Parabool

Paraboliese kompas ontwerp deur Leonardo da Vinci

Die vroegste bekende werk oor kegelsnitte was deur Menaechmus in die 4de eeu vC. Hy het 'n manier ontdek om die probleem van die verdubbeling van die kubus met parabolas op te los. (Die oplossing voldoen egter nie aan die vereistes van kompas-en-reguit konstruksie nie .) Die gebied wat deur 'n parabool en 'n lynsegment, die sogenaamde 'paraboolsegment', omring word, is deur Archimedes bereken volgens die metode van uitputting in die 3de eeu vC, in sy The Quadrature of the Parabola . Die naam "parabool" is te wyte aan Apollonius , wat baie eienskappe van kegelsnitte ontdek het. Dit beteken 'toepassing', verwysend na 'toepassing van oppervlaktes' wat 'n verband het met hierdie kromme, soos Apollonius bewys het. ^[1] Die fokus-directrix-eienskap van die parabool en ander kegelsnitte is te danke aan Pappus .

Galileo het getoon dat die pad van 'n projektiel 'n parabool volg, 'n gevolg van eenvormige versnelling as gevolg van swaartekrag.

Die idee dat 'n paraboliese weerkaatser 'n beeld kon lewer, was al bekend voor die uitvinding van die weerkaatsende teleskoop . ^[2] Ontwerpe is vroeg in die middel van die 17de eeu deur baie wiskundiges voorgestel , waaronder René Descartes , Marin Mersenne , ^[3] en James Gregory . ^[4] Toe Isaac Newton die eerste weerkaatsende teleskoop in 1668 bou, het hy 'n paraboliese spieël oorgeslaan vanweë die moeilikheid om te vervaardig en gekies vir 'n sferiese spieël . Paraboliese spieëls word in die meeste moderne weerkaatsende teleskope en in satellietskottels en radarontvangers gebruik . ^[5]

'N Parabool kan meetkundig gedefinieer word as 'n stel punte ( punte van die punte ) in die Euklidiese vlak:

• 'N Parabool is 'n stel punte, soos vir enige punt ${\ displaystyle P}$ van die stel die afstand ${\ displaystyle | PF |}$ na 'n vaste punt ${\ displaystyle F}$, die fokus , is gelyk aan die afstand${\ displaystyle | Pl |}$ na 'n vaste lyn ${\ displaystyle l}$, die directrix :

${\ displaystyle \ {P: | PF | = | Pl | \}.}$

Die middelpunt ${\ displaystyle V}$ van die loodregte vanaf die fokus ${\ displaystyle F}$ op die directrix ${\ displaystyle l}$word hoekpunt genoem , en die lyn${\ displaystyle FV}$is die simmetrie-as van die parabool.

Simmetrie-as parallel met die y- as

Parabool: Definisie, p : semi-latus rektum

Parabool: as parallel met die y- as

Parabool: algemene geval

As 'n mens Cartesiese koördinate bekendstel , so dat${\ displaystyle F = (0, f), \ f> 0,}$ en die directrix het die vergelyking ${\ displaystyle y = -f}$, kry mens vir 'n punt ${\ displaystyle P = (x, y)}$ van ${\ displaystyle | PF | ^ {2} = | Pl | ^ {2}}$ die vergelyking ${\ displaystyle x ^ {2} + (yf) ^ {2} = (y + f) ^ {2}}$. Oplossing vir${\ displaystyle y}$ opbrengste

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {4f}} x ^ {2}.}$

Hierdie parabool is U-vormig ( na bo oop ).

Die horisontale koord deur die fokus (sien die foto in die beginafdeling) word die latus rectum genoem ; die helfte daarvan is die semi-latus rektum . Die latus-rektum is parallel met die directrix. Die semi-latus rektum word deur die letter aangedui${\ displaystyle p}$. Uit die prentjie kry 'n mens

${\ displaystyle p = 2f.}$

Die latus-rektum word op dieselfde manier gedefinieer vir die ander twee kegels - die ellips en die hiperbool. Die latus-rektum is die lyn wat getrek word deur 'n fokus van 'n kegelsnit parallel met die direksie en word beide rigtings deur die kurwe beëindig. In elk geval,${\ displaystyle p}$is die radius van die ossierende sirkel by die hoekpunt. Vir 'n parabool, die semi-latus rektum,${\ displaystyle p}$, is die afstand van die fokus vanaf die directrix. Gebruik die parameter${\ displaystyle p}$, kan die vergelyking van die parabool herskryf word as

