• logo

Wiskunde

Wiskunde (uit Grieks : μάθημα , Mathema , se kennis, studeerkamer, leer ') sluit die studie van onderwerpe soos hoeveelheid ( aantal teorie ), [1] struktuur ( algebra ), [2] ruimte ( meetkunde ), [1] en verandering ( analise ). [3] [4] [5] Dit het geen algemeen aanvaarde definisie nie . [6] [7]

Griekse wiskundige Euclid (hou kalibers vas ), 3de eeu v.C., soos deur Raphael in hierdie besonderheid voorgestel het uit The School of Athens (1509–1511) [a]

Wiskundiges soek en gebruik patrone [8] [9] om nuwe vermoede te formuleer ; hulle los die waarheid of valsheid daarvan op deur wiskundige bewys . Wanneer wiskundige strukture goeie modelle van werklike verskynsels is, kan wiskundige redenasies gebruik word om insig of voorspellings oor die natuur te bied. Deur middel van abstraksie en logika het wiskunde ontwikkel uit tel , berekening , meting en die stelselmatige studie van die vorms en bewegings van fisiese voorwerpe . Praktiese wiskunde was 'n menslike aktiwiteit van so ver terug as wat geskrewe rekords bestaan. Die navorsing wat nodig is om wiskundige probleme op te los, kan jare of selfs eeue se volgehoue ​​ondersoek duur.

Streng argumente verskyn die eerste keer in die Griekse wiskunde , veral in die elemente van Euclid . [10] Sedert die baanbrekerswerk van Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) en ander oor aksiomatiese stelsels in die laat 19de eeu , het dit gebruiklik geword om wiskundige navorsing as die waarheid te bepaal deur streng afleiding van toepaslik gekose aksiomas en definisies . Wiskunde het relatief stadig ontwikkel tot die Renaissance , toe wiskundige innovasies met nuwe wetenskaplike ontdekkings in wisselwerking gelei het tot 'n vinnige toename in die tempo van wiskundige ontdekking wat tot vandag toe voortgeduur het. [11]

Wiskunde is noodsaaklik op baie terreine, insluitend natuurwetenskap , ingenieurswese , medisyne , finansies en die sosiale wetenskappe . Toegepaste wiskunde het gelei tot heeltemal nuwe wiskundige dissiplines, soos statistiek en spelteorie . Wiskundiges is besig met suiwer wiskunde (wiskunde om sy eie ontwil) sonder om enige toepassing in gedagte te hou, maar praktiese toepassings vir wat as suiwer wiskunde begin het, word dikwels later ontdek. [12] [13]

Geskiedenis

Die geskiedenis van wiskunde kan gesien word as 'n toenemende reeks abstraksies . Die eerste abstraksie, wat deur baie diere gedeel word, [14] was waarskynlik dié van getalle: die besef dat 'n versameling van twee appels en 'n versameling van twee lemoene (byvoorbeeld) iets gemeen het, naamlik die hoeveelheid lede.

Soos blyk uit tallies wat op die been voorkom, kan die prehistoriese volke nie net erkenning gee aan hoe om fisiese voorwerpe te tel nie , ook hoe om abstrakte hoeveelhede te tel, soos tyd — dae, seisoene of jare. [15] [16]

Die Babelse wiskundige tablet Plimpton 322, gedateer tot 1800 vC.

Bewyse vir meer komplekse wiskunde verskyn eers omstreeks 3000  vC , toe die Babiloniërs en Egiptenare rekenkunde , algebra en meetkunde begin gebruik het vir belasting en ander finansiële berekeninge, vir bou en konstruksie en vir sterrekunde . [17] Die oudste wiskundige tekste uit Mesopotamië en Egipte is van 2000 tot 1800 vC. [18] Baie vroeë tekste noem Pythagorese verdrievoudiging, en die gevolgtrekking blyk dat die Pythagorese stelling die oudste en wydste wiskundige ontwikkeling na basiese rekenkunde en meetkunde is. [19] Dit is in die Babiloniese wiskunde dat elementêre rekenkunde ( optelling , aftrekking , vermenigvuldiging en deling ) die eerste keer in die argeologiese verslag verskyn. Die Babiloniërs het ook 'n plekwaardestelsel besit en 'n sekssimale syferstelsel gebruik [19] wat vandag nog gebruik word om hoeke en tyd te meet. [20]

Archimedes het die metode van uitputting gebruik om die waarde van pi te benader .

Begin in die 6de eeu vC met die Pythagoreërs , en met die Griekse wiskunde begin die antieke Grieke met 'n sistematiese studie van wiskunde as 'n vak op sigself. [21] Omstreeks 300 vC het Euclid die aksiomatiese metode bekendgestel wat vandag nog in die wiskunde gebruik word, bestaande uit definisie, aksioma, stelling en bewys. Sy boek, Elements , word allerweë beskou as die suksesvolste en invloedrykste handboek van alle tye. [22] Die grootste wiskundige van die oudheid word dikwels beskou as Archimedes (ongeveer 287–212 vC) van Siracuse . [23] Hy het formules ontwikkel vir die berekening van die oppervlakte en volume van vaste stowwe en gebruik die metode van uitputting om die oppervlakte onder die boog van 'n parabool te bereken met die opsomming van 'n oneindige reeks , op 'n manier wat nie te verskil van die moderne calculus nie. . [24] Ander opvallende prestasies van die Griekse wiskunde is kegelsnitte ( Apollonius van Perga , 3de eeu vC), [25] trigonometrie ( Hipparchus van Nicea , 2de eeu vC), [26] en die begin van algebra ( Diophantus , 3de eeu nC) ). [27]

Die syfers wat in die Bakhshali-manuskrip gebruik word , dateer tussen die 2de eeu vC en die 2de eeu nC.

Die Hindu-Arabiese syfersysteem en die reëls vir die gebruik van sy bedrywighede, wat vandag wêreldwyd gebruik word, het gedurende die eerste millennium nC in Indië ontwikkel en is via Islamitiese wiskunde aan die Westerse wêreld oorgedra . [28] Ander opvallende ontwikkelings van die Indiese wiskunde sluit in die moderne definisie en benadering van sinus en kosinus , [28] en 'n vroeë vorm van oneindige reekse .

'N Bladsy uit al-Khwārizmī se Algebra

Gedurende die Goue Eeu van Islam , veral gedurende die 9de en 10de eeu, het wiskunde baie belangrike innovasies gesien wat voortgebou het op die Griekse wiskunde. Die belangrikste prestasie van Islamitiese wiskunde was die ontwikkeling van algebra . Ander prestasies van die Islamitiese tydperk sluit in die vordering met sferiese trigonometrie en die toevoeging van die desimale punt tot die Arabiese syferstelsel. [29] [30] Baie noemenswaardige wiskundiges uit hierdie tydperk was Persies, soos Al-Khwarismi , Omar Khayyam en Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī .

Gedurende die vroeë moderne tydperk het wiskunde in 'n vinnige tempo in Wes-Europa begin ontwikkel . Die ontwikkeling van calculus deur Newton en Leibniz in die 17de eeu het wiskunde verander. [31] Leonhard Euler was die opmerklikste wiskundige van die 18de eeu en het bygedra tot talle stellings en ontdekkings. [32] Miskien was die Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss , die belangrikste wiskundige van die 19de eeu , [33] wat talle bydraes gelewer het tot velde soos algebra , analise , differensiële meetkunde , matriksteorie , getalleteorie en statistiek . In die vroeë 20ste eeu het Kurt Gödel wiskunde getransformeer deur sy onvoltooide stellings te publiseer , wat deels toon dat enige konsekwente aksiomatiese stelsel, as dit kragtig genoeg is om rekenkunde te beskryf, ware stellings sal bevat wat nie bewys kan word nie. [34]

Wiskunde is sedertdien sterk uitgebrei en daar was 'n vrugbare wisselwerking tussen wiskunde en wetenskap , tot voordeel van albei. Wiskundige ontdekkings word vandag nog gedoen. Volgens Mikhail B. Sevryuk, in die uitgawe van Januarie 2006 van die Bulletin of the American Mathematical Society , "is die aantal vraestelle en boeke wat in 1940 in die databasis vir wiskundige resensies opgeneem is (die eerste bedryfsjaar van MR) nou meer as 1,9 miljoen, en meer as 75 duisend items word elke jaar by die databasis gevoeg. Die oorgrote meerderheid werke in hierdie oseaan bevat nuwe wiskundige stellings en hul bewyse . " [35]

Etimologie

Die woord wiskunde kom van Antieke Griekse Mathema ( μάθημα ), wat beteken "dit wat geleer," [36] "wat 'n mens kry om te weet," dus ook "studie" en "wetenskap". Die woord vir 'wiskunde' het die nouer en meer tegniese betekenis 'wiskundige studie' gehad, selfs in die klassieke tyd. [37] Sy byvoeglike naamwoord is mathēmatikós ( μαθηματικός ), wat beteken "verwant aan leer" of "studious", wat eweneens "wiskundig" beteken het. In die besonder het mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; Latyn : ars mathematica ) 'die wiskundige kuns' beteken.

Net so staan ​​een van die twee hoof denkrigtings in Pythagoreanism bekend as die mathēmatikoi (μαθηματικοί) - wat destyds 'leerders' in die moderne sin eerder as 'wiskundiges' beteken het. [38]

In Latyn, en in Engels tot ongeveer 1700, beteken die term wiskunde meer algemeen " astrologie " (of soms " astronomie ") eerder as "wiskunde"; die betekenis het geleidelik verander na die huidige van ongeveer 1500 tot 1800. Dit het verskeie verkeerde vertalings tot gevolg gehad. Die waarskuwing van Sint Augustinus dat Christene moet oppas vir wiskundiges , wat astroloë beteken, word byvoorbeeld soms verkeerd vertaal as 'n veroordeling van wiskundiges. [39]

Die skynbare meervoudsvorm in Engels, soos die Franse meervoudsvorm les mathématiques (en die minder algemeen gebruikte enkelvoud afgeleide la mathématique ), gaan terug op die Latynse neutrale meervoud mathematica ( Cicero ), gebaseer op die Griekse meervoud ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), gebruik deur Aristoteles (384–322 v.C.), en ongeveer "alles wiskundig" beteken, hoewel dit aanneemlik is dat Engels slegs die byvoeglike naamwoord wiskundige (al) geleen het en die selfstandige naamwoord wiskunde opnuut gevorm het , volgens die patroon van fisika en metafisika , wat van Grieks geërf. [40] In Engels neem die naamwoord wiskunde 'n enkelvoud werkwoord. Dit word dikwels verkort tot wiskunde of, in Noord-Amerika, wiskunde . [41]

Definisies van wiskunde

Leonardo Fibonacci , die Italiaanse wiskundige wat die Hindoe-Arabiese syferstelsel wat tussen die 1ste en 4de eeu deur Indiese wiskundiges uitgevind is, aan die Westerse wêreld bekendgestel het .

Wiskunde het geen algemeen aanvaarde definisie nie. [6] [7] Aristoteles het wiskunde gedefinieer as 'die wetenskap van hoeveelheid' en hierdie definisie het tot die 18de eeu geheers. Aristoteles het egter ook opgemerk dat 'n fokus op hoeveelheid alleen nie wiskunde van wetenskappe soos fisika kan onderskei nie; volgens hom onderskei abstraksie en bestudering van hoeveelheid as 'n eienskap wat "in denke kan skei" van werklike gevalle. [42]

In die 19de eeu, toe die studie van wiskunde noukeuriger toegeneem het en abstrakte onderwerpe soos groepteorie en projektiewe meetkunde aangespreek het , wat geen duidelike verband met hoeveelheid en meting het nie, het wiskundiges en filosowe 'n verskeidenheid nuwe definisies begin voorstel. . [43]

Baie professionele wiskundiges stel nie belang in 'n definisie van wiskunde nie, of beskou dit as ondefinieerbaar. [6] Daar is nie eens eenstemmigheid oor die vraag of wiskunde 'n kuns of 'n wetenskap is nie. [7] Sommige sê net: "Wiskunde doen wiskundiges." [6]

Drie toonaangewende tipes

Drie toonaangewende definisies van wiskunde word vandag logikus , intuïsionis en formalis genoem , wat elkeen 'n ander filosofiese denkrigting weerspieël. [44] Almal het ernstige gebreke, niemand het wyd aanvaarding nie, en geen versoening lyk moontlik nie. [44]

Logikus definisies

'N Vroeë definisie van wiskunde in terme van logika was die van Benjamin Peirce (1870): "die wetenskap wat die nodige gevolgtrekkings maak." [45] In die Principia Mathematica het Bertrand Russell en Alfred North Whitehead die filosofiese program, bekend as logikisme , gevorder en probeer bewys dat alle wiskundige begrippe, stellings en beginsels volledig gedefinieer en bewys kan word in terme van simboliese logika . 'N Logikus-definisie van wiskunde is Russell (1903) se "All Mathematics is Symbolic Logic." [46]

Definisies van intuïsioniste

Intuïsionistiese definisies, ontwikkel uit die filosofie van die wiskundige LEJ Brouwer , identifiseer wiskunde met sekere geestesverskynsels. 'N Voorbeeld van 'n intuïsionistiese definisie is "Wiskunde is die verstandelike aktiwiteit wat bestaan ​​uit die uitvoering van konstrukte na mekaar." [44] ' n Eienaardigheid van intuïsionisme is dat dit sommige wiskundige idees verwerp wat volgens ander definisies as geldig beskou word. In die besonder, terwyl ander filosofieë van wiskunde toelaat dat voorwerpe bestaan ​​wat bewys kan word, alhoewel dit nie gekonstrueer kan word nie, kan intuïsionisme slegs wiskundige voorwerpe toelaat wat 'n mens kan konstrueer. Intuïsioniste verwerp ook die wet van uitgesluit middel (dws P ∨ ¬ P {\ displaystyle P \ vee \ neg P} {\displaystyle P\vee \neg P}). Hierdie houding dwing hulle wel om een ​​algemene weergawe van bewysstukke te weier as 'n lewensvatbare bewysmetode, naamlik die afleiding van P {\ displaystyle P} P van ¬ P → ⊥ {\ displaystyle \ neg P \ tot \ bot} {\displaystyle \neg P\to \bot }, kan hulle nog aflei ¬ P {\ displaystyle \ neg P} \neg P van P → ⊥ {\ displaystyle P \ tot \ bot} P\to \bot . Vir hulle, ¬ ( ¬ P ) {\ displaystyle \ neg (\ neg P)} {\displaystyle \neg (\neg P)} is 'n streng swakker stelling as P {\ displaystyle P} P. [47]

Formalistiese definisies

Formalistiese definisies identifiseer wiskunde met sy simbole en die reëls vir die werking daarvan. Haskell Curry het wiskunde eenvoudig gedefinieer as 'die wetenskap van formele stelsels'. [48] ​​' n Formele stelsel is 'n stel simbole of tekens , en enkele reëls oor hoe die tokens in formules gekombineer moet word . In formele stelsels het die woord aksioma 'n spesiale betekenis wat verskil van die gewone betekenis van 'n vanselfsprekende waarheid ', en word dit gebruik om te verwys na 'n kombinasie van tekens wat in 'n gegewe formele stelsel opgeneem word sonder om afgelei te word met behulp van die reëls van die stelsel.

