die herhaling n syfers bevat, wat almal 0 is, behalwe die finale een wat 1. Is byvoorbeeld vir n = 7:

{\ displaystyle {\ begin {belyn} x & = 0.000000100000010000001 \ ldots \\ 10 ^ {7} x & = 1.000000100000010000001 \ ldots \\\ links (10 ^ {7} -1 \ regs) x = 9999999x & = 1 \\ x & = {\ frac {1} {10 ^ {7} -1}} = {\ frac {1} {9999999}} \ end {align}}}

Hierdie spesifieke herhalende desimaal stem dus ooreen met die breuk 1/10 ⁿ - 1, waar die noemer die getal is wat as n syfers geskryf is. 9. Weet net dat 'n algemene herhalende desimaal as 'n breuk uitgedruk kan word sonder om 'n vergelyking op te los. 'N Mens kan byvoorbeeld redeneer:

{\ displaystyle {\ begin {align} 7.48181818 \ ldots & = 7.3 + 0.18181818 \ ldots \\ [8pt] & = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {18} {99}} = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {9 \ times 2} {9 \ times 11}} = {\ frac {73} {10}} + {\ frac {2} {11}} \\ [ 12pt] & = {\ frac {11 \ times 73 + 10 \ times 2} {10 \ times 11}} = {\ frac {823} {110}} \ end {align}}}

Dit is moontlik om ' n breuk te kry met 'n algemene formule wat 'n herhalende desimaal met 'n n- syfer periode (lengte herhaal ), wat net na die desimale punt begin, uitdruk :

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = 0. {\ oorlyn {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\ 10 ^ {n} x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}. {\ oorsig {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}} \\\ links (10 ^ {n} -1 \ regs) x = 99 \ cdots 99x & = a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n} \\ x & = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {10 ^ {n} -1}} = {\ frac {a_ {1} a_ {2} \ cdots a_ {n}} {99 \ cdots 99}} \ end {align}}}

Meer eksplisiet kry 'n mens die volgende gevalle:

As die herhalende desimaal tussen 0 en 1 is, en die herhalende blok n syfers lank is, wat eers direk na die desimale punt voorkom, sal die breuk (nie noodwendig verminder nie) die heelgetal wees wat voorgestel word deur die n- syfer-blok gedeel deur die een voorgestel deur n syfers 9. Byvoorbeeld,

0.444444 ... = 4/9 aangesien die herhalende blok 4 is ('n blok van 1 syfer),
0.565656 ... = 56/99 aangesien die herhalende blok 56 is ('n tweesyferige blok),
0.012012 ... = 12/999aangesien die herhalende blok 012 is ('n driesyfer-blok); dit verminder verder tot 4/333.
0,999999 ... = 9/9 = 1, aangesien die herhalende blok 9 is (ook 'n 1-syfer-blok)

As die herhalende desimaal soos hierbo is, behalwe dat daar k (ekstra) syfers 0 tussen die desimale punt en die herhalende n- syferblok is, dan kan 'n mens eenvoudig k- syfers 0 optel na die n syfers 9 van die noemer (en, as voorheen kan die breuk vervolgens vereenvoudig word). Byvoorbeeld,

0.000444 ... = 4/9000 aangesien die herhalende blok 4 is en hierdie blok voorafgegaan word deur 3 nulle,
0.005656 ... = 56/9900 aangesien die herhalende blok 56 is en dit voorafgegaan word deur 2 nulle,
0.00012012 ... = 12/99900 = 1/8325 aangesien die herhalende blok 012 is en dit deur 2 nulle voorafgegaan word.

Enige herhalende desimale, nie van die vorm soos hierbo beskryf nie, kan geskryf word as 'n som van 'n eind desimale en 'n herhalende desimaal van een van die twee bogenoemde tipes (eintlik is die eerste tipe voldoende, maar dit kan vereis dat die eind desimale negatief is). Byvoorbeeld,

1,23444 ... = 1,23 + 0,00444 ... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
- of alternatiewelik 1,23444 ... = 0,79 + 0,444444 ... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
0.3789789 ... = 0.3 + 0.0789789 ... = 3/10 + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
- of alternatiewelik 0.3789789 ... = −0.6 + 0.9789789 ... = - 6/10 + 978/999 = - 5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Nog vinniger is om die desimale punt heeltemal te ignoreer en so te gaan

1.23444 ... = 1234 - 123/900 = 1111/900 (noemer het een 9 en twee 0'e, want een syfer herhaal en daar is twee nie-herhalende syfers na die desimale punt)
0.3789789 ... = 3789 - 3/9990 = 3786/9990 (noemer het drie 9e en een 0, want drie syfers herhaal en daar is een nie-herhalende syfer na die desimale punt)

Hieruit volg dat enige herhalende desimaal met punt n , en k- syfers na die desimale punt wat nie tot die herhalende deel behoort nie, as 'n (nie noodwendig verminderde) breuk waarvan die noemer (10 ⁿ - 1) 10 ^{k is, geskryf kan word} .