${\ displaystyle x ^ {2} = 2py.}$

Meer algemeen, as die hoekpunt is ${\ displaystyle V = (v_ {1}, v_ {2})}$, die fokus ${\ displaystyle F = (v_ {1}, v_ {2} + f)}$, en die directrix ${\ displaystyle y = v_ {2} -f}$, kry mens die vergelyking

${\ displaystyle y = {\ frac {1} {4f}} (x-v_ {1}) ^ {2} + v_ {2} = {\ frac {1} {4f}} x ^ {2} - { \ frac {v_ {1}} {2f}} x + {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {4f}} + v_ {2}.}$

Opmerkings

1. In die geval van ${\ displaystyle f <0}$ die parabool het 'n afwaartse opening.
2. Die veronderstelling dat die as parallel aan die y-as is, laat 'n mens toe om 'n parabool as die grafiek van 'n polinoom van graad 2 te beskou, en omgekeerd: die grafiek van 'n willekeurige polinoom van graad 2 is 'n parabool (sien volgende afdeling).
3. As mens ruil ${\ displaystyle x}$ en ${\ displaystyle y}$, kry mens vergelykings van die vorm ${\ displaystyle y ^ {2} = 2px}$. Hierdie parabolas is links oop (indien${\ displaystyle p <0}$) of regs (as ${\ displaystyle p> 0}$).

Algemene saak

As die fokus is ${\ displaystyle F = (f_ {1}, f_ {2})}$, en die directrix ${\ displaystyle ax + by + c = 0}$, dan kry 'n mens die vergelyking

${\ displaystyle {\ frac {(ax + by + c) ^ {2}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} = (x-f_ {1}) ^ {2} + (y- f_ {2}) ^ {2}}$

(die linkerkant van die vergelyking gebruik die Hesse normale vorm van 'n lyn om die afstand te bereken${\ displaystyle | Pl |}$).

Vir 'n parametriese vergelyking van 'n parabool in algemene posisie, sien § As die affine beeld van die eenheidsparabool .

Die implisiete vergelyking van 'n parabool word gedefinieer deur 'n onherleibare polinoom van graad twee:

${\ displaystyle ax ^ {2} + bxy + cy ^ {2} + dx + ey + f = 0,}$

sodat ${\ displaystyle b ^ {2} -4ac = 0,}$ of, ekwivalent, sodanig dat ${\ displaystyle byl ^ {2} + bxy + cy ^ {2}}$is die vierkant van 'n lineêre polinoom .

Parabolas ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$

Die vorige afdeling toon aan dat enige parabool met die oorsprong as hoekpunt en die y- as simmetrie-as beskou kan word as die grafiek van 'n funksie

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} {\ text {with}} a \ neq 0.}$

Vir ${\ displaystyle a> 0}$ die parabolas begin na bo en vir ${\ displaystyle a <0}$oop na onder (sien foto). Uit die bostaande gedeelte verkry 'n mens:

• Die fokus is${\ displaystyle \ left (0, {\ frac {1} {4a}} \ right)}$,
• die brandpuntafstand ${\ displaystyle {\ frac {1} {4a}}}$, Die semi-latus rectum is${\ displaystyle p = {\ frac {1} {2a}}}$,
• die hoekpunt is${\ displaystyle (0,0)}$,
• die directrix het die vergelyking${\ displaystyle y = - {\ frac {1} {4a}}}$,
• die raaklyn op die punt${\ displaystyle (x_ {0}, ax_ {0} ^ {2})}$ het die vergelyking ${\ displaystyle y = 2ax_ {0} x-ax_ {0} ^ {2}}$.

Vir ${\ displaystyle a = 1}$die parabool is die eenheidsparabool met vergelyking${\ displaystyle y = x ^ {2}}$. Die fokus daarvan is${\ displaystyle \ left (0, {\ tfrac {1} {4}} \ right)}$, die semi-latus rektum ${\ displaystyle p = {\ tfrac {1} {2}}}$, en die directrix het die vergelyking ${\ displaystyle y = - {\ tfrac {1} {4}}}$.

Die algemene funksie van graad 2 is

${\ displaystyle f (x) = ax ^ {2} + bx + c {\ text {with}} a, b, c \ in \ mathbb {R}, \ a \ neq 0}$.