Wiskunde as wetenskap

Carl Friedrich Gauss , bekend as die prins van wiskundiges

Die Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss het na wiskunde verwys as 'die koningin van die wetenskappe'. [49] Meer onlangs noem Marcus du Sautoy wiskunde "die koningin van die wetenskap ... die vernaamste dryfveer agter wetenskaplike ontdekking". [50] Die filosoof Karl Popper het opgemerk dat 'die meeste wiskundige teorieë, soos dié van fisika en biologie , hipoteties - deduktief is : suiwer wiskunde blyk dus baie nader aan die natuurwetenskappe te wees waarvan die hipoteses vermoedens is, as wat dit selfs onlangs gelyk het. " [51] Popper het ook opgemerk dat "Ek sal 'n stelsel beslis slegs as empiries of wetenskaplik erken as dit deur ervaring getoets kan word." [52]

Verskeie outeurs is van mening dat wiskunde nie 'n wetenskap is nie, omdat dit nie op empiriese bewyse staatmaak nie . [53] [54] [55] [56]

Wiskunde het baie gemeen met baie velde in die fisiese wetenskappe, veral die ondersoek na die logiese gevolge van aannames. Intuïsie en eksperimentering speel ook 'n rol in die formulering van vermoedens in beide die wiskunde en die (ander) wetenskappe. Eksperimentele wiskunde groei steeds belangriker in wiskunde, en berekening en simulasie speel 'n al groter rol in beide die wetenskappe en wiskunde.

Wiskundiges se menings hieroor is uiteenlopend. Baie wiskundiges [57] is van mening dat die belangrikheid van die estetiese sy en die geskiedenis daarvan in die tradisionele sewe liberale kunswerke minder waardeer word om hul gebied 'n wetenskap te noem . ander voel dat die feit dat die koppeling tussen wiskunde en die toepassings daarvan in die wetenskap en ingenieurswese die ontwikkeling van wiskunde baie sterk beïnvloed, om die verband met die wetenskappe te ignoreer. [58] Een van hierdie maniere waarop hierdie siening verskil, is in die filosofiese debat of wiskunde geskep word (soos in kuns) of ontdek word (soos in die wetenskap). In die praktyk word wiskundiges gewoonlik gegroepeer met wetenskaplikes op die bruto vlak, maar op fynere vlakke geskei. Dit is een van die vele kwessies wat in die filosofie van wiskunde bespreek word . [59]

Inspirasie, suiwer en toegepaste wiskunde en estetika

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Isaac Newton (links) en Gottfried Wilhelm Leibniz het infinitesimale calculus ontwikkel.

Wiskunde spruit uit verskillende soorte probleme. Aanvanklik is dit gevind in handel, landmeting , argitektuur en later sterrekunde ; vandag dui alle wetenskappe op probleme wat deur wiskundiges bestudeer is, en baie probleme ontstaan ​​binne die wiskunde self. Die fisikus Richard Feynman het byvoorbeeld die padintegrale formulering van kwantummeganika uitgevind deur 'n kombinasie van wiskundige redenering en fisiese insig, en die hedendaagse stringteorie , 'n wetenskaplike teorie wat steeds ontwikkel en probeer om die vier fundamentele kragte van die natuur te verenig , bly inspireer. nuwe wiskunde. [60]

Sommige wiskunde is slegs relevant in die gebied wat dit geïnspireer het, en word toegepas om verdere probleme op te los. Maar dikwels is wiskunde wat deur een gebied geïnspireer word, op baie gebiede nuttig en sluit dit aan by die algemene voorraad wiskundige konsepte. Daar word dikwels onderskei tussen suiwer wiskunde en toegepaste wiskunde . Suiwer wiskunde-onderwerpe blyk egter dikwels toepassings te hê, byvoorbeeld getalleteorie in kriptografie .

Hierdie merkwaardige feit, dat selfs die 'suiwerste' wiskunde dikwels praktiese toepassings blyk te wees, is wat die fisikus Eugene Wigner ' die onredelike doeltreffendheid van wiskunde' genoem het. [13] Die filosoof van wiskunde Mark Steiner het breedvoerig oor hierdie saak geskryf en erken dat die toepaslikheid van wiskunde 'n uitdaging vir naturalisme is. [61] Vir die filosoof van wiskunde, Mary Leng , is die feit dat die fisiese wêreld optree volgens die voorskrifte van nie-oorsaaklike wiskundige entiteite wat buite die heelal bestaan, ''n gelukkige toeval' '. [62] Aan die ander kant, vir sommige anti-realiste , weerspieël verbindings, wat onder wiskundige dinge verkry word, net die verbindings wat verkry word tussen voorwerpe in die heelal, sodat daar geen "gelukkige toeval" is nie. [62]

Soos in die meeste studiegebiede, het die ontploffing van kennis in die wetenskaplike era gelei tot spesialisering: daar is nou honderde gespesialiseerde areas in wiskunde en die jongste Wiskunde-vakklassifikasie duur 46 bladsye. [63] Verskeie terreine van toegepaste wiskunde het saamgevoeg met verwante tradisies buite wiskunde en in hul eie reg dissiplines geword, insluitend statistiek, operasionele navorsing en rekenaarwetenskap .

Vir diegene wat wiskundig geneig is, is daar baie van die wiskunde 'n duidelike estetiese aspek. Baie wiskundiges praat oor die elegansie van wiskunde, die intrinsieke estetika daarvan en innerlike skoonheid. Eenvoud en algemeenheid word waardeer. Daar is skoonheid in 'n eenvoudige en elegante bewys , soos Euclides se bewys dat daar oneindig baie priemgetalle is , en in 'n elegante numeriese metode wat die berekening versnel, soos die vinnige Fourier-transform . GH Hardy in A Mathematician's Apology het die oortuiging uitgespreek dat hierdie estetiese oorwegings op sigself voldoende is om die studie van suiwer wiskunde te regverdig. Hy het kriteria soos betekenis, onverwagsheid, onvermydelikheid en ekonomie geïdentifiseer as faktore wat bydra tot 'n wiskundige estetika. [64] Wiskundige navorsing soek dikwels kritiese kenmerke van 'n wiskundige objek. 'N Stelling wat deur hierdie kenmerke as 'n karakterisering van die voorwerp uitgedruk word, is die prys. Voorbeelde van besonder kernagtige en openbarende wiskundige argumente is in Proofs from THE BOOK gepubliseer .

Die gewildheid van ontspanningswiskunde is nog 'n teken van die plesier wat baie mense vind om wiskundige vrae op te los. En teen die ander sosiale uiterste, vind filosowe steeds probleme in die filosofie van wiskunde , soos die aard van wiskundige bewys . [65]

Notasie, taal en strengheid

Leonhard Euler het 'n groot deel van die wiskundige notasie wat tans gebruik word, geskep en gepopulariseer.

Die meeste van die wiskundige notasie wat vandag gebruik word, is eers in die 16de eeu uitgevind. [66] Voor dit is wiskunde in woorde geskryf, wat wiskundige ontdekking beperk het. [67] Euler (1707–1783) was verantwoordelik vir baie van die notasies wat tans gebruik word. Moderne notasie maak wiskunde baie makliker vir die professionele persoon, maar beginners vind dit dikwels skrikwekkend. Volgens Barbara Oakley kan dit toegeskryf word aan die feit dat wiskundige idees meer abstrak en meer geïnkripteer is as dié van natuurlike taal. [68] In teenstelling met die natuurlike taal, waar mense dikwels 'n woord (soos koei ) kan vergelyk met die fisiese voorwerp waarmee dit ooreenstem, is wiskundige simbole abstrak, sonder enige fisiese analoog. [69] Wiskundige simbole word ook meer geïnkripteer as gewone woorde, wat beteken dat 'n enkele simbool 'n aantal verskillende bewerkings of idees kan kodeer. [70]

Wiskundige taal kan moeilik wees om te verstaan vir beginners, want selfs algemene terme, soos of en net , het 'n meer presiese betekenis as wat hulle in die alledaagse spraak, en ander terme soos oop en veld verwys na spesifieke wiskundige idees, nie gedek deur hul leke se betekenisse. Wiskundige taal bevat ook baie tegniese terme soos homeomorfisme en integreerbaar wat geen betekenis buite die wiskunde het nie. Daarbenewens behoort snelskriffrases soos iff vir " if and only if " tot wiskundige jargon . Daar is 'n rede vir spesiale notasie en tegniese woordeskat: wiskunde vereis meer presisie as alledaagse spraak. Wiskundiges verwys na hierdie presisie van taal en logika as 'strengheid'.