Omgekeerd die periode van die herhalende desimaal van 'n breuk c/dsal (hoogstens) die kleinste getal n wees sodat 10 ⁿ - 1 deelbaar is deur d .

Byvoorbeeld die breuk 2/7het d = 7, en die kleinste k wat 10 ^k - 1 deelbaar maak deur 7 is k = 6, want 999999 = 7 × 142857. Die periode van die breuk 2/7 is dus 6.

Herhaal desimale as oneindige reekse

'N Herhalende desimaal kan ook uitgedruk word as 'n oneindige reeks . Dit wil sê 'n herhalende desimaal kan beskou word as die som van 'n oneindige aantal rasionale getalle. Om die eenvoudigste voorbeeld te neem,

{\ displaystyle 0. {\ overline {1}} = {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {100}} + {\ frac {1} {1000}} + \ cdots = \ som _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {10 ^ {n}}}}

Bogenoemde reeks is 'n meetkundige reeks met die eerste term as 1/10 en die algemene faktor 1/10. Omdat die absolute waarde van die gemeenskaplike faktor kleiner is as 1, kan ons sê dat die meetkundige reeks konvergeer en die presiese waarde in die vorm van 'n breuk vind deur die volgende formule te gebruik waar a die eerste term van die reeks is en r die gemeenskaplike faktor.

{\ displaystyle {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {1} {10}} {1 - {\ frac {1} {10}}}} = {\ frac {1 } {10-1}} = {\ frac {1} {9}}}

Net so,

{\ displaystyle {\ begin {align} 0. {\ overline {142857}} & = {\ frac {142857} {10 ^ {6}}} + {\ frac {142857} {10 ^ {12}}} + {\ frac {142857} {10 ^ {18}}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {142857} {10 ^ {6n}}} \\ [6px] \ impliseer & \ quad {\ frac {a} {1-r}} = {\ frac {\ frac {142857} {10 ^ {6}}} {1 - {\ frac {1} {10 ^ {6} }}}} = {\ frac {142857} {10 ^ {6} -1}} = {\ frac {142857} {999999}} = {\ frac {1} {7}} \ end {align}}}

Vermenigvuldiging en sikliese permutasie

Die sikliese gedrag van die herhaling van desimale in vermenigvuldiging lei ook tot die konstruksie van heelgetalle wat siklies permuteer wanneer dit met sekere getalle vermenigvuldig word. Byvoorbeeld, 102564 × 4 = 410256 . 102564 is die herhaling van 4/39 en 410256 die herhaling van 16/39.

Ander eienskappe van herhaalde lengtes

Verskeie eienskappe van herhaalde lengtes (periodes) word deur Mitchell ^[9] en Dickson gegee. ^[10]

Die tydperk van 1/kvir heelgetal is k altyd ≤ k - 1.

As p eerste is, is die periode van 1/blverdeel eweredig in p - 1.

As k saamgestel is, is die periode van 1/kis streng minder as k - 1.

Die tydperk van c/k, vir c coprime tot k , is gelyk aan die tydperk van 1/k.

As k = 2 ^a 5 ^b n waar n > 1 en n nie deur 2 of 5 deelbaar is nie, dan is die lengte van die 1/kis max ( a , b ), en die periode is gelyk aan r , waar r die kleinste heelgetal is sodat 10 ^r ≡ 1 (mod n ) .

As p , p ′ , p ″ , ... verskillende priemgetalle is, dan is die periode van 1/p p ′ p ″ ⋯ is gelyk aan die laagste algemene veelvoud van die periodes van 1/bl, 1/p ′, 1/p ″, ....

As k en k ' geen algemene primêre faktore as 2 of 5 het nie, dan is die periode van 1/kk ′ is gelyk aan die minste algemene veelvoud van die periodes van 1/k en 1/k ′.

Vir prime p , as

{\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p}} \ right) = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {2}} } \ right) = \ cdots = {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m}}} \ right)}

vir sommige m , maar

{\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m}}} \ right) \ neq {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m + 1}}} regs),}

dan vir c ≥ 0 het ons

{\ displaystyle {\ text {period}} \ left ({\ frac {1} {p ^ {m + c}}} \ right) = p ^ {c} \ cdot {\ text {period}} \ left ( {\ frac {1} {p}} \ regs.)

