Kwadratiese vergelyking

In algebra is 'n kwadratiese vergelyking (van die Latynse kwadratus vir ' vierkant ') enige vergelyking wat in standaardvorm herrangskik kan word as

{\ displaystyle byl ^ {2} + bx + c = 0}

waar $x$ 'n onbekende voorstel , en $a$ , $b$ , en $c$ bekende getalle voorstel, waar $a \neq 0$ . As $a = 0$ , dan is die vergelyking lineêr , nie kwadraties nie, want daar is geen ${\ displaystyle byl ^ {2}}$ termyn. Die getalle $a$ , $b$ en $c$ is die koëffisiënte van die vergelyking en kan onderskei word deur hulle onderskeidelik die kwadratiese koëffisiënt , die lineêre koëffisiënt en die konstante of vrye term te noem . ^[1]

Die waardes van $x$ wat aan die vergelyking voldoen, word oplossings van die vergelyking genoem, en wortels of nulle van die uitdrukking aan die linkerkant. 'N Kwadratiese vergelyking het hoogstens twee oplossings. As daar geen werklike oplossing is nie, is daar twee komplekse oplossings. As daar net een oplossing is, sê 'n mens dat dit 'n dubbele wortel is . 'N Kwadratiese vergelyking het altyd twee wortels as ingewikkelde wortels ingesluit word en 'n dubbele wortel vir twee getel word. 'N Kwadratiese vergelyking kan ingereken in 'n ekwivalente vergelyking

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a (xr) (xs) = 0}

waar $r$ en $s$ die oplossings vir $x is$ . Die voltooiing van die vierkant op 'n kwadratiese vergelyking in standaardvorm het die kwadratiese formule tot gevolg , wat die oplossings in terme van $a$ , $b$ en $c$ uitdruk . Oplossings vir probleme wat uitgedruk kan word in terme van kwadratiese vergelykings, was reeds in 2000 vC bekend.

Omdat die kwadratiese vergelyking slegs een onbekende behels, word dit " eenveranderlik " genoem. Die kwadratiese vergelyking bevat slegs magte van $x$ wat nie-negatiewe heelgetalle is nie, en daarom is dit 'n polinoomvergelyking . Dit is veral 'n tweedegraadse polinoomvergelyking, aangesien die grootste krag twee is.

Oplossing van die kwadratiese vergelyking

Figuur 1. Grafieke van kwadratiese funksie y = ax ² + bx + c , wat elke koëffisiënt afsonderlik varieer terwyl die ander koëffisiënte vas is (by waardes a = 1, b = 0, c = 0)

'N Kwadratiese vergelyking met werklike of komplekse koëffisiënte het twee oplossings, genaamd wortels . Hierdie twee oplossings kan al dan nie van mekaar onderskei word nie, en dit is wel of nie werklik nie.

Faktoring deur inspeksie

Dit is moontlik om 'n kwadratiese vergelyking $as 2 + bx + c = 0$ as produk $(px + q) (rx + s) = 0 uit te druk$ . In sommige gevalle is dit deur middel van eenvoudige inspeksie moontlik om waardes van p , q , r en s te bepaal wat die twee vorms gelykstaande aan mekaar maak. As die kwadratiese vergelyking in die tweede vorm geskryf word, word in die "Zero Factor Property" gesê dat die kwadratiese vergelyking bevredig word as $px + q = 0$ of $rx + s = 0$ . Die oplossing van hierdie twee lineêre vergelykings is die wortels van die kwadraat.

Vir die meeste studente is factoring by inspeksie die eerste metode om kwadratiese vergelykings waaraan hulle blootgestel word, op te los. ^[2]^{: 202–207} As 'n kwadratiese vergelyking in die vorm $x 2 + bx + c = 0 gegee word$ , het die gesoekte faktorisering die vorm $(x + q) (x + s)$ , en 'n mens moet twee getalle vind $q$ en $s$ wat optel tot $b$ en waarvan die produk $c is$ (dit word soms "Vieta se reël" ^{[3] genoem} en hou verband met Vieta se formules ). As voorbeeld, $x$ $2$ $+ 5$ $x$ $+ 6$ faktore as $($ $x$ $+ 3) ($ $x$ $+ 2)$ . Die meer algemene geval waar $a$ nie gelyk is aan $1 nie,$ kan 'n aansienlike inspanning vereis om 'n raai-en-ondersoek-gissing te maak, met die veronderstelling dat dit enigsins deur inspeksie verreken kan word.

Behalwe vir spesiale gevalle soos $b = 0$ of $c = 0$ , werk factoring by inspeksie slegs vir kwadratiese vergelykings wat rasionele wortels het. Dit beteken dat die oorgrote meerderheid van kwadratiese vergelykings wat in praktiese toepassings ontstaan, nie opgelos kan word deur middel van inspeksie nie. ^[2]^{: 207}

Voltooiing van die vierkant

Figure 2 illustrates an x y plot of the quadratic function f of x equals x squared minus x minus 2. The x-coordinate of the points where the graph intersects the x-axis, x equals −1 and x equals 2, are the solutions of the quadratic equation x squared minus x minus 2 equals zero.

Figuur 2. Vir die kwadratiese funksie

y = x 2 - x - 2

, is die punte waar die grafiek die

x

-as kruis ,

x = -1

en

x = 2

, die oplossings van die kwadratiese vergelyking

x 2 - x - 2 = 0

.

Die voltooiing van die vierkant maak gebruik van die algebraïese identiteit

{\ displaystyle x ^ {2} + 2hx + h ^ {2} = (x + h) ^ {2},}

wat 'n goed gedefinieerde algoritme voorstel wat gebruik kan word om enige kwadratiese vergelyking op te los. ^[2]^{: 207} Begin met 'n kwadratiese vergelyking in standaardvorm, $ax 2 + bx + c = 0$

Verdeel elke sy deur $a$ , die koëffisiënt van die kwadraatterm.
Trek die konstante term $c / a$ van beide kante af.
Voeg die vierkant van die helfte van $b / a$ , die koëffisiënt van $x$ , aan beide kante by. Dit "voltooi die vierkant" en omskep die linkerkant in 'n perfekte vierkant.
Skryf die linkerkant as 'n vierkant en vereenvoudig die regterkant indien nodig.
Maak twee lineêre vergelykings deur die vierkantswortel van die linkerkant met die positiewe en negatiewe vierkantswortels van die regterkant te vergelyk.
Los elk van die twee lineêre vergelykings op.