Wiskundige bewys is fundamenteel 'n saak van strengheid . Wiskundiges wil hê dat hulle stellings uit aksiomas moet volg deur middel van sistematiese beredenering. Dit is om verkeerde " stellings " te vermy , gebaseer op feilbare intuïsies, waarvan baie in die geskiedenis van die onderwerp voorgekom het. [b] Die mate van strengheid wat in wiskunde verwag word, het mettertyd gewissel: die Grieke het gedetailleerde argumente verwag, maar ten tye van Isaac Newton was die metodes minder streng. Probleme wat inherent is aan die definisies wat Newton gebruik, sal lei tot 'n herlewing van noukeurige ontleding en formele bewys in die 19de eeu. Misverstand oor die strengheid is 'n oorsaak vir sommige van die algemene wanopvattings van wiskunde. Wiskundiges bly vandag onderling redeneer oor rekenaargesteunde bewyse . Aangesien groot berekeninge moeilik is om te verifieer, kan sulke bewyse verkeerd wees as die gebruikte rekenaarprogram verkeerd is. [c] [71] Aan die ander kant, 'n bewys assistente laat verifieer al die besonderhede wat nie gegee kan word in 'n handgeskrewe bewys, en bied sekerheid van die korrektheid van 'n lang bewyse soos dié van die Feit-Thompson stelling . [d]

Axiomas in tradisionele denke was 'vanselfsprekende waarhede', maar die opvatting is problematies. [72] Op formele vlak is 'n aksioma slegs 'n string simbole, wat 'n intrinsieke betekenis het slegs in die konteks van alle afleibare formules van 'n aksiomatiese stelsel . Dit was die doel van Hilbert se program om die hele wiskunde op 'n vaste aksiomatiese basis te plaas, maar volgens Gödel se onvolledigheidstelling het elke (voldoende kragtige) aksiomatiese stelsel onbeslisbare formules; en dus is 'n finale aksiomatisering van wiskunde onmoontlik. Desondanks word wiskunde dikwels voorgestel dat dit (wat die formele inhoud betref) niks anders as versamelingsteorie in 'n mate van aksiomatisering is nie, in die sin dat elke wiskundige stelling of bewys in formule binne die versamelingsteorie gegiet kan word. [73]

Wiskunde-velde

Die telraam is 'n eenvoudige berekeningsinstrument wat sedert antieke tye gebruik is.

Wiskunde kan in die breë onderverdeel word in die studie van hoeveelheid, struktuur, ruimte en verandering (dws rekenkunde , algebra , meetkunde en analise ). Benewens hierdie groot bekommernisse, is daar ook onderafdelings gewy aan die ondersoek van skakels vanuit die kern van wiskunde na ander velde: na logika , versamelingsteorie ( fondamente ), na die empiriese wiskunde van die verskillende wetenskappe ( toegepaste wiskunde ), en meer onlangs tot die noukeurige studie van onsekerheid . Alhoewel sommige gebiede moontlik nie verband hou nie, het die Langlands-program verbindings gevind tussen gebiede wat voorheen as nie-verbonde gedink is, soos Galois-groepe , Riemann-oppervlaktes en getalleteorie .

Diskrete wiskunde groepeer gewoonlik die velde van wiskunde wat wiskundige strukture bestudeer wat fundamenteel diskreet eerder as deurlopend is.

Grondslae en filosofie

Om die grondslae van wiskunde duidelik te maak , is die velde van wiskundige logika en versamelingsteorie ontwikkel. Wiskundige logika sluit die wiskundige studie van logika in en die toepassing van formele logika op ander gebiede van wiskunde; versamelingsteorie is die tak van wiskunde wat versamelings of versamelings voorwerpe bestudeer. Die uitdrukking 'fondamentskrisis' beskryf die soeke na 'n grondige grondslag vir wiskunde wat plaasgevind het vanaf ongeveer 1900 tot 1930. [74] Sommige onenigheid oor die grondslae van wiskunde duur voort tot vandag toe. Die fondamentskrisis is destyds gestimuleer deur 'n aantal kontroversies, waaronder die kontroversie oor Cantor se versamelingsteorie en die Brouwer – Hilbert-kontroversie .

Wiskundige logika is om wiskunde binne 'n streng aksiomatiese raamwerk te plaas en die implikasies daarvan te bestudeer. As sodanig is dit die tuiste van Gödel se onvoltooide stellings wat (informeel) impliseer dat enige effektiewe formele stelsel wat basiese rekenkunde bevat, indien klank (wat beteken dat alle stellings wat bewys kan word, waar is) noodwendig onvolledig is (wat beteken dat daar ware stellings is wat nie in daardie stelsel bewys kan word nie ). Wat ook al die eindige versameling van getalleteoretiese aksiomas as grondslag beskou, Gödel het getoon hoe om 'n formele stelling te konstrueer wat 'n ware getalteoretiese feit is, maar wat nie uit die aksiomas volg nie. Daarom is geen formele stelsel 'n volledige aksiomatisering van die volle getalleteorie nie. Moderne logika is verdeel in rekursieteorie , modelleorie en bewysteorie , en is nou gekoppel aan teoretiese rekenaarwetenskap , [75] sowel as aan kategorieteorie . In die konteks van die rekursieteorie kan die onmoontlikheid van 'n volledige aksiomatisering van die getalleteorie ook formeel gedemonstreer word as gevolg van die MRDP-stelling .

Teoretiese rekenaarwetenskap sluit berekenbaarheidsteorie , rekenaarkompleksiteitsteorie en inligtingsteorie in . Die berekenbaarheidsteorie ondersoek die beperkinge van verskillende teoretiese modelle van die rekenaar, insluitend die bekendste model - die Turing-masjien . Kompleksiteitsteorie is die bestudering van rekbaarheid deur rekenaars; sommige probleme, hoewel dit teoreties oplosbaar is deur die rekenaar, is so duur in terme van tyd of ruimte dat dit waarskynlik prakties onuitvoerbaar sal wees om dit op te los, selfs met die vinnige vooruitgang van rekenaarhardeware. 'N Bekende probleem is die' P = NP ? '- probleem, een van die Millennium-prysprobleme . [76] Laastens gaan inligtingsteorie oor die hoeveelheid data wat op 'n gegewe medium gestoor kan word, en handel dit dus oor begrippe soos kompressie en entropie .

bl ⇒ q {\ displaystyle p \ Rightarrow q} {\displaystyle p\Rightarrow q}Venn A intersect B.svgCommutative diagram for morphism.svgDFAexample.svg
Wiskundige logikaVersamelingsteorieKategorieteorieTeorie van berekening

Suiwer wiskunde

Getalstelsels en getalleteorie

Die bestudering van hoeveelheid begin met getalle, eers die bekende natuurlike getalle N {\ displaystyle \ mathbb {N}} \mathbb {N} en heelgetalle Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}} \mathbb {Z} ("heelgetalle") en rekenkundige bewerkings daarop, wat gekenmerk word in rekenkunde . Die dieper eienskappe van heelgetalle word in die getalleteorie bestudeer , waaruit sulke gewilde resultate kom soos die laaste stelling van Fermat . Die tweeling-eerste vermoede en die vermoede van Goldbach is twee onopgeloste probleme in die getalleteorie.