As p 'n behoorlike eindpunt is in 'n 1, dit wil sê as die herhaling van 1/blis 'n sikliese aantal lengte p - 1 en p = 10 h + 1 vir sommige h , dan verskyn elke syfer 0, 1, ..., 9 in die herhaling presies h = p - 1/10 keer.

Vir 'n paar ander eienskappe van herhalings, sien ook. ^[11]

Uitbreiding na ander basisse

Verskeie kenmerke van herhalende desimale strek tot die voorstelling van getalle in alle ander heelgetalle basisse, nie net basis 10 nie:

Enige reële getal kan as 'n heelgetal voorgestel word, gevolg deur 'n radikspunt (die veralgemening van 'n desimale punt na nie-desimale stelsels) gevolg deur 'n eindige of oneindige aantal syfers .
As die basis 'n heelgetal is, stel 'n beëindigingsreeks natuurlik 'n rasionale getal voor.
'N Rasionale getal het 'n beëindigingsvolgorde as al die primêre faktore van die noemer van die volledig verminderde breukvorm ook faktore van die basis is. Hierdie getalle make-up 'n digte stel in $Q$ en $R$ .
As die posisionele syferstelsel standaard is, het dit sy basis

{\ displaystyle b \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}

gekombineer met 'n opeenvolgende stel syfers

{\ displaystyle D: = \ {d_ {1}, d_ {1} +1, \ dots, d_ {r} \}}

met

r : = | b |

,

d r : = d 1 + r - 1

en

0 \in D

, dan is 'n beëindigingsreeks natuurlik gelykstaande aan dieselfde volgorde met nie-beëindigende herhalende deel wat bestaan uit die syfer 0. As die basis positief is, bestaan daar 'n volgorde homomorfisme van die leksikografiese volgorde van die regs-kant-oneindige snare oor die alfabet

D

in een of ander geslote interval van die reële, wat die snare

0. A 1 A 2 ... A n d b

en

0. A 1 A 2 .. . (A N 1) d 1

met

'n i \in D

en

A N \neq d b

dieselfde reële getal - en daar is geen ander duplikaat beelde. In die desimale stelsel is daar byvoorbeeld 0. 9 = 1. 0 = 1; in die gebalanseerde drieledige stelsel is daar 0. 1 = 1. T = 12.

'N Rasionale getal het 'n onbepaalde herhalingsvolgorde van eindige lengte $l$ , as die noemer van die verminderde breuk 'n primêre faktor bevat wat nie 'n faktor van die basis is nie. As $q$ die maksimum faktor is van die gereduseerde noemer wat koprim tot die basis is, is $l$ die kleinste eksponent sodat $q$ deel $b l - 1$ . Dit is die vermenigvuldigingsvolgorde $ord q (b)$ van die residu klas $b mod q$ wat 'n deler van die Carmichael-funksie $λ (q) is$ wat weer kleiner as $q is$ . Die herhalende volgorde word voorafgegaan deur 'n kortstondige kortstondige lengte as die verminderde breuk ook 'n primêre faktor met die basis deel. 'N Herhalende volgorde

{\ displaystyle (0. {\ overline {A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {l}}}) _ {b}}

stel die breuk voor

{\ displaystyle {\ frac {\ left ({A_ {1} A_ {2} \ ldots A_ {l}} \ right) _ {b}} {b ^ {l} -1}}}

.

'N Irrasionale getal het 'n voorstelling van oneindige lengte wat vanaf geen punt 'n onbepaalde herhalingsvolgorde van eindige lengte is nie.

Byvoorbeeld, in duodesimaal , 1/2 = 0,6, 1/3 = 0,4, 1/4 = 0,3 en 1/6 = 0.2 almal beëindig; 1/5= 0. 2497 herhaal met periode lengte 4, in teenstelling met die ekwivalente desimale uitbreiding van 0.2; 1/7= 0. 186 ᘔ 35 het periode 6 in duodesimaal , net soos in desimaal.

As b 'n heelgetalbasis is en k 'n heelgetal is,

{\ displaystyle {\ frac {1} {k}} = {\ frac {1} {b}} + {\ frac {(bk) ^ {1}} {b ^ {2}}} + {\ frac { (bk) ^ {2}} {b ^ {3}}} + {\ frac {(bk) ^ {3}} {b ^ {4}}} + {\ frac {(bk) ^ {4}} {b ^ {5}}} + \ cdots + {\ frac {(bk) ^ {N-1}} {b ^ {N}}} + \ cdots}

Byvoorbeeld 1/7 in duodesimaal:

17 = ( 110 + 510 ² + 2110 ³ + ᘔ 510 ⁴ + 44110 ⁵ + 198510 ⁶+ ...) _{basis 12}

dit is 0. 186 ᘔ 35 (basis 12). 10 (basis 12) is 12 (basis 10), 10 ² (basis 12) is 144 (basis 10), 21 (basis 12) is 25 (basis 10), ᘔ 5 (basis 12) is 125 (basis 10),. ..

