Radian

Een radiaal word gedefinieër as die hoek wat vanaf die middelpunt van 'n sirkel ondertrek is, wat 'n boog onderskei wat gelyk is aan die radius van die sirkel. ^[3] Meer algemeen is die grootte in radiale van 'n ondergetrekte hoek gelyk aan die verhouding van die booglengte tot die radius van die sirkel; dit wil sê θ = s / r , waar θ die onderliggende hoek in radiale is, s booglengte is, en r radius is. Omgekeerd is die lengte van die onderskepte boog gelyk aan die radius vermenigvuldig met die grootte van die hoek in radiale; dit wil sê s = rθ .

As die verhouding van twee lengtes, is die radiaal 'n suiwer getal . ^[a] In SI word die radiaal gedefinieer as die waarde 1 . ^[7] As gevolg hiervan word die simbool "rad" by wiskundige skryfwerk byna altyd weggelaat. Wanneer 'n hoek gekwantifiseer word in die afwesigheid van enige simbool, word radiale aanvaar, en wanneer grade bedoel word, word die graadteken ° gebruik.

'N Volledige omwenteling is 2 π radiale (hier getoon met 'n sirkel van radius een en dus omtrek 2 π ).

Hieruit volg dat die grootte in radiale van een volledige omwenteling (360 grade) die lengte is van die hele omtrek gedeel deur die radius, of 2 π r / r , of 2 π . Dus is 2 π radiale gelyk aan 360 grade, wat beteken dat een radiaal gelyk is aan 180 / π ≈ 57.29577 95130 82320 876 grade. ^[8]

Die verhouding 2 π rad = 360 ° kan afgelei word met behulp van die formule vir booglengte . Neem die formule vir booglengte, of${\ displaystyle \ ell _ {\ text {arc}} = 2 \ pi r \ links ({\ tfrac {\ theta} {360 ^ {\ circ}}} \ regs)}$. Gestel 'n eenheidsirkel; die radius is dus 1. Aangesien radiaal die maat is van 'n hoek wat 'n boog van 'n lengte gelyk aan die radius van die sirkel onderlê,${\ displaystyle 1 = 2 \ pi \ links ({\ tfrac {1 {\ text {rad}}} {360 ^ {\ circ}}} \ regs)}$. Dit kan verder vereenvoudig word tot${\ displaystyle 1 = {\ tfrac {2 \ pi {\ text {rad}}} {360 ^ {\ circ}}}}$. Deur albei kante met 360 ° te vermenigvuldig, word 360 ° = 2 π rad .

Die konsep van radiale maat word, in teenstelling met die mate van 'n hoek, normaalweg in 1714 toegeskryf aan Roger Cotes . ^{[9] [10]} Hy beskryf die radiaal in alles behalwe naam, en erken die natuurlikheid daarvan as 'n eenheid van die hoekmaat. Voordat die term radiaal wydverspreid geraak het, word die eenheid algemeen 'n sirkelvormige hoekmaat genoem . ^[11]

Die idee om hoeke volgens die lengte van die boog te meet, is reeds deur ander wiskundiges gebruik. Byvoorbeeld, al-Kashi (c. 1400) gebruik sogenaamde deursnee dele as eenhede, waar 'n mens deursnee deel was 1/60radiaal. Hulle het ook seksuele sim-eenhede van die deursnee-deel gebruik. ^[12]

Die term radian verskyn die eerste keer op 5 Junie 1873 in druk, in eksamenvrae wat deur James Thomson (broer van Lord Kelvin ) aan Queen's College , Belfast, gestel is . Hy het die term reeds in 1871 gebruik, terwyl Thomas Muir , toe van die Universiteit van St Andrews , in 1869 tussen die terme rad , radiaal en radiaal wankel . In 1874, na 'n konsultasie met James Thomson, het Muir radian aangeneem . ^{[13] [14] [15]} Die naam radian is vir 'n geruime tyd hierna nie algemeen aanvaar nie. Longmans se Skool Trigonometrie genoem steeds die radiaal circular measure wanneer gepubliseer in 1890. ^[16]

Die Internasionale Buro vir gewigte en maatreëls ^[17] en die Internasionale Organisasie vir Standaardisering ^[18] spesifiseer rad as die simbool vir die radiaal. Alternatiewe simbole wat 100 jaar gelede gebruik is, is ^c (die superscript letter c, vir "sirkelvormige maat"), die letter r, of 'n superscript ^R , ^[19], maar hierdie variante word selde gebruik, aangesien dit verkeerdelik as 'n graadsimbool ( °) of 'n radius (r). Daarom sal 'n waarde van 1.2 radiale meestal as 1.2 rad geskryf word; ander notasies sluit 1.2 r, 1.2 ^rad , 1.2 ^c , of 1.2 ^{R in} .

'N Grafiek om tussen grade en radiale om te skakel

Omskakeling tussen radiale en grade

Soos gesê, is een radiaal gelyk aan ${\ displaystyle {180 ^ {\ circ}} / {\ pi}}$. Om dus van radiale in grade om te skakel, vermenigvuldig met${\ displaystyle {180 ^ {\ circ}} / {\ pi}}$.