Voltooiing van die vierkantige opbrengste

${\ displaystyle f (x) = a \ left (x + {\ frac {b} {2a}} \ right) ^ {2} + {\ frac {4ac-b ^ {2}} {4a}},}$

wat die vergelyking van 'n parabool met

• die as ${\ displaystyle x = - {\ frac {b} {2a}}}$(parallel met die y- as),
• die brandpuntafstand ${\ displaystyle {\ frac {1} {4a}}}$, die semi-latus rektum ${\ displaystyle p = {\ frac {1} {2a}}}$,
• die hoekpunt ${\ displaystyle V = \ left (- {\ frac {b} {2a}}, {\ frac {4ac-b ^ {2}} {4a}} \ right)}$,
• die fokus ${\ displaystyle F = \ left (- {\ frac {b} {2a}}, {\ frac {4ac-b ^ {2} +1} {4a}} \ regs)}$,
• die directrix ${\ displaystyle y = {\ frac {4ac-b ^ {2} -1} {4a}}}$,
• die punt van die parabool wat die y- as sny, het koördinate${\ displaystyle (0, c)}$,
• die raaklyn op 'n punt op die y- as het die vergelyking${\ displaystyle y = bx + c}$.

Wanneer die parabool ${\ displaystyle \ kleur {blou} {y = 2x ^ {2}}}$ word eenvormig volgens faktor 2 geskaal, die resultaat is die parabool ${\ displaystyle \ kleur {rooi} {y = x ^ {2}}}$

Twee voorwerpe in die Euklidiese vlak is soortgelyk as die een na die ander getransformeer kan word deur 'n ooreenkoms , dit wil sê 'n arbitrêre samestelling van rigiede bewegings ( vertalings en rotasies ) en eenvormige skale .

'N Parabool ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ met hoekpunt ${\ displaystyle V = (v_ {1}, v_ {2})}$ kan getransformeer word deur die vertaling ${\ displaystyle (x, y) \ tot (x-v_ {1}, y-v_ {2})}$na een met die oorsprong as hoekpunt. 'N Geskikte draai rondom die oorsprong kan die parabool dan transformeer na een wat die y- as simmetrie-as het. Vandaar die parabool${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ kan deur 'n rigiede beweging na 'n parabool met 'n vergelyking getransformeer word ${\ displaystyle y = ax ^ {2}, \ a \ neq 0}$. So 'n parabool kan dan getransformeer word deur die eenvormige skaal ${\ displaystyle (x, y) \ to (ax, ay)}$ in die eenheidsparabool met vergelyking ${\ displaystyle y = x ^ {2}}$. Dus kan enige parabool deur die eenheidsparabool deur 'n ooreenkoms gekarteer word. ^[6]

'N Sintetiese benadering, wat soortgelyke driehoeke gebruik, kan ook gebruik word om hierdie resultaat te bepaal. ^[7]

Die algemene resultaat is dat twee kegelsnitte (noodwendig van dieselfde tipe) dieselfde is as en net as hulle dieselfde eksentrisiteit het. ^[6] Daarom is dit slegs sirkels (almal met eksentrisiteit 0) wat hierdie eienskap met parabolas deel (almal met eksentrisiteit 1), terwyl algemene ellipse en hiperbole dit nie doen nie.

Daar is ander eenvoudige affine transformasies wat die parabool karteer ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$ op die eenheidsparabool, soos ${\ displaystyle (x, y) \ na links (x, {\ tfrac {y} {a}} \ regs)}$. Maar hierdie kartering is nie 'n ooreenkoms nie, en toon slegs aan dat alle parabolas 'n ekwivalente weergawe is (sien § As die affine beeld van die eenheidsparabool ).

Potlood van kegels met 'n gemeenskaplike hoekpunt

Die potlood van kegelsnedes met die x -as as simmetrie, een hoekpunt by die oorsprong (0, 0) en dieselfde semi-latus rectum${\ displaystyle p}$ kan deur die vergelyking voorgestel word

${\ displaystyle y ^ {2} = 2px + (e ^ {2} -1) x ^ {2}, \ quad e \ geq 0,}$

met ${\ displaystyle e}$die eksentrisiteit .

• Vir ${\ displaystyle e = 0}$die keëlvorm is 'n sirkel (osculerende sirkel van die potlood),
• vir ${\ displaystyle 0$'n ellips ,
• vir ${\ displaystyle e = 1}$die parabool met vergelyking${\ displaystyle y ^ {2} = 2px,}$
• vir ${\ displaystyle e> 1}$ 'n hiperbool (sien foto).