Algoritme vir positiewe basisse

Vir 'n rasionele $0 < bl / q <1$ (en basis $b \in N > 1$ ) is die volgende algoritme wat die repetisie tesame met sy lengte voortbring:

funksie  b_adies ( b , p , q )  // b ≥ 2; 0  statiese  syfers  =  "0123 ..." ;  // tot by die syfer met waarde b – 1 begin  s  =  "" ;  // die string syfers  pos  =  0 ;  // alle plekke is reg tot by die radikspunt  terwyl dit  nie  gedefinieër is nie ( kom [ p ] voor) kom  wel  voor [ p ]  =  pos ;  // die posisie van die plek met die res p  bp  =  b * p ; z  =  vloer ( bp / q ) ;  // indeks z van die syfer binne: 0 ≤ z ≤ b-1 p  =  b * p - z * q ;  // 0 ≤ p  as  p  =  0  dan  L  =  0 ;  terugkeer  ( s ) ;  eindig  as  s  =  s . substring ( syfers ,  z ,  1 ) ;  // voeg die karakter van die syfer  pos  + =  1 by ;  eindig  terwyl  L  =  pos  -  voorkom [ p ] ;  // die lengte van die herhaling (synde  // merk die syfers van die herhaling deur 'n vinculum:  want  i  kom  voor [ p ]  tot  pos - 1  doen  onderstreep ( s ,  i ,  1 )  =  oorlyn ( onderstreep ( s) ,  i ,  1 )) ;  einde  vir  terugkeer  ( s ) ; einde  funksie

Die eerste reël met geel gemerk bereken die syfer z .

Die daaropvolgende reël bereken die nuwe rest p ' van die delingsmodul die noemer q . As gevolg van die vloerfunksie wat floor ons het

{\ displaystyle {\ frac {bp} {q}} - 1 \; \; <\; \; z = \ left \ lfloor {\ frac {bp} {q}} \ right \ rfloor \; \; \ leq \; \; {\ frac {bp} {q}},}

dus

{\ displaystyle bp-q

en

{\ displaystyle zq \ leq bp \ quad \ impliseer \ quad 0 \ leq bp-zq =: p '\ ,.}

Omdat al hierdie oorblyfsels p nie-negatiewe heelgetalle minder as q is , kan daar slegs 'n eindige aantal van hulle wees met die gevolg dat dit in die whilelus moet voorkom. So 'n herhaling word deur die assosiatiewe skikking bespeur occurs. Die nuwe syfer z word in die geel lyn gevorm, waar p die enigste nie-konstante is. Die lengte L van die herhaling is gelyk aan die aantal restante (sien ook afdeling Elke rasionale getal is 'n eind- of herhalende desimaal ).

Toepassings op kriptografie

Herhalende desimale (ook genoem desimale rye) het kriptografiese en foutkorrigerende toepassings gevind. ^[12] In hierdie toepassings word oor die algemeen herhalende desimale tot basis 2 gebruik, wat aanleiding gee tot binêre reekse. Die maksimum lengte binêre ry vir 1/bl(wanneer 2 'n primitiewe wortel van p is ) word gegee deur: ^[13]

{\ displaystyle a (i) = 2 ^ {i} ~ {\ bmod {p}} ~ {\ bmod {2}}}

Hierdie reekse van periode p - 1 het 'n outokorrelasiefunksie wat 'n negatiewe piek van -1 het vir verskuiwing van p - 1/2. Die ewekansigheid van hierdie reekse is deur diehard toetse ondersoek . ^[14]

Sien ook

Desimale voorstelling
Volle reptend prima
Midy se stelling
Parasitiese nommer
Agter loop nul
Unieke prime
0,999 ... , 'n herhalende desimaal gelyk aan een