Ons illustreer die gebruik van hierdie algoritme deur $2 x 2 + 4 x - 4 = 0 op te los$

{\ displaystyle 1) \ x ^ {2} + 2x-2 = 0}

{\ displaystyle 2) \ x ^ {2} + 2x = 2}

{\ displaystyle 3) \ x ^ {2} + 2x + 1 = 2 + 1}

{\ displaystyle 4) \ \ left (x + 1 \ right) ^ {2} = 3}

{\ displaystyle 5) \ x + 1 = \ pm {\ sqrt {3}}}

{\ displaystyle 6) \ x = -1 \ pm {\ sqrt {3}}}

Die plus minus simbool "±" dui aan dat beide $x = -1 + \sqrt 3$ en $x = -1 - \sqrt 3$ oplossings van die kwadratiese vergelyking is. ^[4]

Kwadratiese formule en die afleiding daarvan

Die voltooiing van die vierkant kan gebruik word om ' n algemene formule vir die oplossing van kwadratiese vergelykings, die kwadratiese formule, af te lei. ^[5] Die wiskundige bewys sal nou kortliks opgesom word. ^[6] Met polinome-uitbreiding kan maklik gesien word dat die volgende vergelyking gelykstaande is aan die kwadratiese vergelyking:

{\ displaystyle \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} = {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a ^ {2}}}.}

As u die vierkantswortel van beide kante neem en $x$ isoleer , gee u:

{\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}

Sommige bronne, veral ouer bronne, gebruik alternatiewe parameters van die kwadratiese vergelyking soos $ax 2 + 2 bx + c = 0$ of $ax 2 - 2 bx + c = 0$ , ^[7] waar $b die$ helfte van die meer algemene grootte het. een, moontlik met die teenoorgestelde teken. Dit het effens verskillende vorms vir die oplossing, maar is andersins gelykstaande.

'N Aantal alternatiewe afleidings kan in die literatuur gevind word. Hierdie bewyse is eenvoudiger as die standaard om die kwadraatmetode te voltooi, verteenwoordig interessante toepassings van ander gereeld gebruikte tegnieke in algebra, of bied insig in ander areas van wiskunde.

'N Minder bekende kwadratiese formule, soos gebruik in die metode van Muller, gee dieselfde wortels via die vergelyking

{\ displaystyle x = {\ frac {2c} {- b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}.}

Dit kan afgelei word uit die standaard kwadratiese formule deur Vieta se formules , wat beweer dat die produk van die wortels $c / a is$ .

Een eienskap van hierdie vorm is dat dit een geldige wortel lewer as $a = 0$ , terwyl die ander wortel deling deur nul bevat, want as $a = 0$ , word die kwadratiese vergelyking 'n lineêre vergelyking met een wortel. Daarteenoor het die meer algemene formule in hierdie geval 'n deling van nul vir een wortel en 'n onbepaalde vorm $0/0$ vir die ander wortel. Aan die ander kant, wanneer $c = 0$ , lewer die meer algemene formule twee korrekte wortels, terwyl hierdie vorm die nulwortel en 'n onbepaalde vorm $0/0 lewer$ .

Verminderde kwadratiese vergelyking

Dit is soms handig om 'n kwadratiese vergelyking te verminder, sodat die voorste koëffisiënt daarvan een is. Dit word gedoen deur beide kante deur a te deel , wat altyd moontlik is omdat a nie-nul is. Dit lewer die verminderde kwadratiese vergelyking op : ^[8]

{\ displaystyle x ^ {2} + px + q = 0,}

waar p = b / a en q = c / a . Hierdie moniese vergelyking het dieselfde oplossings as die oorspronklike.

Die kwadratiese formule vir die oplossings van die verminderde kwadratiese vergelyking, geskryf in terme van sy koëffisiënte, is:

{\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}} \ links (-p \ pm {\ sqrt {p ^ {2} -4q}} \ regs),}

of gelykstaande:

{\ displaystyle x = - {\ frac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q}}.}

Diskriminerend

Figuur 3. Diskriminerende tekens

In die kwadratiese formule word die uitdrukking onder die vierkantswortelteken die onderskeidende van die kwadratiese vergelyking genoem, en word dit dikwels voorgestel met behulp van 'n hoofletter $D$ of 'n hoofletter Griekse delta : ^[9]

{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac.}

'N Kwadratiese vergelyking met werklike koëffisiënte kan een of twee duidelike reële wortels hê, of twee verskillende komplekse wortels. In hierdie geval bepaal die diskriminant die aantal en aard van die wortels. Daar is drie gevalle:

As die diskriminant positief is, is daar twee verskillende wortels

{\ displaystyle {\ frac {-b + {\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {-b - {\ sqrt {\ Delta}}} { 2a}},}

albei is reële getalle. Vir kwadratiese vergelykings met rasionale koëffisiënte, as die diskriminant 'n kwadraatgetal is , dan is die wortels rasioneel - in ander gevalle kan dit kwadratiese irrasionele wees .

As die diskriminant nul is, is daar presies een werklike wortel

{\ displaystyle - {\ frac {b} {2a}},}

soms 'n herhaalde of dubbele wortel genoem .

As die diskriminant negatief is, is daar geen werklike wortels nie. Daar is eerder twee verskillende (nie-werklike) komplekse wortels ^[10]

{\ displaystyle - {\ frac {b} {2a}} + i {\ frac {\ sqrt {- \ Delta}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad - {\ frac {b} {2a}} - i {\ frac {\ sqrt {- \ Delta}} {2a}},}

wat komplekse vervoegings van mekaar is. In hierdie uitdrukkings is

i

die denkbeeldige eenheid .

Die wortels is dus onderskeibaar as en net as die diskriminant nie-nul is, en die wortels werklik is as en slegs as die diskriminant nie-negatief is.

Meetkundige interpretasie

Grafiek van

y = ax 2 + bx + c

, waar

a

en die onderskeidende

b 2 - 4 ac

positief is, met

Wortels en $y$ -afsnit in rooi
Verteks en simmetrie-as in blou
Fokus en directrix in pienk

Visualisering van die komplekse wortels van

y = ax 2 + bx + c

: die parabool word 180 ° om sy hoekpunt ( oranje ) gedraai . Die

x-

afsnitte word 90 ° om hul middelpunt gedraai, en die Cartesiese vlak word geïnterpreteer as die komplekse vlak ( groen ). ^[11]

Die funksie $f (x) = ax 2 + bx + c$ is 'n kwadratiese funksie . ^[12] Die grafiek van enige kwadratiese funksie het dieselfde algemene vorm, wat 'n parabool genoem word . Die ligging en grootte van die parabool, en hoe dit oopgaan, hang af van die waardes van $a$ , $b$ en $c$ . Soos getoon in Figuur 1, as $a > 0$ , het die parabool 'n minimum punt en gaan dit opwaarts oop. As $a <0$ , het die parabool 'n maksimum punt en gaan dit afwaarts oop. Die uiterste punt van die parabool, of dit nou minimum of maksimum is, stem ooreen met die hoekpunt daarvan . Die $x-$ koördinaat van die hoekpunt sal geleë wees op ${\ displaystyle \ scriptstyle x = {\ tfrac {-b} {2a}}}$ , en die $y$ -coördinaat van die hoekpunt kan gevind word deur hierdie $x-$ waarde in die funksie te vervang. Die $y$ -afsnit is by die punt $(0, c) geleë$ .