Namate die getallestelsel verder ontwikkel word, word die heelgetalle herken as 'n deelversameling van die rasionale getalle V {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} (" breuke "). Dit is op hul beurt weer in die reële getalle , R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} wat gebruik word om grense van rye van rasionale getalle en deurlopende hoeveelhede voor te stel. Reële getalle word veralgemeen tot die komplekse getalle C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} . Volgens die fundamentele stelling van algebra , alle polinoom vergelykings in een onbekende met komplekse koëffisiënte het 'n oplossing in die komplekse getalle, ongeag van graad van die polinoom. N ,   Z ,   V ,   R {\ displaystyle \ mathbb {N}, \ \ mathbb {Z}, \ \ mathbb {Q}, \ \ mathbb {R}} {\displaystyle \mathbb {N} ,\ \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ,\ \mathbb {R} } en C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} is die eerste stappe in 'n hiërargie van getalle wat kwarternieë en okttonies insluit . Oorweging van die natuurlike getalle lei ook tot die transfinite getalle , wat die begrip " oneindigheid " formaliseer . 'N Ander studiegebied is die grootte van stelle, wat beskryf word met die hoofgetalle . Dit sluit die alfgetalle in , wat 'n betekenisvolle vergelyking van die grootte van oneindig groot versamelings moontlik maak.

( 0 ) , 1 , 2 , 3 , ... {\ displaystyle (0), 1,2,3, \ ldots} {\displaystyle (0),1,2,3,\ldots } ... , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 ... {\ displaystyle \ ldots, -2, -1,0,1,2 \, \ ldots} {\displaystyle \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots } - 2 , 2 3 , 1.21 {\ displaystyle -2, {\ frac {2} {3}}, 1.21} {\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21} - e , 2 , 3 , π {\ displaystyle -e, {\ sqrt {2}}, 3, \ pi} {\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi } 2 , i , - 2 + 3 i , 2 e i 4 π 3 {\ displaystyle 2, i, -2 + 3i, 2e ^ {i {\ frac {4 \ pi} {3}}}} {\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}} ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , ... , ℵ α , ... .   {\ displaystyle \ aleph _ {0}, \ aleph _ {1}, \ aleph _ {2}, \ ldots, \ aleph _ {\ alpha}, \ ldots. \} {\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }
Natuurlike getalleHeelgetalleRasionale getalleReële getalleKomplekse getalleOneindige kardinale

Struktuur

Baie wiskundige voorwerpe, soos versamelings van getalle en funksies , vertoon interne struktuur as gevolg van bewerkings of verwantskappe wat op die versameling gedefinieer word. Wiskunde bestudeer dan eienskappe van die versameling wat uitgedruk kan word in terme van daardie struktuur; byvoorbeeld getalteorie studies eienskappe van die versameling van heelgetalle wat uitgedruk kan word in terme van rekenkundige operasies. Boonop gebeur dit gereeld dat verskillende sulke gestruktureerde versamelings (of strukture ) soortgelyke eienskappe vertoon, wat dit moontlik maak om, deur 'n verdere abstraksiestap , aksiomas vir 'n klas strukture te stel en dan dadelik die hele klas strukture te bestudeer wat bevredigend is. hierdie aksiomas. So kan 'n mens groepe , ringe , velde en ander abstrakte stelsels bestudeer; tesame vorm sulke studies (vir strukture gedefinieer deur algebraïese bewerkings) die domein van abstrakte algebra .

Deur die groot algemeenheid kan abstrakte algebra dikwels toegepas word op oënskynlik nie-verwante probleme; byvoorbeeld is 'n aantal ou probleme rakende kompas- en reguitkonstruksies uiteindelik opgelos met behulp van die Galois-teorie , wat veldteorie en groepteorie behels. Nog 'n voorbeeld van 'n algebraïese teorie is lineêre algebra , dit is die algemene studie van vektorruimtes , waarvan die elemente genaamd vektore sowel hoeveelheid as rigting het, en wat gebruik kan word om (verhoudings tussen) punte in die ruimte te modelleer. Dit is een voorbeeld van die verskynsel dat die oorspronklik onverwante gebiede van meetkunde en algebra baie sterk wisselwerking het in moderne wiskunde. Combinatorics bestudeer maniere om die aantal voorwerpe wat by 'n gegewe struktuur pas, op te tel.

( 1 , 2 , 3 ) ( 1 , 3 , 2 ) ( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 3 , 1 ) ( 3 , 1 , 2 ) ( 3 , 2 , 1 ) {\ displaystyle {\ begin {matriks} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \ end {matriks}}} {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}Elliptic curve simple.svgRubik's cube.svgGroup diagdram D6.svgLattice of the divisibility of 60.svgBraid-modular-group-cover.svg
KombinatorikaGetalteorieGroepteorieGrafiese teorieOrde teorieAlgebra

Ruimte

Die studie van die ruimte het sy oorsprong in meetkunde - in die besonder die Euklidiese meetkunde , wat ruimte en getalle kombineer en die bekende stelling van Pythagoras omvat . Trigonometrie is die tak van wiskunde wat handel oor die verwantskappe tussen die sye en die hoeke van driehoeke en die trigonometriese funksies. Die moderne studie van die ruimte veralgemeen hierdie idees met hoër-dimensionele meetkunde, nie-Euklidiese meetkunde (wat 'n sentrale rol speel in die algemene relatiwiteit ) en topologie . Hoeveelheid en ruimte speel albei 'n rol in analitiese meetkunde , differensiële meetkunde en algebraïese meetkunde . Konvekse en diskrete meetkunde is ontwikkel om probleme in getalleteorie en funksionele analise op te los, maar word nou gevolg met die oog op toepassings in optimalisering en rekenaarwetenskap . Binne die differensiële meetkunde is die begrippe veselbundels en calculus op spruitstukke , in die besonder, vektor- en tensor-calculus . Binne algebraïese meetkunde is die beskrywing van meetkundige voorwerpe as oplossingsstelle van polinoomvergelykings , wat die konsepte van hoeveelheid en ruimte kombineer , asook die bestudering van topologiese groepe wat struktuur en ruimte kombineer. Leuengroepe word gebruik om ruimte, struktuur en verandering te bestudeer. Topologie in al sy vele gevolge was miskien die grootste groeigebied in die 20ste-eeuse wiskunde; dit sluit punt-stel topologie , versamelingsteoretiese topologie , algebraïese topologie en differensiële topologie in . In die besonder is die hedendaagse topologie metriseerbaarheidsteorie , aksiomatiese versamelingsteorie , homotopieteorie en Morseteorie . Topologie bevat ook die nou opgeloste Poincaré-vermoede , en die nog onopgeloste gebiede van die Hodge-vermoede . Ander resultate in meetkunde en topologie, insluitend die vierkleurstelling en die vermoede van Kepler , is slegs met behulp van rekenaars bewys.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svgSinusvåg 400px.pngHyperbolic triangle.svgTorus.svgMandel zoom 07 satellite.jpgMeasure illustration (Vector).svg
MeetkundeTrigonometrieDifferensiële meetkundeTopologieFraktale meetkundeMeet teorie

Verander

Die verstaan ​​en beskrywing van verandering is 'n algemene tema in die natuurwetenskappe , en calculus is ontwikkel as 'n instrument om dit te ondersoek. Funksies ontstaan ​​hier as 'n sentrale begrip wat 'n veranderende hoeveelheid beskryf. Die noukeurige studie van reële getalle en funksies van 'n reële veranderlike staan ​​bekend as reële analise , met komplekse analise die ekwivalente veld vir die komplekse getalle . Funksionele analise fokus op (tipies oneindige-dimensionele) ruimtes van funksies. Een van die vele toepassings van funksionele analise is kwantummeganika . Baie probleme lei natuurlik tot verwantskappe tussen 'n hoeveelheid en die tempo van verandering, en dit word as differensiaalvergelykings bestudeer . Baie verskynsels in die natuur kan deur dinamiese stelsels beskryf word ; chaosteorie maak presies die maniere waarop baie van hierdie stelsels onvoorspelbare, maar nog steeds deterministiese gedrag vertoon.