Verwysings en opmerkings

^ Courant, R. en Robbins, H. Wat is wiskunde ?: 'n Elementêre benadering tot idees en metodes, 2de uitg. Oxford, Engeland: Oxford University Press, 1996: p. 67.
^ Beswick, Kim (2004), "Why Does 0.999 ... = 1 ?: A Perennial Question and Number Sense", Australiese wiskunde-onderwyser , 60 (4): 7-9
^ a b c Met ingang van 1 Februarie 2018 is oorskietings beperk tot 1 of 2 syfer (s) in Wikipedia.
^ Vir 'n basis b en 'n deler n , in terme van groepteorie , verdeel hierdie lengte
${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {n} (b): = \ min \ {L \ in \ mathbb {N} \, \ mid \, b ^ {L} \ equiv 1 {\ text {mod}} n \}}$
(met modulêre rekenkundige ≡ 1 mod n ) wat die Carmichael-funksie verdeel
${\ displaystyle \ lambda (n): = \ max \ {\ operatorname {ord} _ {n} (b) \, \ mid \, \ gcd (b, n) = 1 \}}$
wat weer Euler se algehele funksie es ( n ) verdeel .
^ Gray, Alexander J., "Digital roots and reciprocals of primes", Mathematical Gazette 84.09, March 2000, 86.
^ Dickson, LE, History of the Theory of Numbers , Volume 1, Chelsea Publishing Co., 1952.
^ William E. Genees. Sommige eienskappe van herhalings. Annals of Mathematics, Vol. 3, nr. 4 (Aug. 1887), pp. 97–103
^ Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers , p 79
^ Mitchell, Douglas W., "'n Nie-lineêre ewekansige getalgenerator met bekende, lang sikluslengte", Cryptologia 17, Januarie 1993, 55–62.
^ Dickson, Leonard E. , History of the Theory of Numbers , Vol. Ek , Chelsea Publ. Co., 1952 (oorspr. 1918), 164–173.
^ Armstrong, NJ, en Armstrong, RJ, "Sommige eienskappe van herhaal", Mathematical Gazette 87, November 2003, 437–443.
^ Kak, Subhash, Chatterjee, A. "Oor desimale rye". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647–652, September 1981.
^ Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences". IEEE Trans. Op rekenaars, vol. C-34, pp. 803–809, 1985.
^ Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing". 2013. arXiv: 1312.3618

Eksterne skakels

Weisstein, Eric W. "Herhalende desimaal" . MathWorld .

[1] Courant, R. en Robbins, H. Wat is wiskunde ?: 'n Elementêre benadering tot idees en metodes, 2de uitg. Oxford, Engeland: Oxford University Press, 1996: p. 67.

[2] Beswick, Kim (2004), "Why Does 0.999 ... = 1 ?: A Perennial Question and Number Sense", Australiese wiskunde-onderwyser , 60 (4): 7-9

[ArcLimit-3] Met ingang van 1 Februarie 2018 is oorskietings beperk tot 1 of 2 syfer (s) in Wikipedia.

[4] Vir 'n basis b en 'n deler n , in terme van groepteorie , verdeel hierdie lengte
${\ displaystyle \ operatorname {ord} _ {n} (b): = \ min \ {L \ in \ mathbb {N} \, \ mid \, b ^ {L} \ equiv 1 {\ text {mod}} n \}}$
(met modulêre rekenkundige ≡ 1 mod n ) wat die Carmichael-funksie verdeel
${\ displaystyle \ lambda (n): = \ max \ {\ operatorname {ord} _ {n} (b) \, \ mid \, \ gcd (b, n) = 1 \}}$
wat weer Euler se algehele funksie es ( n ) verdeel .

[5] Gray, Alexander J., "Digital roots and reciprocals of primes", Mathematical Gazette 84.09, March 2000, 86.

[6] Dickson, LE, History of the Theory of Numbers , Volume 1, Chelsea Publishing Co., 1952.

[7] William E. Genees. Sommige eienskappe van herhalings. Annals of Mathematics, Vol. 3, nr. 4 (Aug. 1887), pp. 97–103

[8] Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers , p 79

[9] Mitchell, Douglas W., "'n Nie-lineêre ewekansige getalgenerator met bekende, lang sikluslengte", Cryptologia 17, Januarie 1993, 55–62.

[10] Dickson, Leonard E. , History of the Theory of Numbers , Vol. Ek , Chelsea Publ. Co., 1952 (oorspr. 1918), 164–173.

[11] Armstrong, NJ, en Armstrong, RJ, "Sommige eienskappe van herhaal", Mathematical Gazette 87, November 2003, 437–443.

[12] Kak, Subhash, Chatterjee, A. "Oor desimale rye". IEEE Transactions on Information Theory, vol. IT-27, pp. 647–652, September 1981.

[13] Kak, Subhash, "Encryption and error-correction using d-sequences". IEEE Trans. Op rekenaars, vol. C-34, pp. 803–809, 1985.

[14] Bellamy, J. "Randomness of D sequences via diehard testing". 2013. arXiv: 1312.3618

[1]