Die oplossings van die kwadratiese vergelyking $ax 2 + bx + c = 0$ stem ooreen met die wortels van die funksie $f (x) = ax 2 + bx + c$ , aangesien dit die waardes van $x$ is waarvoor $f (x) = 0$ . Soos getoon in Figuur 2, as $'n$ , $b$ , en $c$ is reële getalle en die domein van $f$ is die versameling reële getalle, dan die wortels van $f$ is presies die $x$ - koördinate van die punte waar die grafiek raak die $x$ -as . Soos getoon in Figuur 3, as die diskriminant positief is, raak die grafiek die x- as op twee punte; indien nul, raak die grafiek op een punt; en as dit negatief is, raak die grafiek nie die $x-$ as nie.

Kwadratiese faktorisering

Die term

{\ displaystyle xr}

is 'n faktor van die polinoom

{\ displaystyle byl ^ {2} + bx + c}

as en slegs as $r$ 'n wortel van die kwadratiese vergelyking is

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0.}

Dit volg uit die kwadratiese formule dat

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x - {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \ right) \ left (x - {\ frac {-b - {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} \ regs).}

In die spesiale geval $b 2 = 4 ac,$ waar die kwadratiese slegs een duidelike wortel het ( dws die diskriminant is nul), kan die kwadratiese polinoom gereken word as

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = a \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2}.}

Grafiese oplossing

Figuur 4. Grafiese sakrekenaarberekening van een van die twee wortels van die kwadratiese vergelyking

2 x 2 + 4 x - 4 = 0

. Alhoewel die vertoon slegs vyf beduidende akkuraatheidsyfers toon, is die verkryde waarde van

xc

0,732050807569, akkuraat tot twaalf beduidende syfers.

'N Kwadratiese funksie sonder werklike wortel: y = ( x - 5) ² + 9 . Die "3" is die denkbeeldige deel van die x -afsnit. Die werklike deel is die x -coördinaat van die hoekpunt. Die wortels is dus 5 ± 3 i .

Die oplossings van die kwadratiese vergelyking

{\ displaystyle byl ^ {2} + bx + c = 0}

kan afgelei word uit die grafiek van die kwadratiese funksie

{\ displaystyle y = ax ^ {2} + bx + c,}

wat 'n parabool is .

As die parabool die $x$ -as in twee punte sny , is daar twee werklike wortels , wat die $x$ -koördinate van hierdie twee punte is (ook genoem $x$ -afsnit).

As die parabool raaklyn is aan die $x$ -as, is daar 'n dubbele wortel, wat die $x$ -koördinaat is van die kontakpunt tussen die grafiek en die parabool.

As die parabool nie die $x-$ as sny nie , is daar twee ingewikkelde wortels. Alhoewel hierdie wortels nie op die grafiek gevisualiseer kan word nie, kan hulle werklike en denkbeeldige dele wees. ^[13]

Laat $h$ en $k$ onderskeidelik die $x$ -coördinaat en die $y$ -coördinaat van die hoekpunt van die parabool wees (dit is die punt met maksimum of minimale $y$ -coördinaat. Die kwadratiese funksie kan herskryf word

{\ displaystyle y = a (xh) ^ {2} + k.}

Laat $d$ die afstand wees tussen die punt van $y$ -coördinaat $2 k$ op die as van die parabool, en 'n punt op die parabool met dieselfde $y$ -coördinaat (sien die figuur; daar is twee sulke punte wat dieselfde afstand gee, as gevolg van die simmetrie van die parabool). Dan is die werklike deel van die wortels $h$ , en hul denkbeeldige deel is $\pm d$ . Dit wil sê, die wortels is

{\ displaystyle h + id \ quad {\ text {and}} \ quad x-id,}

of in die geval van die figuur

{\ displaystyle 5 + 3i \ quad {\ text {and}} \ quad 5-3i.}

Vermy verlies aan betekenis

Alhoewel die kwadratiese formule 'n presiese oplossing bied, is die resultaat nie presies as reële getalle tydens die berekening benader word nie, soos gewoonlik in numeriese ontleding , waar reële getalle benader word deur drywingsgetalle (wat in baie programmeertale 'reëls' genoem word ). In hierdie konteks is die kwadratiese formule nie heeltemal stabiel nie .

Dit vind plaas wanneer die wortels verskillende orde het , of, gelykstaande, as $b 2$ en $b 2 - 4 ac$ naby is. In hierdie geval sal die aftrekking van twee byna gelyke getalle verlies aan betekenis of katastrofiese kansellasie in die kleiner wortel veroorsaak. Om dit te vermy, kan die wortel met 'n kleiner grootte, $r$ , bereken word as ${\ displaystyle (c / a) / R}$ waar $R$ die wortel is wat groter is.

'N Tweede vorm van kansellasie kan voorkom tussen die terme $b 2$ en $4 ac$ van die diskriminant, dit is wanneer die twee wortels baie naby is. Dit kan lei tot die verlies van tot die helfte van die korrekte beduidende syfers in die wortels. ^[7]^[14]

Voorbeelde en toepassings

Die baan van die klipspringer is parabolies omdat horisontale verplasing 'n lineêre funksie van tyd is

{\ displaystyle x = v_ {x} t}

, terwyl vertikale verplasing 'n kwadratiese funksie van tyd is

{\ displaystyle y = {\ tfrac {1} {2}} by ^ {2} + v_ {y} t + h}

. As gevolg hiervan volg die pad kwadratiese vergelyking

{\ displaystyle y = {\ tfrac {a} {2v_ {x} ^ {2}}} x ^ {2} + {\ tfrac {v_ {y}} {v_ {x}}} x + h}

, waar

{\ displaystyle v_ {x}}

en

{\ displaystyle v_ {y}}

is horisontale en vertikale komponente van die oorspronklike snelheid,

'n

is gravitasie versnelling en

h

is oorspronklike hoogte. Die

a-

waarde moet hier as negatief beskou word, aangesien die rigting (afwaarts) teenoor die hoogte meting (opwaarts) is.

Die goue verhouding word gevind as die positiewe oplossing van die kwadratiese vergelyking ${\ displaystyle x ^ {2} -x-1 = 0.}$

Die vergelykings van die sirkel en die ander kegelsnitte - ellipse , parabolas en hiperbole - is kwadratiese vergelykings in twee veranderlikes.

Gegewe die cosinus of sinus van 'n hoek, is die oplossing van 'n kwadratiese vergelyking die oplossing van die kosinus of sinus van die hoek wat die helfte so groot is.

Die proses om uitdrukkings met die vierkantswortel van 'n uitdrukking wat die vierkantswortel van 'n ander uitdrukking behels, te vereenvoudig, behels die vind van die twee oplossings van 'n kwadratiese vergelyking.

Descartes se stelling stel dat vir elke vier sirkelende (sirkel wat mekaar raak) sirkels hul radiusse aan 'n bepaalde kwadratiese vergelyking voldoen.