Potlood van kegels met 'n algemene fokus

As p > 0 , is die parabool met vergelyking${\ displaystyle y ^ {2} = 2px}$(regs oop) het die polêre voorstelling

${\ displaystyle r = 2p {\ frac {\ cos \ varphi} {\ sin ^ {2} \ varphi}}, \ quad \ varphi \ in \ left [- {\ tfrac {\ pi} {2}}, { \ tfrac {\ pi} {2}} \ reg] \ setminus \ {0 \}}$

( ${\ displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}, \ x = r \ cos \ varphi}$).

Sy hoekpunt is ${\ displaystyle V = (0,0)}$, en die fokus daarvan is ${\ displaystyle F = \ left ({\ tfrac {p} {2}}, 0 \ regs)}$.

As 'n mens die oorsprong in die fokus skuif, is dit: ${\ displaystyle F = (0,0)}$, kry mens die vergelyking

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1- \ cos \ varphi}}, \ quad \ varphi \ neq 2 \ pi k.}$

Opmerking 1: Die omkeer van hierdie poolvorm toon dat 'n parabool die omgekeerde van 'n kardioïed is .

Opmerking 2: Die tweede poolvorm is 'n spesiale geval van 'n kegelpotlood met fokus${\ displaystyle F = (0,0)}$ (sien foto):

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1-e \ cos \ varphi}}}$ ( ${\ displaystyle e}$ is die eksentrisiteit).

Diagram, beskrywing en definisies

Kegel met deursnit

Die diagram stel 'n keël voor met sy as AV . Die punt A is sy toppunt . 'N Skuins dwarssnit van die keël, in pienk getoon, word vanaf dieselfde as inc as die kant van die keël geneig . Volgens die definisie van 'n parabool as 'n kegelsnit, is die grens van hierdie pienk deursnit EPD 'n parabool.

'N Doorsnit loodreg op die as van die keël gaan deur die hoekpunt P van die parabool. Hierdie deursnit is sirkelvormig, maar lyk skuins as ellipties , soos in die diagram getoon. Die middelpunt daarvan is V, en PK is 'n deursnee. Ons sal die radius daarvan  r noem .

Nog 'n loodreg op die as, sirkelvormige dwarsdeursnit van die keël is verder van die punt A as die pas beskryf. Dit het 'n koord DE , wat aansluit by die punte waar die parabool die sirkel sny . 'N Ander koord BC is die loodregte halvering van DE en is gevolglik 'n deursnee van die sirkel. Hierdie twee akkoorde en die parabool se simmetrie-as PM sny mekaar by die punt M.

Al die punte wat gemerk is, behalwe D en E, is van dieselfde vlak . Dit is in die simmetrievlak van die hele figuur. Dit sluit die punt F in, wat nie hierbo genoem word nie. Dit word hieronder omskryf en bespreek, in § Positie van die fokus .

Laat ons die lengte van DM en EM x noem , en die lengte van PM  y .

Afleiding van kwadratiese vergelyking

Die lengtes van BM en CM is:

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {BM}}} = 2j \ sin \ theta}$ (driehoek BPM is gelykbenig , want ${\ displaystyle {\ overline {PM}} \ parallel {\ overline {AC}} \ impliseer \ hoek PMB = \ hoek ACB = \ hoek ABC}$),

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {CM}}} = 2r}$ (PMCK is 'n parallelogram ).

Met behulp van die snydende akkoordestelling op die akkoorde BC en DE , kry ons

${\ displaystyle {\ overline {\ mathrm {BM}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {CM}}} = {\ overline {\ mathrm {DM}}} \ cdot {\ overline {\ mathrm {EM} }}.}$

Vervang:

${\ displaystyle 4ry \ sin \ theta = x ^ {2}.}$

Herskik:

${\ displaystyle y = {\ frac {x ^ {2}} {4r \ sin \ theta}}.}$

Vir enige gegewe keël en parabool is r en con konstantes, maar x en y is veranderlikes wat afhang van die willekeurige hoogte waarop die horisontale deursnit BECD gemaak word. Hierdie laaste vergelyking toon die verband tussen hierdie veranderlikes. Hulle kan geïnterpreteer word as Cartesiese koördinate van die punte D en E, in 'n stelsel in die pienk vlak met P as oorsprong. Aangesien x in die vergelyking vierkantig is, is die feit dat D en E weerskante van die y- as is, onbelangrik. As die horisontale dwarsdeursnit op of af beweeg, in die rigting van of weg van die punt van die keël, beweeg D en E langs die parabool, terwyl die verhouding tussen x en y altyd in die vergelyking behou word. Die paraboliese kurwe is dus die plek van punte waar die vergelyking bevredig word, wat 'n kartesiese grafiek maak van die kwadratiese funksie in die vergelyking.