Integral as region under curve.svgVector field.svgNavier Stokes Laminar.svgLimitcycle.svgLorenz attractor.svgConformal grid after Möbius transformation.svg
CalculusVektorrekeningDifferensiaalvergelykingsDinamiese stelselsChaos teorieKomplekse analise

Toegepaste wiskunde

Toegepaste wiskunde gaan oor wiskundige metodes wat gewoonlik in die wetenskap, ingenieurswese , die sakewêreld en die industrie gebruik word . 'Toegepaste wiskunde' is dus 'n wiskundige wetenskap met gespesialiseerde kennis . Die term toegepaste wiskunde beskryf ook die professionele spesialiteit waarin wiskundiges aan praktiese probleme werk; as 'n beroep wat op praktiese probleme gerig is, fokus toegepaste wiskunde op die "formulering, bestudering en gebruik van wiskundige modelle" in wetenskap, ingenieurswese en ander gebiede van wiskundige praktyk.

In die verlede het praktiese toepassings die ontwikkeling van wiskundige teorieë gemotiveer, wat dan die onderwerp van studie in suiwer wiskunde geword het, waar wiskunde hoofsaaklik ontwikkel word vir sy eie belang. Die aktiwiteit van toegepaste wiskunde hou dus baie verband met navorsing in suiwer wiskunde .

Statistiek en ander beslissingswetenskappe

Toegepaste wiskunde het 'n beduidende oorvleueling met die dissipline van statistiek, waarvan die teorie wiskundig geformuleer word, veral met die waarskynlikheidsteorie . Statistici (werk as deel van 'n navorsingsprojek) "skep data wat sinvol is" met ewekansige steekproefneming en met ewekansige eksperimente ; [77] die ontwerp van 'n statistiese steekproef of eksperiment spesifiseer die ontleding van die data (voordat die data beskikbaar word). Wanneer data van eksperimente en monsters heroorweeg word of wanneer data van waarnemingstudies ontleed word , maak statistici 'sin aan die data' met behulp van die kuns van modellering en die teorie van afleiding - met modelkeuse en -beraming ; die geskatte modelle en gevolglike voorspellings moet op nuwe data getoets word . [e]

Statistiese teorie bestudeer besluitnemingsprobleme soos die minimalisering van die risiko ( verwagte verlies ) van 'n statistiese aksie, soos die gebruik van 'n prosedure in byvoorbeeld parameterberaming , hipotesetoetsing en die keuse van die beste . In hierdie tradisionele gebiede van wiskundige statistieke word 'n probleem met statistiese besluite geformuleer deur 'n objektiewe funksie , soos verwagte verlies of koste , onder spesifieke beperkings te minimaliseer: Byvoorbeeld, die ontwerp van 'n opname behels dikwels die minimalisering van die koste om 'n populasiegemiddelde met 'n gegewe te bereken vlak van vertroue. [78] Vanweë die gebruik van optimalisering , deel die wiskundige teorie van statistiek kommer met ander beslissingswetenskappe , soos operasionele navorsing , beheerteorie en wiskundige ekonomie . [79]

Berekeningswiskunde

Berekeningswiskunde stel voor en bestudeer metodes om wiskundige probleme op te los wat tipies te groot is vir menslike getalvermoë. Numeriese analise bestudeer metodes vir analise- probleme met behulp van funksionele analise en benaderingsteorie ; numeriese analise sluit die bestudering van benadering en diskretisering in breë trekke in, veral met die oog op afrondingsfoute . Numeriese analise en, in die breë, wetenskaplike rekenaarstudie bestudeer ook nie-analitiese onderwerpe van wiskundige wetenskap, veral algoritmiese matriks en grafieke . Ander gebiede van rekenaarwiskunde sluit in rekenaaralgebra en simboliese berekening .

Arbitrary-gametree-solved.svgBernoullisLawDerivationDiagram.svgComposite trapezoidal rule illustration small.svgMaximum boxed.pngTwo red dice 01.svgOldfaithful3.pngCaesar3.svg
SpelteorieVloeistofdinamikaNumeriese analiseOptimaliseringWaarskynlikheidsteorieStatistiekeKriptografie
Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC.pngGravitation space source.svgCH4-structure.svgSignal transduction pathways.svgGDP PPP Per Capita IMF 2008.svgSimple feedback control loop2.svg
Wiskundige finansiesWiskundige fisikaWiskundige chemieWiskundige biologieWiskundige ekonomieBeheerteorie

Wiskundige toekennings

Die bekendste toekenning in wiskunde is waarskynlik die Fields-medalje , [80] [81] wat in 1936 gestig is en elke vier jaar (behalwe rondom die Tweede Wêreldoorlog) aan soveel as vier individue toegeken word. Die Fields-medalje word dikwels beskou as 'n wiskundige ekwivalent aan die Nobelprys.

Die Wolf-prys in wiskunde , wat in 1978 ingestel is, erken lewenslange prestasie, en 'n ander groot internasionale toekenning, die Abel-prys , is in 2003 ingestel. Die Chern-medalje is in 2010 ingestel om lewenslange prestasie te erken. Hierdie toekennings word toegeken as erkenning vir 'n bepaalde werk, wat innoverend kan wees, of 'n oplossing bied vir 'n uitstaande probleem in 'n gevestigde veld.

'N Bekende lys van 23 oop probleme , genaamd' Hilbert's problems ', is in 1900 deur die Duitse wiskundige David Hilbert opgestel . Hierdie lys het 'n groot bekendheid onder wiskundiges behaal, en ten minste nege van die probleme is nou opgelos. 'N Nuwe lys van sewe belangrike probleme, getiteld " Millennium Prize Problems ", is in 2000 gepubliseer. Slegs een daarvan, die Riemann-hipotese , dupliseer een van Hilbert se probleme. 'N Oplossing vir een van hierdie probleme het 'n beloning van 1 miljoen dollar. Tans is slegs een van hierdie probleme, die vermoede van Poincaré , opgelos.

Sien ook

  • iconWiskunde portaal
  • Internasionale Wiskundige Olimpiade
  • Lys van wiskundige jargon
  • Lyste van wiskunde-onderwerpe
  • Wiskundige wetenskappe
  • Wiskunde en kuns
  • Wiskunde-onderwys
  • Nasionale Wiskundemuseum
  • Filosofie van wiskunde
  • Verband tussen wiskunde en fisika
  • Wetenskap, tegnologie, ingenieurswese en wiskunde

Aantekeninge

  1. ^ Geen gelykenis of beskrywing van die fisiese voorkoms van Euclides gedurende sy leeftyd het die oudheid oorleef nie. Daarom hang die uitbeelding van Euclides in kunswerke af van die kunstenaar se verbeelding (sien Euclid ).
  2. ^ Sien vals bewys vir eenvoudige voorbeelde van wat verkeerd kan gaan in 'n formele bewys.
  3. ^ Om groot berekeninge wat in 'n bewys voorkom, as betroubaar te beskou, benodig u gewoonlik twee berekeninge wat onafhanklike sagteware gebruik
  4. ^ Die boek met die volledige bewys bevat meer as 1 000 bladsye.
  5. ^ Soos met ander wiskundige wetenskappe soos fisika en rekenaarwetenskap , is statistiek eerder 'n outonome vak as 'n tak van die toegepaste wiskunde. Soos navorsingsfisici en rekenaarwetenskaplikes, is navorsingsstatistici wiskundige wetenskaplikes. Baie statistici het 'n graad in wiskunde, en sommige statistici is ook wiskundiges.