Die vergelyking wat deur die stelling van Fuss gegee word , wat die verband gee tussen die radius van 'n tweesentriese vierhoek se ingeskrewe sirkel , die radius van sy omskrewe sirkel en die afstand tussen die middelpunte van die sirkels, kan uitgedruk word as 'n kwadratiese vergelyking waarvoor die afstand tussen die sentrums van die twee sirkels in terme van hul radius is een van die oplossings. Die ander oplossing van dieselfde vergelyking in terme van die betrokke radius gee die afstand tussen die sirkel se middelpunt en die middelpunt van die omtrek van 'n ex-tangensiële vierhoek .

Kritieke punte van 'n kubieke funksie en buigpunte van 'n kwartiese funksie word gevind deur 'n kwadratiese vergelyking op te los.

Geskiedenis

Babiloniese wiskundiges kon reeds in 2000 vC (vertoon op ou Babiloniese kleitablette ) probleme oplos wat verband hou met die gebiede en sye van reghoeke. Daar is bewyse wat dateer met hierdie algoritme tot in die Derde Dinastie van Ur . ^[15] In moderne notasie was die probleme gewoonlik die oplossing van 'n paar gelyktydige vergelykings van die vorm:

{\ displaystyle x + y = p, \ \ xy = q,}

wat gelykstaande is aan die stelling dat $x$ en $y$ die wortels van die vergelyking is: ^[16]^{: 86}

{\ displaystyle z ^ {2} + q = pz.}

Die stappe wat Babiloniese skrifgeleerdes gegee het om die reghoekprobleem hierbo op te los, in terme van $x$ en $y$ , was soos volg:

Bereken die helfte van p .
Maak die resultaat vierkantig.
Trek q af .
Soek die (positiewe) vierkantswortel met behulp van 'n tabel met vierkante.
Tel die resultate van stappe (1) en (4) saam om $x$ te gee .

In moderne notasie beteken dit berekening ${\ displaystyle x = \ left ({\ frac {p} {2}} \ right) + {\ sqrt {\ left ({\ frac {p} {2}} \ right) ^ {2} -q}} }$ , wat gelykstaande is aan die hedendaagse kwadratiese formule vir die groter werklike wortel (indien enige) ${\ displaystyle x = {\ frac {-b + {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$ met $a = 1$ , $b = - p$ , en $c = q$ .

Meetkundige metodes is gebruik om kwadratiese vergelykings in Babilonië, Egipte, Griekeland, China en Indië op te los. Die Egiptiese Berlynse Papyrus , wat dateer uit die Midde-koninkryk (2050 vC tot 1650 vC), bevat die oplossing vir 'n kwadratiese vergelyking van twee termyn. ^[17] Babiloniese wiskundiges vanaf ongeveer 400 vC en Chinese wiskundiges vanaf ongeveer 200 vC het meetkundige metodes van disseksie gebruik om kwadratiese vergelykings met positiewe wortels op te los. ^[18]^[19] Reëls vir kwadratiese vergelykings is gegee in The Nine Chapters on the Mathematical Art , 'n Chinese verhandeling oor wiskunde. ^[19]^[20] Dit lyk asof hierdie vroeë meetkundige metodes nie 'n algemene formule gehad het nie. Euclid , die Griekse wiskundige , het ongeveer 300 vC 'n meer abstrakte meetkundige metode vervaardig. Met 'n suiwer geometriese benadering het Pythagoras en Euclid 'n algemene prosedure geskep om oplossings vir die kwadratiese vergelyking te vind. In sy werk Arithmetica het die Griekse wiskundige Diophantus die kwadratiese vergelyking opgelos, maar slegs een wortel gegee, selfs al was albei wortels positief. ^[21]

In 628 nC gee Brahmagupta , 'n Indiese wiskundige , die eerste eksplisiete (hoewel nog nie heeltemal algemene nie) oplossing van die kwadratiese vergelyking $ax 2 + bx = c$ soos volg: "Tot die absolute getal vermenigvuldig met vier keer die [koëffisiënt van die] vierkant, voeg die vierkant van die [koëffisiënt van die] middelterm; die vierkantswortel van dieselfde, minus die [koëffisiënt van die] middelterm, gedeel deur twee keer die [koëffisiënt van die] vierkant is die waarde. " ( Brahmasphutasiddhanta , Colebrook-vertaling, 1817, bladsy 346) ^[16]^{: 87} Dit is gelykstaande aan:

{\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {4ac + b ^ {2}}} - b} {2a}}.}

Die Bakhshali-manuskrip wat in Indië in die 7de eeu nC geskryf is, bevat 'n algebraïese formule vir die oplossing van kwadratiese vergelykings, sowel as kwadratiese onbepaalde vergelykings (oorspronklik van die tipe $ax / c = y$ ^{[ verduideliking nodig : dit is lineêr, nie kwadraties nie )} ). Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ( Persië , 9de eeu), geïnspireer deur Brahmagupta, ^{[ oorspronklike navorsing? ]} het 'n stel formules ontwikkel wat gewerk het vir positiewe oplossings. Al-Khwarizmi gaan verder om 'n volledige oplossing vir die algemene kwadratiese vergelyking te bied, deur een of twee numeriese antwoorde vir elke kwadratiese vergelyking te aanvaar, terwyl hy geometriese bewyse in die proses lewer. ^[22] Hy het ook die metode vir die voltooiing van die vierkant beskryf en erken dat die diskriminant positief moet wees, ^[22]^[23]^{: 230} wat bewys is deur sy tydgenoot 'Abd al-Hamīd ibn Turk (Sentraal-Asië, 9de eeu) wat meetkundige figure gegee om te bewys dat as die diskriminant negatief is, 'n kwadratiese vergelyking geen oplossing het nie. ^[23]^{: 234} Al-Khwarizmi self het nie negatiewe oplossings aanvaar nie, maar later het Islamitiese wiskundiges wat hom opgevolg het, negatiewe oplossings aanvaar, ^[22]^{: 191} sowel as irrasionele getalle as oplossings. ^[24] Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Egipte, 10de eeu) was veral die eerste wat irrasionale getalle (dikwels in die vorm van 'n vierkantswortel , kubuswortel of vierde wortel ) aanvaar as oplossings vir kwadratiese vergelykings of as koëffisiënte in 'n vergelyking . ^[25] Die 9de eeuse Indiese wiskundige Sridhara het reëls neergeskryf vir die oplossing van kwadratiese vergelykings. ^[26]

Die Joodse wiskundige Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (12de eeu, Spanje) het die eerste Europese boek geskryf wat die volledige oplossing vir die algemene kwadratiese vergelyking bevat. ^[27] Sy oplossing was grotendeels gebaseer op Al-Khwarizmi se werk. ^[22] Die skryf van die Chinese wiskundige Yang Hui (1238–1298 nC) is die eerste bekende een waarin kwadratiese vergelykings met negatiewe koëffisiënte van 'x' voorkom, hoewel hy dit toeskryf aan die vroeëre Liu Yi . ^[28] Teen 1545 het Gerolamo Cardano die werke saamgestel wat verband hou met die kwadratiese vergelykings. Die kwadratiese formule wat alle gevalle dek, is die eerste keer deur Simon Stevin in 1594 verkry . ^[29] In 1637 publiseer René Descartes La Géométrie met die kwadratiese formule in die vorm wat ons vandag ken.