Brandpuntafstand

In 'n voorafgaande gedeelte word bewys dat as 'n parabool sy hoekpunt aan die oorsprong het, en as dit in die positiewe y- rigting oopgaan , dan is die vergelyking y =x ²/4 f, waar f sy brandpunt is. ^[b] As u dit vergelyk met die laaste vergelyking hierbo, blyk dit dat die brandpuntafstand van die parabool in die keël r sin θ is .

Fokusposisie

In die diagram hierbo is die punt V die voet van die loodregte punt van die hoekpunt van die parabool tot die as van die keël. Die punt F is die voet van die loodregte punt van die punt V tot by die vlak van die parabool. ^[c] Volgens simmetrie is F op die simmetrie-as van die parabool. Hoek VPF is aanvullend tot θ , en hoek PVF is aanvullend tot hoek VPF, daarom is hoek PVF θ . Sedert die lengte van PV is r , die afstand van F van die toppunt van die parabool is r sonde θ . Hierbo word aangetoon dat hierdie afstand gelyk is aan die brandpuntlengte van die parabool, wat die afstand van die hoekpunt tot die fokus is. Die fokus en die punt F is dus ewe ver van die hoekpunt, oor dieselfde lyn, wat impliseer dat dit dieselfde punt is. Daarom is die punt F, hierbo gedefinieer, die fokus van die parabool .

Hierdie bespreking het begin met die definisie van 'n parabool as 'n kegelsnit, maar dit het nou gelei tot 'n beskrywing as 'n grafiek van 'n kwadratiese funksie. Dit toon aan dat hierdie twee beskrywings gelykstaande is. Hulle definieer albei kurwes van presies dieselfde vorm.

Alternatiewe bewys met Dandelin-sfere

Parabool (rooi): syprojeksie-aansig en bo-projeksie-aansig van 'n keël met 'n Dandelin-bol

'N Alternatiewe bewys kan met behulp van Dandelin-sfere gedoen word . Dit werk sonder berekening en gebruik slegs elementêre meetkundige oorwegings (sien die afleiding hieronder).

Die kruising van 'n regop kegel deur 'n vliegtuig ${\ displaystyle \ pi}$, waarvan die helling van vertikaal dieselfde is as 'n generatriks (oftewel kragopwekkerlyn, 'n lyn wat die toppunt bevat en 'n punt op die kegeloppervlak)${\ displaystyle m_ {0}}$ van die keël, is 'n parabool (rooi kurwe in die diagram).

Hierdie generatrix ${\ displaystyle m_ {0}}$ is die enigste generatriks van die keël wat parallel is aan vlak ${\ displaystyle \ pi}$. Andersins, as daar twee generatrices ewewydig aan die kruisvlak is, sal die kruisingskurwe 'n hiperbool wees (of ontaarde hiperbool , as die twee generatrices in die snyvlak is). As daar geen generatriks parallel met die snyvlak is nie, is die snypunt 'n ellips of 'n sirkel (of ' n punt ).

Laat vliegtuig ${\ displaystyle \ sigma}$ die vlak wees wat die vertikale as van die kegel en lyn bevat ${\ displaystyle m_ {0}}$. Die helling van die vliegtuig${\ displaystyle \ pi}$ van vertikaal is dieselfde as lyn ${\ displaystyle m_ {0}}$ beteken dat, van die kant af gekyk word (dit wil sê die vliegtuig) ${\ displaystyle \ pi}$ is loodreg op vlak ${\ displaystyle \ sigma}$), ${\ displaystyle m_ {0} \ parallel \ pi}$.

Om die direkterix-eienskap van 'n parabool te bewys (sien § Definisie as 'n plek van punte hierbo), gebruik 'n mens 'n Dandelin-sfeer ${\ displaystyle d}$, wat 'n sfeer is wat die keël langs 'n sirkel raak ${\ displaystyle c}$ en vliegtuig ${\ displaystyle \ pi}$ op die punt ${\ displaystyle F}$. Die vlak wat die sirkel bevat${\ displaystyle c}$ kruis met vliegtuig ${\ displaystyle \ pi}$ in lyn ${\ displaystyle l}$. Daar is 'n spieelsimmetrie in die stelsel wat bestaan ​​uit vlak${\ displaystyle \ pi}$, Dandelin-sfeer ${\ displaystyle d}$en die keël (die vlak van simmetrie is${\ displaystyle \ sigma}$).

