Punt (meetkunde)

'N Eindige stel punte in die tweedimensionele Euklidiese ruimte .

Punte, wat binne die raamwerk van die Euklidiese meetkunde beskou word , is een van die mees fundamentele voorwerpe. Euclid het die punt oorspronklik gedefinieer as "dit wat geen deel het nie". In twee-dimensionele Euklidiese ruimte , is 'n punt verteenwoordig deur 'n geordende paar ( x ,  y ) van getalle, waar die eerste getal konvensioneel verteenwoordig die horisontale en word dikwels aangedui deur x , en die tweede getal konvensioneel verteenwoordig die vertikale en word dikwels aangedui deur y . Hierdie idee word maklik veralgemeen tot 'n driedimensionele Euklidiese ruimte, waar 'n punt deur 'n geordende drieling ( x ,  y ,  z ) voorgestel word, met die bykomende derde getal wat diepte voorstel en dikwels aangedui deur z . Verdere veralgemenings word voorgestel deur 'n geordende tuplet van n terme, ( a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n ) waar n die dimensie is van die ruimte waarin die punt geleë is.

Baie konstruksies binne die Euklidiese meetkunde bestaan ​​uit 'n oneindige versameling punte wat aan sekere aksiomas voldoen. Dit word gewoonlik voorgestel deur 'n stel punte; As voorbeeld is 'n reël 'n oneindige stel punte van die vorm${\ displaystyle \ scriptstyle {L = \ lbrace (a_ {1}, a_ {2}, ... a_ {n}) | a_ {1} c_ {1} + a_ {2} c_ {2} + .. .a_ {n} c_ {n} = d \ rbrace}}$, waar c ₁ tot en met c _n en d konstantes is en n die dimensie van die ruimte is. Soortgelyke konstruksies bestaan ​​wat die vlak , lynstuk en ander verwante konsepte definieer . 'N Lynsegment wat slegs uit een punt bestaan, word 'n degenereerde lynsegment genoem.

Benewens die definiëring van punte en konstrukte wat verband hou met punte, het Euclid ook 'n belangrike idee oor punte geposuleer dat enige twee punte met 'n reguit lyn verbind kan word. Dit word maklik bevestig deur moderne uitbreidings van die Euclidiese meetkunde, en het by die bekendstelling blywende gevolge gehad, wat die konstruksie van byna al die meetkundige begrippe wat destyds bekend was, moontlik gemaak het. Die postulering van Euclid was egter nie volledig nie en ook nie definitief nie, en hy het kort-kort feite aangeneem oor punte wat nie direk uit sy aksiomas gevolg het nie, soos die ordening van punte op die lyn of die bestaan ​​van spesifieke punte. Ten spyte hiervan is moderne uitbreidings van die stelsel besig om hierdie aannames te verwyder.

Daar is verskillende ongelykwaardige definisies van dimensie in wiskunde. In al die algemene definisies is 'n punt 0-dimensioneel.

Vektorruimte-dimensie

Die dimensie van 'n vektorruimte is die maksimum grootte van 'n lineêr onafhanklike deelversameling. In 'n vektorruimte wat bestaan ​​uit 'n enkele punt (wat die nulvektor 0 moet wees ), is daar geen lineêre onafhanklike deelversameling nie. Die nulvektor is nie self lineêr onafhanklik nie, omdat daar 'n nie-triviale lineêre kombinasie is wat dit nul maak:${\ displaystyle 1 \ cdot \ mathbf {0} = \ mathbf {0}}$.

Topologiese dimensie

Die topologiese dimensie van 'n topologiese ruimte ${\ displaystyle X}$word gedefinieer as die minimum waarde van n , sodat elke eindige oop omslag ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ van ${\ displaystyle X}$ erken 'n eindige oop omslag ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ van ${\ displaystyle X}$wat verfyn ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$waarin geen punt meer as n +1 elemente bevat nie. As daar nie so 'n minimale n bestaan ​​nie, word gesê dat die ruimte oneindige bedekkingsdimensie het.