Gevorderde onderwerpe

Alternatiewe metodes vir wortelberekening

Vieta se formules

Figuur 5. Grafiek van die verskil tussen Vieta se benadering vir die kleinste van die twee wortels van die kwadratiese vergelyking

x 2 + bx + c = 0

in vergelyking met die waarde bereken met behulp van die kwadratiese formule. Die benadering van Vieta is onakkuraat vir klein

b,

maar is akkuraat vir groot

b

. Die direkte evaluering met behulp van die kwadratiese formule is akkuraat vir klein

b

met wortels van vergelykbare waarde, maar ervaar verlies aan beduidingsfoute vir groot

b

en wortels wat wyd gespasieer is. Die verskil tussen Vieta se benadering teenoor die direkte berekening bereik 'n minimum by die groot kolletjies, en afronding veroorsaak dat die krommels buite hierdie minimum kronkel.

Vieta se formules gee 'n eenvoudige verband tussen die wortels van 'n polinoom en die koëffisiënte daarvan. Die wortels ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$ van die kwadratiese polinoom ${\ displaystyle P (x) = ax ^ {2} + bx + c}$ bevredig

{\ displaystyle x_ {1} + x_ {2} = - {\ frac {b} {a}}, \ quad x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}.}

Hierdie resultate volg onmiddellik uit die verband:

{\ displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right) = x ^ {2} - \ left (x_ {1} + x_ {2} \ right) x + x_ {1} x_ {2} = 0,}

wat term vir term vergelyk kan word met

{\ displaystyle x ^ {2} + (b / a) x + c / a = 0.}

Die eerste formule hierbo gee 'n gemaklike uitdrukking as u 'n kwadratiese funksie teken. Aangesien die grafiek simmetries is met betrekking tot 'n vertikale lyn deur die hoekpunt , is die hoekpunt se $x-$ koördinaat by die gemiddelde van die wortels (of afsnitte) , as daar twee werklike wortels is. Dus word die $x$ -koördinaat van die hoekpunt gegee deur die uitdrukking

{\ displaystyle x_ {V} = {\ frac {x_ {1} + x_ {2}} {2}} = - {\ frac {b} {2a}}.}

Die $y-$ koördinaat kan verkry word deur die bostaande resultaat in die gegewe kwadratiese vergelyking te vervang

{\ displaystyle y_ {V} = - {\ frac {b ^ {2}} {4a}} + c = - {\ frac {b ^ {2} -4ac} {4a}}.}

As praktiese saak is die formules van Vieta 'n nuttige metode om die wortels van 'n kwadratiese punt te vind in die geval waar die een wortel baie kleiner is as die ander. As $| x 2 | << | x 1 |$ , dan $x 1 + x 2 \approx x 1$ , en ons het die skatting:

{\ displaystyle x_ {1} \ approx - {\ frac {b} {a}}.}

Die tweede Vieta-formule bevat dan:

{\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {c} {ax_ {1}}} \ ongeveer - {\ frac {c} {b}}.}

Hierdie formules is baie makliker om te evalueer as die kwadratiese formule onder die toestand van 'n groot en 'n klein wortel, want die kwadratiese formule evalueer die klein wortel as die verskil van twee byna gelyke getalle (die geval van groot $b$ ), wat veroorsaak dat ronde -af fout in 'n numeriese evaluering. Figuur 5 toon die verskil tussen (i) 'n direkte evaluering met behulp van die kwadratiese formule (akkuraat as die wortels naby mekaar is in waarde) en (ii) 'n evaluering gebaseer op die bogenoemde benadering van Vieta se formules ). Namate die lineêre koëffisiënt $b$ toeneem, is die kwadratiese formule aanvanklik akkuraat, en die benaderde formule verbeter in akkuraatheid, wat lei tot 'n kleiner verskil tussen die metodes namate $b$ toeneem. Op 'n stadium begin die kwadratiese formule egter akkuraatheid verloor as gevolg van afrondingsfoute, terwyl die benaderde metode steeds verbeter. Gevolglik begin die verskil tussen die metodes toeneem namate die kwadratiese formule al hoe erger word.

Hierdie situasie kom gewoonlik voor in die ontwerp van die versterker, waar wydverspreide wortels verlang word om 'n stabiele werking te verseker (sien staprespons ).

Trigonometriese oplossing

In die dae voor sakrekenaars gebruik mense wiskundige tabelle - getallelyste wat die resultate van die berekening met verskillende argumente toon - om die berekening te vereenvoudig en te bespoedig. Tabelle van logaritmes en trigonometriese funksies was algemeen in handboeke vir wiskunde en wetenskap. Gespesialiseerde tabelle is gepubliseer vir toepassings soos sterrekunde, hemelse navigasie en statistieke. Metodes van numeriese benadering bestaan, genaamd prosthaphaeresis , wat kortpaaie bied vir tydrowende bewerkings soos vermenigvuldiging en die neem van magte en wortels. ^[30] Veral sterrekundiges was besorg oor metodes wat die lang reeks berekeninge wat by hemelse meganika- berekeninge betrokke was, kon bespoedig .

Dit is binne hierdie konteks dat ons die ontwikkeling van middele om kwadratiese vergelykings op te los, kan verstaan deur trigonometriese substitusie . Beskou die volgende alternatiewe vorm van die kwadratiese vergelyking,

[1] ${\ displaystyle byl ^ {2} + bx \ pm c = 0,}$

waar die teken van die ± simbool so gekies word dat $a$ en $c$ albei positief kan wees. Deur te vervang

[2] ${\ displaystyle x = {\ sqrt {c / a}} \ tan \ theta}$

en dan vermenigvuldig met $cos 2 θ$ , kry ons

[3] ${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + {\ frac {b} {\ sqrt {ac}}} \ sin \ theta \ cos \ theta \ pm \ cos ^ {2} \ theta = 0.}$

As ons funksies van $2 θ$ bekendstel en herrangskik, kry ons

[4] ${\ displaystyle \ tan 2 \ theta _ {n} = + 2 {\ frac {\ sqrt {ac}} {b}},}$

[5] ${\ displaystyle \ sin 2 \ theta _ {p} = - 2 {\ frac {\ sqrt {ac}} {b}},}$

waar die intekenare $n$ en $p$ onderskeidelik ooreenstem met die gebruik van 'n negatiewe of positiewe teken in vergelyking [1] . Die vervanging van die twee waardes van $θ n$ of $θ p$ wat uit vergelykings [4] of [5] in [2] gevind word, gee die vereiste wortels van [1] . Komplekse wortels kom voor in die oplossing gebaseer op vergelyking [5] as die absolute waarde van $sin 2 θ p$ die eenheid oorskry. Die hoeveelheid moeite verbonde aan die oplossing van kwadratiese vergelykings met behulp van hierdie gemengde trigonometriese en logaritmiese tabelopslagstrategie was twee derdes van die poging om logaritmiese tabelle alleen te gebruik. ^[31] Om komplekse wortels te bereken, sal 'n ander trigonometriese vorm benodig. ^[32]