Verwysings

  1. ^ a b "wiskunde, n. " . Oxford Engelse woordeboek . Oxford University Press. 2012. Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 16 November 2019 . Besoek op 16 Junie 2012 . Die wetenskap van ruimte, getal, hoeveelheid en rangskikking, waarvan die metodes logiese beredenering en gewoonlik die gebruik van simboliese notasie behels, en wat meetkunde, rekenkunde, algebra en analise insluit.
  2. ^ Kneebone, GT (1963). Wiskundige logika en die grondslae van wiskunde: 'n inleidende opname . Dover. bl. 4 . ISBN 978-0-486-41712-7. Wiskunde ... is bloot die bestudering van abstrakte strukture, of formele verbintenispatrone.
  3. ^ LaTorre, Donald R .; Kenelly, John W .; Biggers, Sherry S .; Timmerman, Laurel R .; Reed, Iris B .; Harris, Cynthia R. (2011). Calculus-konsepte: 'n informele benadering tot die wiskunde van verandering . Cengage-leer. bl. 2 . ISBN 978-1-4390-4957-0. Calculus is die studie van verandering — hoe dinge verander en hoe vinnig dit verander.
  4. ^ Ramana (2007). Toegepaste Wiskunde . Tata McGraw – Hill Onderwys. bl. 2.10 . ISBN 978-0-07-066753-2. Die wiskundige studie van verandering, beweging, groei of verval is calculus.
  5. ^ Ziegler, Günter M. (2011). "Wat is wiskunde?". 'N Uitnodiging tot wiskunde: van kompetisies tot navorsing . Springer. bl. vii . ISBN 978-3-642-19532-7.
  6. ^ a b c d Mura, Roberta (Desember 1993). "Beelde van wiskunde gehou deur universiteitsonderwysers in wiskundige wetenskappe". Opvoedkundige studies in wiskunde . 25 (4): 375–85. doi : 10.1007 / BF01273907 . JSTOR  3482762 . S2CID  122351146 .
  7. ^ a b c Tobies, Renate & Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: 'n Lewe op die kruispad van wiskunde, wetenskap en nywerheid . Springer. bl. 9 . ISBN 978-3-0348-0229-1. [I] t is eers nodig om te vra wat met wiskunde in die algemeen bedoel word . Illustreerde geleerdes het hierdie saak gedebatteer totdat dit blou in die gesig was, en tog is daar nie eenstemmigheid bereik oor die vraag of wiskunde 'n natuurwetenskap, 'n tak van die geesteswetenskappe of 'n kunsvorm is nie.
  8. ^ Steen, LA (29 April 1988). The Science of Patterns Science , 240: 611–16. En saamgevat by Association for Supervision and Curriculum Development, geargiveer op 28 Oktober 2010 by die Wayback Machine , www.ascd.org.
  9. ^ Devlin, Keith , Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN  978-0-7167-5047-5
  10. ^ Wyse, David. "Eudoxus se invloed op Euclid se elemente met 'n noukeurige blik op The Method of Exhaustion" . jwilson.coe.uga.edu . Op 1 Junie 2019 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 26 Oktober 2019 .
  11. ^ Eves 1990 , p. 306.
  12. ^ Peterson , p. 12.sfn-fout: geen teiken: CITEREFPeterson ( hulp )
  13. ^ a b Wigner, Eugene (1960). "Die onredelike effektiwiteit van wiskunde in die natuurwetenskappe" . Kommunikasie oor suiwer en toegepaste wiskunde . 13 (1): 1–14. Bibcode : 1960CPAM ... 13 .... 1W . doi : 10.1002 / cpa.3160130102 . Op 28 Februarie 2011 vanaf die oorspronklike argief .
  14. ^ Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (Augustus 1998). "Abstrakte voorstellings van getalle in die dierlike en menslike brein". Neigings in neurowetenskappe . 21 (8): 355–61. doi : 10.1016 / S0166-2236 (98) 01263-6 . PMID  9720604 . S2CID  17414557 .
  15. ^ Sien byvoorbeeld Raymond L. Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; 'n elementêre studie , passim
  16. ^ Zaslavsky, Claudia. (1999). Afrika-tellings: Getal en patroon in die Afrikaanse kultuur . Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC  843204342 . Op 31 Maart 2021 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 29 Mei 2020 .
  17. ^ Kline 1990 , hoofstuk 1.
  18. ^ "Egiptiese wiskunde - die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 16 September 2018 . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  19. ^ a b "Sumeriese / Babiloniese wiskunde - Die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Op 7 September 2019 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  20. ^ Boyer 1991 , "Mesopotamië" pp. 24–27.
  21. ^ Heath, Thomas Little (1981) [1921]. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid . New York: Dover-publikasies. bl. 1 . ISBN 978-0-486-24073-2.
  22. ^ Boyer 1991 , "Euclid van Alexandrië" p. 119.
  23. ^ Boyer 1991 , "Archimedes van Syracuse" p. 120.
  24. ^ Boyer 1991 , "Archimedes van Syracuse" p. 130.
  25. ^ Boyer 1991 , "Apollonius van Perga" p. 145.
  26. ^ Boyer 1991 , "Griekse Trigonometrie en Mensurasie" p. 162.
  27. ^ Boyer 1991 , "Herlewing en agteruitgang van die Griekse wiskunde" p. 180.
  28. ^ a b "Indiese wiskunde - die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Op 13 April 2019 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  29. ^ "Islamitiese wiskunde - die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Op 17 Oktober 2019 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  30. ^ Saliba, George. (1994). 'N Geskiedenis van Arabiese sterrekunde: planetêre teorieë gedurende die goue era van Islam . New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC  28723059 . Op 31 Maart 2021 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 29 Mei 2020 .
  31. ^ "Wiskunde uit die 17de eeu - Die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 16 September 2018 . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  32. ^ "Euler - Wiskunde uit die 18de eeu - Die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Gegearchiveer vanaf die oorspronklike op 2 Mei 2019 . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  33. ^ "Gauss - 19de eeuse wiskunde - die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 25 Julie 2019 . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  34. ^ "Wiskunde uit die 20ste eeu - Gödel" . Die verhaal van wiskunde . Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 16 September 2018 . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  35. ^ Sevryuk 2006 , pp. 101–09.
  36. ^ "wiskundige (nr.)" . Aanlyn etimologiewoordeboek . Op 7 Maart 2013 vanaf die oorspronklike argief .
  37. ^ Albei betekenisse kan gevind word in Plato, die nouer in Republiek 510c, wat op 24 Februarie 2021 by die Wayback Machine geargiveer is , maar Plato het nie 'n wiskundewoord gebruik nie; Aristoteles het dit gedoen en daaroor kommentaar gelewer. μαθηματική . Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; 'N Grieks-Engelse leksikon by die Perseus-projek . OED Online , "Wiskunde".
  38. ^ "Pythagoras - Griekse wiskunde - Die verhaal van wiskunde" . www.storyofmathematics.com . Op 17 September 2018 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  39. ^ Boas, Ralph (1995) [1991]. "Wat Augustinus nie oor wiskundiges gesê het nie" . Leeujag en ander wiskundige aktiwiteite: A Collection van Wiskunde, Vers en stories deur wyle Ralph P. Boas, Jr . Cambridge University Press. bl. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. Gegearchiveer vanaf die oorspronklike op 20 Mei 2020 . Besoek op 17 Januarie 2018 .