'N Punt is nul-dimensioneel ten opsigte van die bedekkingsdimensie, want elke oop bedekking van die ruimte het 'n verfyning wat bestaan ​​uit 'n enkele oop stel.

Hausdorff dimensie

Laat X 'n metrieke ruimte wees . As S ⊂ X en d ∈ [0, ∞), is die d -dimensionele Hausdorff-inhoud van S die minimum van die versameling getalle δ ≥ 0 sodat daar 'n mate van (geïndekseerde) versameling balle is ${\ displaystyle \ {B (x_ {i}, r_ {i}): i \ in I \}}$bedek S met r _i > 0 vir elke i ∈ I wat voldoen${\ displaystyle \ som _ {i \ in I} r_ {i} ^ {d} <\ delta}$.

Die Hausdorff-dimensie van X word gedefinieer deur

${\ displaystyle \ operatorname {dim} _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 \}.}$

'N Punt het Hausdorff-dimensie 0 omdat dit deur 'n enkele bal met 'n willekeurige klein straal bedek kan word.

Alhoewel die begrip van 'n punt oor die algemeen as fundamenteel beskou word in die hoofstroom meetkunde en topologie, is daar sekere stelsels wat dit prysgee, byvoorbeeld nie-kommutatiewe meetkunde en sinnelose topologie . A "nutteloos" of "pointfree" ruimte is nie gedefinieer word as 'n stel , maar via 'n struktuur ( algebraïese of logiese onderskeidelik) wat lyk soos 'n bekende funksie ruimte op die stel: 'n algebra van kontinue funksies of 'n algebra van stelle onderskeidelik . Meer presies, sulke strukture veralgemeen bekende ruimtes van funksies op 'n manier dat die bewerking "op hierdie punt 'n waarde neem" nie gedefinieer kan word nie. 'N Verdere tradisie begin uit sommige boeke van AN Whitehead waarin die begrip streek as 'n primitief beskou word, tesame met die boek van insluiting of verband .

Dikwels in fisika en wiskunde is dit nuttig om te dink aan 'n punt wat nie-nul massa of lading het (dit kom veral voor in klassieke elektromagnetisme , waar elektrone geïdealiseer word as punte met nie-nulading). Die Dirac delta-funksie , of δ- funksie , is (informeel) 'n algemene funksie op die reële getallelyn wat oral nul is, behalwe by nul, met 'n integraal van een oor die hele reële lyn. ^{[2] [3] [4]} Die delta-funksie word soms beskou as 'n oneindig hoë, oneindig dun piek aan die oorsprong, met totale oppervlakte een onder die piek, en verteenwoordig fisies 'n geïdealiseerde puntmassa of puntlading . ^[5] Dit is bekendgestel deur die teoretiese fisikus Paul Dirac . In die konteks van seinverwerking word dit dikwels die eenheidsimpuls (of funksie) genoem. ^[6] Die diskrete analoog daarvan is die Kronecker-delta- funksie, wat gewoonlik in 'n eindige domein gedefinieër word en waardes 0 en 1 inneem.

• Clarke, Bowman, 1985, " Individue en punte ," Notre Dame Journal of Formal Logic 26 : 61–75.
• De Laguna, T., 1922, "Punt, lyn en oppervlak as stelle vaste stowwe", The Journal of Philosophy 19 : 449–61.
• Gerla, G., 1995, " Pointless Geometries " in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: geboue en fondamente . Noord-Holland: 1015–31.
• Whitehead, AN , 1919. ' n Ondersoek rakende die beginsels van natuurlike kennis . Cambridge Univ. Druk. 2de uitg., 1925.
• Whitehead, AN, 1920. Die konsep van die natuur . Cambridge Univ. Druk. 2004 sagteband, Prometheus Books. Synde die 1919 Tarner-lesings wat by die Trinity College aangebied is .
• Whitehead, AN, 1979 (1929). Proses en werklikheid . Gratis pers.

• "Punt" . PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Point" . MathWorld .