Laat ons aanneem dat ons logaritme en trigonometriese tabelle met sewe plekke beskikbaar het en dat ons die volgende tot ses-beduidende akkuraatheid wil oplos:

{\ displaystyle 4.16130x ^ {2} + 9.15933x-11.4207 = 0}

'N Opsoektabel van sewe plekke kan slegs 100 000 inskrywings bevat, en die berekening van tussentydse resultate na sewe plekke benodig gewoonlik interpolasie tussen aangrensende inskrywings.
${\ displaystyle \ log a = 0.6192290, \ log b = 0.9618637, \ log c = 1.0576927}$
${\ displaystyle 2 {\ sqrt {ac}} / b = 2 \ keer 10 ^ {(0.6192290 + 1.0576927) /2-0.9618637} = 1.505314}$
${\ displaystyle \ theta = (\ tan ^ {- 1} 1.505314) /2=28.20169 ^ {\ circ} {\ text {or}} - 61.79831 ^ {\ circ}}$
${\ displaystyle \ log | \ tan \ theta | = -0.2706462 {\ text {of}} 0.2706462}$
${\ displaystyle \ log {\ sqrt {c / a}} = (1.0576927-0.6192290) /2=0.2192318}$
${\ displaystyle x_ {1} = 10 ^ {0.2192318-0.2706462} = 0.888353}$ (afgerond tot ses beduidende syfers)

{\ displaystyle x_ {2} = - 10 ^ {0.2192318 + 0.2706462} = - 3.08943}

Oplossing vir ingewikkelde wortels in poolkoördinate

As die kwadratiese vergelyking ${\ displaystyle byl ^ {2} + bx + c = 0}$ met werklike koëffisiënte het twee ingewikkelde wortels - die geval waar ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac <0,}$ wat vereis dat a en c dieselfde teken as mekaar moet hê - dan kan die oplossings vir die wortels in polêre vorm uitgedruk word as ^[33]

{\ displaystyle x_ {1}, \, x_ {2} = r (\ cos \ theta \ pm i \ sin \ theta),}

waar ${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ tfrac {c} {a}}}}$ en ${\ displaystyle \ theta = \ cos ^ {- 1} \ links ({\ tfrac {-b} {2 {\ sqrt {ac}}}} \ regs).}$

Meetkundige oplossing

Figure 6. Geometric solution of eh x squared plus b x plus c = 0 using Lill's method. The geometric construction is as follows: Draw a trapezoid S Eh B C. Line S Eh of length eh is the vertical left side of the trapezoid. Line Eh B of length b is the horizontal bottom of the trapezoid. Line B C of length c is the vertical right side of the trapezoid. Line C S completes the trapezoid. From the midpoint of line C S, draw a circle passing through points C and S. Depending on the relative lengths of eh, b, and c, the circle may or may not intersect line Eh B. If it does, then the equation has a solution. If we call the intersection points X 1 and X 2, then the two solutions are given by negative Eh X 1 divided by S Eh, and negative Eh X 2 divided by S Eh.

Figuur 6. Meetkundige oplossing van

ax 2 + bx + c = 0

volgens Lill se metode. Oplossings is −AX1 / SA, −AX2 / SA

Die kwadratiese vergelyking kan op 'n aantal maniere meetkundig opgelos word. Een manier is om die metode van Lill te gebruik . Die drie koëffisiënte $a$ , $b$ , $c$ word met regte hoeke tussen hulle geteken soos in SA, AB en BC in Figuur 6. 'n Sirkel word geteken met die begin- en eindpunt SC as 'n deursnee. As dit die middellyn AB van die drie sny, het die vergelyking 'n oplossing en word die oplossings gegee deur negatief van die afstand langs hierdie lyn vanaf A gedeel deur die eerste koëffisiënt $a$ of SA. As $'n$ is $1$ die koëffisiënte kan af direk gelees. Die oplossings in die diagram is dus −AX1 / SA en −AX2 / SA. ^[34]

Karlylsirkel van die kwadratiese vergelyking x ² - sx + p = 0.

Die Carlyle-sirkel , vernoem na Thomas Carlyle , het die eienskap dat die oplossings van die kwadratiese vergelyking die horisontale koördinate van die kruisings van die sirkel met die horisontale as is . ^[35] Carlyle-sirkels is gebruik om liniaal-en-kompas konstruksies van gereelde veelhoeke te ontwikkel .

Veralgemening van kwadratiese vergelyking

Die formule en sy afleiding korrek bly as die koëffisiënte $n$ , $b$ en $c$ is komplekse getalle , of meer algemeen lede van enige gebied wie se kenmerkende is nie $2$ . (In 'n gebied van kenmerkende 2, die element $2'n$ nul en dit is onmoontlik om te deel deur dit.)

Die simbool

{\ displaystyle \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}}

in die formule moet verstaan word as "een van die twee elemente waarvan die vierkant $b 2 - 4 ac is$ , as sulke elemente bestaan". In sommige velde het sommige elemente geen vierkantswortels nie en sommige het twee; slegs nul het net een vierkantswortel, behalwe in velde van karakteristiek $2$ . Selfs as 'n veld nie 'n vierkantswortel van een of ander getal bevat nie, is daar altyd 'n kwadratiese uitbreidingsveld wat dit wel doen, dus sal die kwadratiese formule altyd sinvol wees as 'n formule in daardie uitbreidingsveld.

Kenmerkend 2

In 'n veld van kenmerk $2$ hou die kwadratiese formule, wat daarop berus dat $2$ 'n eenheid is , nie. Beskou die moniese kwadratiese veelterm

{\ displaystyle x ^ {2} + bx + c}

oor 'n veld van kenmerk $2$ . As $b = 0$ , verminder die oplossing tot die onttrekking van 'n vierkantswortel, dus die oplossing is

{\ displaystyle x = {\ sqrt {c}}}

en daar is sedertdien net een wortel

{\ displaystyle - {\ sqrt {c}} = - {\ sqrt {c}} + 2 {\ sqrt {c}} = {\ sqrt {c}}.}

Samevattend,

{\ displaystyle \ displaystyle x ^ {2} + c = (x + {\ sqrt {c}}) ^ {2}.}

Sien kwadratiese residu vir meer inligting oor die onttrekking van vierkantswortels in eindige velde.