${\ displaystyle {\ text {hoek in grade}} = {\ text {hoek in radiale}} \ cdot {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}}}$

Byvoorbeeld:

${\ displaystyle 1 {\ text {rad}} = 1 \ cdot {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ ongeveer 57.2958 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle 2.5 {\ text {rad}} = 2.5 \ cdot {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ ongeveer 143.2394 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {3}} {\ text {rad}} = {\ frac {\ pi} {3}} \ cdot {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi} } = 60 ^ {\ circ}}$

Omgekeerd, om van grade na radiale om te skakel, vermenigvuldig met ${\ displaystyle {\ pi} / {180 ^ {\ circ}}}$.

${\ displaystyle {\ text {hoek in radiale}} = {\ teks {hoek in grade}} \ cdot {\ frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}}}$

Byvoorbeeld:

${\ displaystyle 1 ^ {\ circ} = 1 ^ {\ circ} \ cdot {\ frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}} \ ongeveer 0,0175 {\ text {rad}}}$

${\ displaystyle 23 ^ {\ circ} = 23 ^ {\ circ} \ cdot {\ frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}} \ ongeveer 0.4014 {\ text {rad}}}$

Radiale kan in draaie omgeskakel word (volledige omwentelinge) deur die aantal radiale deur 2 π te deel .

Afleiding van radiale tot graad omskakeling

Die lengte van 'n sirkel word gegee deur ${\ displaystyle 2 \ pi r}$, waar ${\ displaystyle r}$ is die radius van die sirkel.

Die volgende ekwivalente verband is dus waar:

${\ displaystyle 360 ​​^ {\ circ} \ iff 2 \ pi r}$ [Sedert a ${\ displaystyle 360 ​​^ {\ circ}}$ vee is nodig om 'n volle sirkel te trek]

Volgens die definisie van radiaal stel 'n volledige sirkel die volgende voor:

${\ displaystyle {\ frac {2 \ pi r} {r}} {\ text {rad}}}$

${\ displaystyle = 2 \ pi {\ text {rad}}}$

Die kombinasie van albei bogenoemde verhoudings:

${\ displaystyle 2 \ pi {\ text {rad}} = 360 ^ {\ circ}}$

${\ displaystyle \ Rrightarrow 1 {\ text {rad}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}}$

${\ displaystyle \ Rrightarrow 1 {\ text {rad}} = {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}}}$

Omskakeling tussen radiale en gradians

${\ displaystyle 2 \ pi}$radiale gelyk aan een beurt , wat per definisie 400 gradians (400 hoeke op of 400 ^g ). So, om van radiale na gradiale om te skakel, vermenigvuldig met${\ displaystyle 200 ^ {\ text {g}} / \ pi}$, en om van gradiënte na radiale om te skakel vermenigvuldig met ${\ displaystyle \ pi / 200 ^ {\ text {g}}}$. Byvoorbeeld,

${\ displaystyle 1.2 {\ text {rad}} = 1.2 \ cdot {\ frac {200 ^ {\ text {g}}} {\ pi}} \ ongeveer 76.3944 ^ {\ text {g}}}$

${\ displaystyle 50 ^ {\ text {g}} = 50 ^ {\ text {g}} \ cdot {\ frac {\ pi} {200 ^ {\ text {g}}}} \ ongeveer 0.7854 {\ text { rad}}}$

Sommige algemene hoeke, gemeet in radiale. Al die groot veelhoeke in hierdie diagram is gewone veelhoeke .

In calculus en die meeste ander takke van wiskunde buite praktiese meetkunde word hoeke universeel in radiale gemeet. Dit is omdat radiale 'n wiskundige "natuurlikheid" het wat lei tot 'n meer elegante formulering van 'n aantal belangrike resultate.

Die resultate in analises wat trigonometriese funksies insluit, kan op 'n elegante manier gestel word as die argumente van die funksies in radiale uitgedruk word. Byvoorbeeld, die gebruik van radiale lei tot die eenvoudige limiet formule

${\ displaystyle \ lim _ {h \ rightarrow 0} {\ frac {\ sin h} {h}} = 1,}$

wat die basis is van baie ander identiteite in wiskunde, insluitend

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x}$^[8]

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ sin x = - \ sin x.}$

As gevolg van hierdie en ander eienskappe, verskyn die trigonometriese funksies in oplossings vir wiskundige probleme wat nie natuurlik verband hou met die geometriese betekenisse van die funksies nie (byvoorbeeld die oplossings vir die differensiaalvergelyking ${\ displaystyle {\ tfrac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = - y}$, die evaluering van die integraal ${\ displaystyle \ textstyle \ int {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}},}$en so aan). In al sulke gevalle word bevind dat die argumente vir die funksies natuurlikste geskryf is in die vorm wat ooreenstem met geometriese kontekste met die radiale meting van hoeke.