Aangesien die vliegtuig wat die sirkel bevat ${\ displaystyle c}$ is loodreg op vlak ${\ displaystyle \ sigma}$, en ${\ displaystyle \ pi \ perp \ sigma}$, hul kruisingslyn ${\ displaystyle l}$ moet ook loodreg op vlak wees ${\ displaystyle \ sigma}$. Sedert lyn${\ displaystyle m_ {0}}$ is in vliegtuig ${\ displaystyle \ sigma}$, ${\ displaystyle l \ perp m_ {0}}$.

Dit blyk dat ${\ displaystyle F}$is die fokus van die parabool, en${\ displaystyle l}$is die direkte reeks van die parabool.

1. Laat ${\ displaystyle P}$ 'n arbitrêre punt van die kruisingskurwe wees.
2. Die generatrix van die keël bevat${\ displaystyle P}$ kruis sirkel ${\ displaystyle c}$ op die punt ${\ displaystyle A}$.
3. Die lynsegmente ${\ displaystyle {\ overline {PF}}}$ en ${\ displaystyle {\ overline {PA}}}$ raak die sfeer raak ${\ displaystyle d}$, en is dus ewe lank.
4. Generatrix ${\ displaystyle m_ {0}}$ sny die sirkel ${\ displaystyle c}$ op die punt ${\ displaystyle D}$. Die lynsegmente${\ displaystyle {\ oorsig {ZD}}}$ en ${\ displaystyle {\ oorsig {ZA}}}$ raak die sfeer raak ${\ displaystyle d}$, en is dus ewe lank.
5. Laat lyn ${\ displaystyle q}$ die lyn parallel met wees ${\ displaystyle m_ {0}}$ en deurgangspunt ${\ displaystyle P}$. Sedert${\ displaystyle m_ {0} \ parallel \ pi}$, en punt ${\ displaystyle P}$ is in vliegtuig ${\ displaystyle \ pi}$, lyn ${\ displaystyle q}$ moet in vliegtuig wees ${\ displaystyle \ pi}$. Sedert${\ displaystyle m_ {0} \ perp l}$, ons weet dit ${\ displaystyle q \ perp l}$ ook.
6. Laat wys ${\ displaystyle B}$wees die voet van die loodregte van punt${\ displaystyle P}$ om te reël ${\ displaystyle l}$, dit wil sê ${\ displaystyle {\ overline {PB}}}$ is 'n segment van die lyn ${\ displaystyle q}$, en vandaar ${\ displaystyle {\ overline {PB}} \ parallel {\ overline {ZD}}}$.
7. Van onderskep stelling en${\ displaystyle {\ overline {ZD}} = {\ overline {ZA}}}$ ons weet dit ${\ displaystyle {\ overline {PA}} = {\ overline {PB}}}$. Sedert${\ displaystyle {\ overline {PA}} = {\ overline {PF}}}$, ons weet dit ${\ displaystyle {\ overline {PF}} = {\ overline {PB}}}$, wat beteken dat die afstand vanaf ${\ displaystyle P}$ tot die fokus ${\ displaystyle F}$ is gelyk aan die afstand vanaf ${\ displaystyle P}$ na die directrix ${\ displaystyle l}$.

Weerkaatsende eienskap van 'n parabool

Die reflektiewe eienskap stel dat as 'n parabool lig kan weerkaats, dan lig wat dit binnedring parallel met die as van simmetrie beweeg, na die fokus weerkaats word. Dit is afgelei van meetkundige optika , gebaseer op die aanname dat lig in strale beweeg.

Beskou die parabool y = x ² . Aangesien alle parabolas dieselfde is, verteenwoordig hierdie eenvoudige geval alle ander.

Konstruksie en definisies

Die punt E is 'n arbitrêre punt op die parabool. Die fokus is F, die hoekpunt is A (die oorsprong) en die lyn FA is die as van simmetrie. Die lyn EC is parallel met die simmetrie-as en sny die x- as by D. Die punt B is die middelpunt van die lynstuk FC .

Aftrekkings

Die hoekpunt A is ewe ver van die fokus F en van die directrix. Aangesien C op die direksie is, is die y- koördinate van F en C gelyk in absolute waarde en teenoorgestelde in teken. B is die middelpunt van FC . Die x- koördinaat is die helfte van die D, dit wil sê x / 2 . Die helling van die lyn BE is die kwosiënt van die lengtes van ED en BD , dit wil sêx ²/x / 2= 2 x . Maar 2 x is ook die helling (eerste afgeleide) van die parabool by E. Daarom is die lyn BE die raaklyn aan die parabool by E.