In die geval dat $b \neq 0$ , is daar twee verskillende wortels, maar as die polinoom onherleibaar is , kan dit nie uitgedruk word in terme van vierkantswortels van getalle in die koëffisiëntveld nie. Definieer eerder die 2-wortel $R (c)$ van $c$ om 'n wortel van die polinoom $x 2 + x + c te wees$ , 'n element van die splitsingsveld van die polinoom. 'N Mens bevestig dat $R (c) + 1$ ook 'n wortel is. In terme van die 2-wortel operasie, die twee wortels van die (nie-zepplin) kwadratiese $byl 2 + bx + c$ is

{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} R \ links ({\ frac {ac} {b ^ {2}}} \ regs)}

en

{\ displaystyle {\ frac {b} {a}} \ links (R \ links ({\ frac {ac} {b ^ {2}}} \ regs) +1 \ regs).}

Byvoorbeeld, laat $'n$ dui 'n vermenigvuldigende kragopwekker van die groep van eenhede van $F 4$ , die veld Galois van orde vier (dus $'n$ en $'n + 1$ is wortels van $x 2 + x + 1$ oor $F 4$ . Omdat $(a + 1) 2 = a$ , $a + 1$ is die unieke oplossing van die kwadratiese vergelyking $x 2 + a = 0.$ Aan die ander kant is die polinoom $x 2 + ax + 1$ onherleibaar oor $F 4$ , maar dit verdeel oor $F 16$ , waar dit het die twee wortels $ab$ en $ab + a$ , waar $b$ 'n wortel van $x 2 + x + a$ in $F 16 is$ .

Dit is 'n spesiale geval van die Artin – Schreier-teorie .

Sien ook

Oplos van kwadratiese vergelykings met voortgesette breuke
Lineêre vergelyking
Kubieke funksie
Kwartiese vergelyking
Kwintiese vergelyking
Fundamentele stelling van algebra

Verwysings

^ Protters & Morrey: "Calculus en Analitiese Meetkunde. Eerste kursus".
^ a b c Washington, Allyn J. (2000). Basiese tegniese wiskunde met calculus, sewende uitgawe . Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 978-0-201-35666-3.
^ Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H. (1991), Numbers , Graduate Texts in Mathematics, 123 , Springer, p. 77, ISBN 9780387974972.
^ Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies , Wiley Publishing, p. 219, ISBN 978-0-470-55964-2
^ Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra , The McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-141083-0, Hoofstuk 13 §4.4, p. 291
^ Himonas, Alex. Calculus vir Bedryfs- en Sosiale Wetenskappe , p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).
^ a b Kahan, Willian (20 November 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF) , opgespoor 2012-12-25
^ Alenit͡syn, Aleksandr en Butikov, Evgeniĭ. Beknopte handboek vir wiskunde en fisika , p. 38 (CRC Press 1997)
^ Δ is die voorletter van die Griekse woord Δ ιακρίνουσα, Diakrínousa , diskriminerend.
^ Achatz, Thomas; Anderson, John G .; McKenzie, Kathleen (2005). Tegniese winkel Wiskunde . Industriële Pers. bl. 277. ISBN 978-0-8311-3086-2.
^ "Komplekse wortels word sigbaar gemaak - wiskundige pretfeite" . Besoek op 1 Oktober 2016 .
^ Wharton, P. (2006). Essentials of Edexcel Gcse Math / Higher . Lonsdale. bl. 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.
^ Alec Norton, Benjamin Lotto (Junie 1984), "Komplekse wortels wat sigbaar is", The College Mathematics Journal , 15 (3): 248–249, doi : 10.2307 / 2686333 , JSTOR 2686333
^ Higham, Nicholas (2002), Akkuraatheid en stabiliteit van numeriese algoritmes (2de uitg.), SIAM, p. 10, ISBN 978-0-89871-521-7
^ Friberg, Jöran (2009). "'N Meetkundige algoritme met oplossings vir kwadratiese vergelykings in 'n Sumeriese regsdokument van Ur III Umma" . Spykerskrif digitale biblioteekjoernaal . 3 .
^ a b Stillwell, John (2004). Wiskunde en sy geskiedenis (2de uitg.) . Springer. ISBN 978-0-387-95336-6.
^ Die antieke geskiedenis van Cambridge Deel 2 Vroeë geskiedenis van die Midde-Ooste . Cambridge University Press. 1971. bl. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.
^ Henderson, David W. "Geometriese oplossings vir kwadratiese en kubieke vergelykings" . Wiskunde Departement, Cornell Universiteit . Besoek op 28 April 2013 .
^ a b Aitken, Wayne. "'N Chinese klassieke: die nege hoofstukke" (PDF) . Wiskunde Departement, Kaliforniese Staatsuniversiteit . Besoek op 28 April 2013 .
^ Smith, David Eugene (1958). Geskiedenis van Wiskunde . Courier Dover-publikasies. bl. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.
^ Smith, David Eugene (1958). Wiskundegeskiedenis, Deel 1 . Courier Dover-publikasies. bl. 134. ISBN 978-0-486-20429-1. Uittreksel van bladsy 134
^ a b c d Katz, VJ; Barton, B. (2006). "Stadiums in die geskiedenis van algebra met implikasies vir onderrig". Opvoedkundige studies in wiskunde . 66 (2): 185–201. doi : 10.1007 / s10649-006-9023-7 . S2CID 120363574 .
^ a b Boyer, Carl B .; Uta C. Merzbach , ds. redakteur (1991). 'N Geskiedenis van wiskunde . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.
^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Arabiese wiskunde: vergete briljantheid?" , MacTutor History of Mathematics argief , Universiteit van St Andrews "Algebra was 'n verenigende teorie wat toegelaat het dat rasionale getalle, irrasionale getalle, meetkundige groottes, ens., Almal as" algebraïese voorwerpe "behandel kan word."
^ Jacques Sesiano, "Islamitiese wiskunde", p. 148, in Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , reds. (2000), Wiskunde oor kulture: die geskiedenis van nie-westerse wiskunde , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
^ Smith, David Eugene (1958). Geskiedenis van Wiskunde . Courier Dover-publikasies. bl. 280. ISBN 978-0-486-20429-1.
^ Livio, Mario (2006). Die vergelyking wat nie opgelos kon word nie . Simon & Schuster. ISBN 978-0743258210.
^ Ronan, Colin (1985). Die korter wetenskap en beskawing in China . Cambridge University Press. bl. 15. ISBN 978-0-521-31536-4.
^ Struik, DJ; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF) , II – B , CV Swets & Zeitlinger, p. 470
^ Ballew, Pat. "Oplossing van kwadratiese vergelykings - volgens analitiese en grafiese metodes; insluitend verskeie metodes wat u nog nooit gesien het nie" (PDF) . Gearchiveer vanaf die oorspronklike (PDF) op 9 April 2011 . Besoek op 18 April 2013 .
^ Seares, FH (1945). "Trigonometriese oplossing van die kwadratiese vergelyking" . Publikasies van die Astronomical Society of the Pacific . 57 (339): 307–309. Bibcode : 1945PASP ... 57..307S . doi : 10.1086 / 125759 .
^ Aude, HTR (1938). "Die oplossings van die kwadratiese vergelyking verkry deur die hulp van die trigonometrie". Nasionale Wiskundetydskrif . 13 (3): 118–121. doi : 10.2307 / 3028750 . JSTOR 3028750 .
^ Simons, Stuart, "Alternatiewe benadering tot ingewikkelde wortels van regte kwadratiese vergelykings", Mathematical Gazette 93, Maart 2009, 91–92.
^ Bixby, William Herbert (1879), Grafiese metode om die werklike wortels van numeriese vergelykings van enige graad , West Point NY, maklik te vind
^ Weisstein, Eric W. "Carlyle Circle" . Van MathWorld-'n Wolfram-webbron . Besoek op 21 Mei 2013 .