Die trigonometriese funksies het ook eenvoudige en elegante reeksuitbreidings wanneer radiale gebruik word. As x byvoorbeeld in radiale is, word die Taylor-reeks vir sin  x :

${\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7} } {7!}} + \ Cdots.}$

As x in grade uitgedruk word, sal die reeks deurmekaar faktore bevat wat magte van π / 180 behels: as x die aantal grade is, is die aantal radiale y = π x / 180 , dus

${\ displaystyle \ sin x _ {\ mathrm {deg}} = \ sin y _ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {\ pi} {180}} x- \ left ({\ frac {\ pi} {180 }} \ regs) ^ {3} \ {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ links ({\ frac {\ pi} {180}} \ regs) ^ {5} \ {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ links ({\ frac {\ pi} {180}} \ regs) ^ {7} \ {\ frac {x ^ {7}} {7!} } + \ cdots.}$

In 'n soortgelyke gees kan wiskundig belangrike verhoudings tussen die sinus- en kosinusfunksies en die eksponensiële funksie (sien byvoorbeeld Euler se formule ) elegant gestel word as die argumente van die funksies in radiale is (en andersins rommelig).

Alhoewel die radiaal 'n eenheid is, is dit 'n dimensielose hoeveelheid . Dit kan gesien word uit die definisie wat vroeër gegee is: die hoek wat in die middel van 'n sirkel onderdruk is, gemeet in radiale, is gelyk aan die verhouding van die lengte van die ingeslote boog tot die lengte van die sirkel se radius. Aangesien die meeteenhede kanselleer, is hierdie verhouding dimensieloos.

Alhoewel polêre en sferiese koördinate radiale gebruik om koördinate in twee en drie dimensies te beskryf, is die eenheid afgelei van die radiuskoördinaat, dus is die hoekmaat steeds dimensieloos. ^[20]

Die radiaan word wyd in die fisika gebruik wanneer hoekmetings benodig word. Byvoorbeeld, hoeksnelheid is tipies gemeet in radiale per sekonde (rad / s). Een omwenteling per sekonde is gelyk aan 2 π radiale per sekonde.

Net so word hoekversnelling dikwels gemeet in radiale per sekonde per sekonde (rad / s ² ).

Vir die doel van dimensionele analise is die eenhede van hoeksnelheid en hoekversnelling onderskeidelik s ⁻¹ en s ⁻² .

Net so kan die faseverskil van twee golwe ook in radiale gemeet word. As die faseverskil van twee golwe byvoorbeeld ( k ⋅2 π ) radiale is, waar k 'n heelgetal is, word dit in fase beskou , terwyl die faseverskil van twee golwe ( k ⋅2 π + π ) is, waar k 'n heelgetal is, word dit in antifase beskou.

Metrieke voorvoegsels het beperkte gebruik by radiale en geen in wiskunde nie. 'N Milliradiaan (mrad) is 'n duisendste van 'n radiaan en 'n mikroradiaan (μrad) is 'n miljoenste van 'n radiaan, dws 1 rad = 10 ³ mrad = 10 ⁶ μrad .

Daar is 2 π × 1000 milliradiane (≈ 6283.185 mrad) in 'n sirkel. 'N Milliradiaan is dus net minder 1/6283van die hoek wat deur 'n volle sirkel onderdruk word. Hierdie 'regte' eenheid van hoekmeting van 'n sirkel word gebruik deur teleskopiese sigvervaardigers wat (stadiametriese) meetafstand in retikels gebruik . Die divergensie van laserstrale word gewoonlik ook in milliradiane gemeet.

'N Benadering van die milliradiaan (0,001 rad) word deur NAVO en ander militêre organisasies gebruik in geweer en teiken . Elke hoekmil verteenwoordig 1/6400 van 'n sirkel en is 15/8% of 1,875% kleiner as die milliradiaan. Vir die klein hoeke wat gewoonlik in teikenwerk voorkom, is die gemak van die gebruik van die getal 6400 swaarder as die klein wiskundige foute wat dit inlei. In die verlede het ander skutstelsels verskillende benaderings gebruik as 1/2000 π; byvoorbeeld gebruik Swede die 1/6300 streck en die USSR gebruik 1/6000. Aangesien die NAVO-mil gebaseer is op die milliradiaan, is dit ongeveer 1 m op 'n afstand van 1000 m (in sulke klein hoeke is die kromming weglaatbaar).

Kleiner eenhede soos microradians (μrad) en nanoradians (nrad) word in die sterrekunde gebruik, en kan ook gebruik word om die straalkwaliteit van lasers met ultra lae divergensie te meet. Meer algemeen is die boog tweede , dit is π/648 000 rad (ongeveer 4.8481 microradians). Net so is die voorvoegsels kleiner as milli- moontlik nuttig om uiters klein hoeke te meet.

• Hoekfrekwensie
• Minuut en tweede boog
• Steradiaan , 'n hoër-dimensionele analoog van die radiaan wat soliede hoek meet
• Trigonometrie

• Media verwant aan Radian op Wikimedia Commons