Die afstande EF en EC is gelyk, want E is op die parabool, F is die fokuspunt en C is op die direkte reeks. Aangesien B dus die middelpunt van FC is , is driehoeke △ FEB en △ CEB kongruent (drie sye), wat impliseer dat die hoeke gemerk α kongruent is. (Die hoek bo E is vertikaal teenoorgestelde hoek ∠BEC.) Dit beteken dat 'n ligstraal wat die parabool binnedring en E bereik wat parallel met die simmetrie-as beweeg, deur die lyn BE gereflekteer word sodat dit langs die lyn EF beweeg , soos in die diagram in rooi aangedui (met die veronderstelling dat die lyne op een of ander manier die lig kan weerkaats). Aangesien BE die raaklyn aan die parabool by E is, sal dieselfde weerkaatsing gedoen word deur 'n infinitesimale boog van die parabool by E. Daarom word lig wat die parabool binnedring en by E aankom, parallel met die simmetrie-as van die parabool gereflekteer deur die parabool in die rigting van sy fokus.

Hierdie gevolgtrekking oor weerkaatsde lig is van toepassing op alle punte op die parabool, soos aangedui aan die linkerkant van die diagram. Dit is die reflekterende eienskap.

Ander gevolge

Daar is ander stellings wat eenvoudig uit die bostaande argument afgelei kan word.

Tangens-halveringseiendom

Die bewys hierbo en die meegaande diagram toon dat die raaklyn BE die hoek ∠FEC halveer. Met ander woorde, die raaklyn aan die parabool halveer op enige punt die hoek tussen die lyne wat die punt tot die fokus verbind en loodreg op die directrix.

Kruising van 'n raaklyn en loodreg vanaf die fokus

Loodreg van fokus tot raaklyn

Aangesien driehoeke △ FBE en △ CBE kongruent is, is FB loodreg op die raaklyn BE . Aangesien B op die x- as is, wat die raaklyn aan die parabool op sy hoekpunt is, volg dit dat die snypunt tussen enige raaklyn aan 'n parabool en die loodregte vanaf die fokus tot die raaklyn op die lyn lê wat raaklyn is aan die parabool op sy hoekpunt. Sien geanimeerde diagram ^[8] en pedaalkurwe .

Weerkaatsing van die lig wat die konvekse kant tref

As lig langs die lyn CE beweeg, beweeg dit parallel met die simmetrie-as en tref die konvekse kant van die parabool by E. Dit is duidelik uit die bostaande diagram dat hierdie lig direk weg van die fokus af sal weerkaats, langs 'n verlenging van die segment FE .

Alternatiewe bewyse

Parabool en raaklyn

Die bostaande bewyse van die reflekterende en raaklynde halveringseienskappe gebruik 'n rekenslyn. Hier word 'n meetkundige bewys aangebied.

In hierdie diagram is F die fokus van die parabool, en T en U lê op die direkte reeks daarvan. P is 'n arbitrêre punt op die parabool. PT is loodreg op die directrix en die lyn MP halveer die hoek ∠FPT. Q is 'n ander punt op die parabool, met QU loodreg op die directrix. Ons weet dat FP  =  PT en FQ  =  QU . Dit is duidelik dat QT  >  QU , dus QT  >  FQ . Alle punte op die halvering MP is ewe ver van F en T, maar Q is nader aan F dan aan T. Dit beteken dat Q links van MP is , dit wil sê aan dieselfde kant daarvan as die fokus. Dieselfde sou waar wees as Q op enige ander plek op die parabool geleë was (behalwe by die punt P), dus die hele parabool, behalwe die punt P, is aan die fokuskant van die MP . Daarom is MP die raaklyn aan die parabool by P. Aangesien dit die hoek ∠FPT halveer, bewys dit die raaklyn-halveringseienskap.

Die logika van die laaste paragraaf kan toegepas word om bogenoemde bewys van die reflektiewe eiendom te wysig. Dit bewys effektief dat die lyn BE die raaklyn aan die parabool by E is as die hoeke α gelyk is. Die reflektiewe eienskap volg soos voorheen getoon.