Eksterne skakels

"Kwadratiese vergelyking" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Kwadratiese vergelykings" . MathWorld .
101 gebruike van 'n kwadratiese vergelyking
101 gebruike van 'n kwadratiese vergelyking: Deel II

[1] Protters & Morrey: "Calculus en Analitiese Meetkunde. Eerste kursus".

[Washington2000-2] Washington, Allyn J. (2000). Basiese tegniese wiskunde met calculus, sewende uitgawe . Addison Wesley Longman, Inc. ISBN 978-0-201-35666-3.

[3] Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H. (1991), Numbers , Graduate Texts in Mathematics, 123 , Springer, p. 77, ISBN 9780387974972.

[4] Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies , Wiley Publishing, p. 219, ISBN 978-0-470-55964-2

[5] Rich, Barnett; Schmidt, Philip (2004), Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra , The McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-141083-0, Hoofstuk 13 §4.4, p. 291

[6] Himonas, Alex. Calculus vir Bedryfs- en Sosiale Wetenskappe , p. 64 (Richard Dennis Publications, 2001).

[kahan-7] Kahan, Willian (20 November 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF) , opgespoor 2012-12-25

[8] Alenit͡syn, Aleksandr en Butikov, Evgeniĭ. Beknopte handboek vir wiskunde en fisika , p. 38 (CRC Press 1997)

[9] Δ is die voorletter van die Griekse woord Δ ιακρίνουσα, Diakrínousa , diskriminerend.

[10] Achatz, Thomas; Anderson, John G .; McKenzie, Kathleen (2005). Tegniese winkel Wiskunde . Industriële Pers. bl. 277. ISBN 978-0-8311-3086-2.

[11] "Komplekse wortels word sigbaar gemaak - wiskundige pretfeite" . Besoek op 1 Oktober 2016 .

[12] Wharton, P. (2006). Essentials of Edexcel Gcse Math / Higher . Lonsdale. bl. 63. ISBN 978-1-905-129-78-2.

[Norton1984-13] Alec Norton, Benjamin Lotto (Junie 1984), "Komplekse wortels wat sigbaar is", The College Mathematics Journal , 15 (3): 248–249, doi : 10.2307 / 2686333 , JSTOR 2686333

[Higham2002-14] Higham, Nicholas (2002), Akkuraatheid en stabiliteit van numeriese algoritmes (2de uitg.), SIAM, p. 10, ISBN 978-0-89871-521-7

[Friberg2009-15] Friberg, Jöran (2009). "'N Meetkundige algoritme met oplossings vir kwadratiese vergelykings in 'n Sumeriese regsdokument van Ur III Umma" . Spykerskrif digitale biblioteekjoernaal . 3 .

[Stillwell2004-16] Stillwell, John (2004). Wiskunde en sy geskiedenis (2de uitg.) . Springer. ISBN 978-0-387-95336-6.

[17] Die antieke geskiedenis van Cambridge Deel 2 Vroeë geskiedenis van die Midde-Ooste . Cambridge University Press. 1971. bl. 530. ISBN 978-0-521-07791-0.

[Henderson-18] Henderson, David W. "Geometriese oplossings vir kwadratiese en kubieke vergelykings" . Wiskunde Departement, Cornell Universiteit . Besoek op 28 April 2013 .

[Aitken-19] Aitken, Wayne. "'N Chinese klassieke: die nege hoofstukke" (PDF) . Wiskunde Departement, Kaliforniese Staatsuniversiteit . Besoek op 28 April 2013 .

[20] Smith, David Eugene (1958). Geskiedenis van Wiskunde . Courier Dover-publikasies. bl. 380. ISBN 978-0-486-20430-7.

[21] Smith, David Eugene (1958). Wiskundegeskiedenis, Deel 1 . Courier Dover-publikasies. bl. 134. ISBN 978-0-486-20429-1. Uittreksel van bladsy 134

[Katz2007-22] Katz, VJ; Barton, B. (2006). "Stadiums in die geskiedenis van algebra met implikasies vir onderrig". Opvoedkundige studies in wiskunde . 66 (2): 185–201. doi : 10.1007 / s10649-006-9023-7 . S2CID 120363574 .

[Boyer1991-23] Boyer, Carl B .; Uta C. Merzbach , ds. redakteur (1991). 'N Geskiedenis van wiskunde . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-54397-8.

[24] O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Arabiese wiskunde: vergete briljantheid?" , MacTutor History of Mathematics argief , Universiteit van St Andrews "Algebra was 'n verenigende teorie wat toegelaat het dat rasionale getalle, irrasionale getalle, meetkundige groottes, ens., Almal as" algebraïese voorwerpe "behandel kan word."

[25] Jacques Sesiano, "Islamitiese wiskunde", p. 148, in Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , reds. (2000), Wiskunde oor kulture: die geskiedenis van nie-westerse wiskunde , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1

[26] Smith, David Eugene (1958). Geskiedenis van Wiskunde . Courier Dover-publikasies. bl. 280. ISBN 978-0-486-20429-1.

[Livio2006-27] Livio, Mario (2006). Die vergelyking wat nie opgelos kon word nie . Simon & Schuster. ISBN 978-0743258210.

[Ron-28] Ronan, Colin (1985). Die korter wetenskap en beskawing in China . Cambridge University Press. bl. 15. ISBN 978-0-521-31536-4.

[29] Struik, DJ; Stevin, Simon (1958), The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF) , II – B , CV Swets & Zeitlinger, p. 470

[Ballew2007-30] Ballew, Pat. "Oplossing van kwadratiese vergelykings - volgens analitiese en grafiese metodes; insluitend verskeie metodes wat u nog nooit gesien het nie" (PDF) . Gearchiveer vanaf die oorspronklike (PDF) op 9 April 2011 . Besoek op 18 April 2013 .

[Seares1945-31] Seares, FH (1945). "Trigonometriese oplossing van die kwadratiese vergelyking" . Publikasies van die Astronomical Society of the Pacific . 57 (339): 307–309. Bibcode : 1945PASP ... 57..307S . doi : 10.1086 / 125759 .

[Aude1938-32] Aude, HTR (1938). "Die oplossings van die kwadratiese vergelyking verkry deur die hulp van die trigonometrie". Nasionale Wiskundetydskrif . 13 (3): 118–121. doi : 10.2307 / 3028750 . JSTOR 3028750 .

[33] Simons, Stuart, "Alternatiewe benadering tot ingewikkelde wortels van regte kwadratiese vergelykings", Mathematical Gazette 93, Maart 2009, 91–92.

[34] Bixby, William Herbert (1879), Grafiese metode om die werklike wortels van numeriese vergelykings van enige graad , West Point NY, maklik te vind

[Wolfram-35] Weisstein, Eric W. "Carlyle Circle" . Van MathWorld-'n Wolfram-webbron . Besoek op 21 Mei 2013 .

[1]