Parabool: pen-string konstruksie

Die definisie van 'n parabool op grond van die fokus en die direkte regs kan gebruik word om dit met behulp van penne en toutjies te teken: ^[9]

1. Kies die fokus ${\ displaystyle F}$en die directrix ${\ displaystyle l}$ van die parabool.
2. Neem 'n driehoek van 'n vaste vierkant en berei 'n tou met lengte voor${\ displaystyle | AB |}$ (sien diagram).
3. Speld die een punt van die tou op die punt vas ${\ displaystyle A}$ van die driehoek en die ander een na die fokus ${\ displaystyle F}$.
4. Plaas die driehoek sodanig dat die tweede rand van die regte hoek vry is om langs die direksie te skuif .
5. Neem 'n pen en hou die tou styf vas aan die driehoek.
6. Terwyl die driehoek langs die direkte lyn beweeg, trek die pen ' n boog van 'n parabool, as gevolg van${\ displaystyle | PF | = | PB |}$ (sien definisie van 'n parabool).

'N Parabool kan beskou word as die affine deel van 'n nie-ontaarde projeksiekegel met 'n punt ${\ displaystyle Y _ {\ infty}}$ op die lyn van oneindigheid ${\ displaystyle g _ {\ infty}}$, wat die raaklyn is by ${\ displaystyle Y _ {\ infty}}$. Die 5-, 4- en 3-punt-degenerasies van Pascal se stelling is eienskappe van 'n keëlvorm wat ten minste een raaklyn het. As 'n mens hierdie raaklyn as die grens by oneindigheid en sy raakpunt as die punt by oneindigheid van die y- as beskou, verkry 'n mens drie stellings vir 'n parabool.

Die volgende eienskappe van 'n parabool handel slegs oor terme verbind , kruis , parallel , wat veranderlikes van ooreenkomste is . Dit is dus voldoende om enige eiendom vir die eenheidsparabool met vergelyking te bewys${\ displaystyle y = x ^ {2}}$.

4-punt eiendom

4-punt-eiendom van 'n parabool

Enige parabool kan in 'n geskikte koördinaatstelsel deur 'n vergelyking beskryf word ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$.

• Laat ${\ displaystyle P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), \ P_ {2} = (x_ {2}, y_ {2}), \ P_ {3} = (x_ {3}, y_ {3}), \ P_ {4} = (x_ {4}, y_ {4})}$ vier punte van die parabool wees ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$, en ${\ displaystyle Q_ {2}}$ die kruising van die sekantlyn ${\ displaystyle P_ {1} P_ {4}}$ met die lyn ${\ displaystyle x = x_ {2},}$ en laat ${\ displaystyle Q_ {1}}$ die kruising van die sekantlyn wees ${\ displaystyle P_ {2} P_ {3}}$ met die lyn ${\ displaystyle x = x_ {1}}$(sien foto). Dan die sekantlyn${\ displaystyle P_ {3} P_ {4}}$ is parallel met die lyn ${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$.

(Die lyne ${\ displaystyle x = x_ {1}}$ en ${\ displaystyle x = x_ {2}}$ is parallel aan die as van die parabool.)

Bewys: reguit berekening vir die eenheidsparabool${\ displaystyle y = x ^ {2}}$.

Toepassing: Die 4-punt-eiendom van 'n parabool kan gebruik word vir die konstruksie van punt${\ displaystyle P_ {4}}$, terwyl ${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ en ${\ displaystyle Q_ {2}}$ word gegee.

Opmerking: die 4-punt-eienskap van 'n parabool is 'n kort weergawe van die 5-punt-degenerasie van die stelling van Pascal.

3-punte – 1 raaklyn-eienskap

3-punte – 1 raaklyn-eienskap

Laat ${\ displaystyle P_ {0} = (x_ {0}, y_ {0}), P_ {1} = (x_ {1}, y_ {1}), P_ {2} = (x_ {2}, y_ { 2})}$ drie punte van die parabool met vergelyking wees ${\ displaystyle y = ax ^ {2}}$ en ${\ displaystyle Q_ {2}}$ die kruising van die sekantlyn ${\ displaystyle P_ {0} P_ {1}}$ met die lyn ${\ displaystyle x = x_ {2}}$ en ${\ displaystyle Q_ {1}}$ die kruising van die sekantlyn ${\ displaystyle P_ {0} P_ {2}}$ met die lyn ${\ displaystyle x = x_ {1}}$(sien foto). Dan raak die raaklyn op die punt${\ displaystyle P_ {0}}$ is parallel met die lyn ${\ displaystyle Q_ {1} Q_ {2}}$. (Die lyne${\ displaystyle x = x_ {1}}$ en ${\ displaystyle x = x_ {2}}$ is parallel aan die as van die parabool.)