  40. ^ The Oxford Dictionary of English Etymology , Oxford English Dictionary , sub "wiskunde", "wiskunde", "wiskunde"
  41. ^ "wiskunde, n. " en "wiskunde, n.3 " Gearchiveer op 4 April 2020 by die Wayback Machine . Oxford English Dictionary, aanlyn-weergawe (2012).
  42. ^ Franklin, James (8 Julie 2009). Filosofie van Wiskunde . bl. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9. Op 6 September 2015 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 1 Julie 2020 .
  43. ^ Cajori, Florian (1893). 'N Geskiedenis van wiskunde . American Mathematical Society (herdruk van 1991). bl.  285–86 . ISBN 978-0-8218-2102-2.
  44. ^ a b c Snapper, Ernst (September 1979). "Die drie krisisse in wiskunde: logika, intuïsionisme en formalisme". Wiskundetydskrif . 52 (4): 207–16. doi : 10.2307 / 2689412 . JSTOR  2689412 .
  45. ^ Peirce, Benjamin (1882). Lineêre assosiatiewe algebra . Van Nostrand. bl. 1 .
  46. ^ Russell, Bertrand (1903). Die beginsels van wiskunde . bl. 5 . Besoek op 20 Junie 2015 .
  47. ^ Iemhoff, Rosalie (4 Maart 2020). Zalta, Edward N. (red.). Intuïsionisme in die filosofie van wiskunde . Laboratorium vir metafisika, Stanford Universiteit. Op 31 Maart 2021 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 4 Maart 2021 - via Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  48. ^ Curry, Haskell (1951). Uiteensetting van 'n formalistiese filosofie van wiskunde . Elsevier. bl. 56 . ISBN 978-0-444-53368-5.
  49. ^ Waltershausen 1965 , p. 79.
  50. ^ du Sautoy, Marcus (25 Junie 2010). "Nicolas Bourbaki" . 'N Kort geskiedenis van wiskunde . Gebeurtenis vind plaas om min. 12:50. BBC Radio 4. Argief van die oorspronklike op 16 Desember 2016 . Besoek op 26 Oktober 2017 .
  51. ^ Popper 1995 , p. 56.
  52. ^ Popper, Karl (2002) [ 1959 ]. Die logika van wetenskaplike ontdekking . Abingdon-on-Thames: Routledge. bl. [18]. ISBN 978-0-415-27843-0.
  53. ^ Bishop, Alan (1991). "Omgewingsaktiwiteite en wiskundige kultuur" . Wiskundige onderbou: 'n kulturele perspektief op wiskunde-onderwys . Norwell, Massachusetts: Kluwer Academic Publishers. bl. 20–59. ISBN 978-0-792-31270-3. Gegearchiveer vanaf die oorspronklike op 25 Desember 2020 . Besoek op 5 April 2020 .
  54. ^ Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Uit hul gedagtes: die lewens en ontdekkings van 15 groot rekenaarwetenskaplikes . Springer. bl. 228.
  55. ^ Nickles, Thomas (2013). "Die probleem van afbakening". Filosofie van Pseudowetenskap: Heroorweging van die afbakeningsprobleem . Chicago: Die Universiteit van Chicago Press. bl. 104.
  56. ^ Pigliucci , Massimo (2014). "Is daar 'ander' maniere om te weet?" . Filosofie Nou . Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 13 Mei 2020 . Besoek op 6 April 2020 .
  57. ^ Sien byvoorbeeld Bertrand Russell se stelling "Wiskunde, tereg gesien, besit nie net die waarheid nie, maar ook die hoogste skoonheid ..." in sy History of Western Philosophy
  58. ^ "Die wetenskaplike kontrolelys is toegepas: Wiskunde" . undsci.berkeley.edu . Op 27 Oktober 2019 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 27 Oktober 2019 .
  59. ^ Borel, Armand (Maart 2017). "Wiskunde: Kuns en Wetenskap" . EMS Nuusbrief . 3 (103): 37–45. doi : 10.4171 / nuus / 103/8 . ISSN  1027-488X .
  60. ^ Meinhard E. Mayer (2001). "The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus". Fisika vandag . 54 (8): 48. Bibcode : 2001PhT .... 54h..48J . doi : 10.1063 / 1.1404851 .
  61. ^ Steiner, Mark (1998). Die toepaslikheid van wiskunde as 'n filosofiese probleem . Cambridge, mis: Harvard University Press. bl. 176. ISBN 0674043987.
  62. ^ a b Leng, Mary (2010). Wiskunde en werklikheid . Oxford University Press. bl. 239. ISBN 0199280797.
  63. ^ "Wiskunde Vakklassifikasie 2010" (PDF) . Gearchiveer (PDF) vanaf die oorspronklike op 14 Mei 2011 . Besoek op 9 November 2010 .
  64. ^ Hardy, GH (1940). 'N Wiskundige se verskoning . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42706-7.
  65. ^ Goud, Bonnie ; Simons, Rogers A. (2008). Bewys- en ander dilemmas: wiskunde en filosofie . MAA.
  66. ^ "Vroegste gebruike van verskillende wiskundige simbole" . Op 20 Februarie 2016 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 14 September 2014 .
  67. ^ Kline 1990 , p. 140, oor Diophantus ; bl. 261, op Vieta .
  68. ^ Oakley 2014 , p. 16: "Gefokusde probleemoplossing in wiskunde en wetenskap is dikwels meer effektief as gefokusde denke waarby taal en mense betrokke is. Dit kan wees omdat mense gedurende die millennia nie ontwikkel het om wiskundige idees te manipuleer nie, wat dikwels meer abstrak geënkripteer word as dié van konvensionele taal. "
  69. ^ Oakley 2014 , p. 16: "Wat bedoel ek met abstraktheid? U kan wys op 'n regte lewende koei wat sy kudde in 'n weiding kou en dit gelykstel aan die letters c – o – w op die bladsy. Maar u kan nie wys op 'n werklike lewende pluspunt nie teken dat die simbool '+' gemodelleer is - die idee onderliggend aan die plusteken is abstrakter . '
  70. ^ Oakley 2014 , p. 16: "Met versleuteling bedoel ek dat een simbool vir 'n aantal verskillende bewerkings of idees kan staan, net soos die vermenigvuldigingsteken herhaalde toevoeging simboliseer."
  71. ^ Ivars Peterson, The Mathematical Tourist , Freeman, 1988, ISBN  978-0-7167-1953-3 . bl. 4 "Sommige kla dat die rekenaarprogram nie behoorlik geverifieer kan word nie", (met verwysing na die Haken – Apple-bewys van die vierkleurstelling).
  72. ^ "Die metode om 'te postuleer' wat ons wil hê, het baie voordele; dit is dieselfde as die voordele van diefstal bo eerlike geswoeg." Bertrand Russell (1919), Inleiding tot wiskundige filosofie , New York en Londen, p. 71. Gearchiveer op 20 Junie 2015 by die Wayback Machine
  73. ^ Patrick Suppes, Axiomatic Set Theory , Dover, 1972, ISBN  978-0-486-61630-8 . bl. 1, "Onder die vele vertakkings van die moderne wiskunde neem die versamelingsteorie 'n unieke plek in: met enkele seldsame uitsonderings kan die entiteite wat in wiskunde bestudeer en ontleed word, as sekere spesifieke versamelings of klasse voorwerpe beskou word."
  74. ^ Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics , Oxford University Press, 2005.
  75. ^ Halpern, Joseph; Harper, Robert; Immerman, Neil; Kolaitis, Phokion; Vardi, Moshe; Vianu, Victor (2001). "Oor die ongewone effektiwiteit van logika in rekenaarwetenskap" (PDF) . Besoek op 15 Januarie 2021 .
  76. ^ Clay Mathematics Institute , P = NP, claymath.org
  77. ^ Rao, CR (1997) Statistiek en waarheid: kans gee om te werk , World Scientific. ISBN  978-981-02-3111-8
  78. ^ Rao, CR (1981). "Voorwoord". In Arthanari, TS; Dodge, Yadolah (red.). Wiskundige programmering in statistiek . Wiley-reeks in waarskynlikheid en wiskundige statistieke. New York: Wiley. pp. vii – viii. ISBN 978-0-471-08073-2. MR  0607328 .
  79. ^ Whittle (1994 , bl. 10–11, 14–18): Whittle, Peter (1994). "Amper tuis" . In Kelly, FP (red.). Waarskynlikheid, statistieke en optimalisering: 'n Huldeblyk aan Peter Whittle (voorheen "A realised path: The Cambridge Statistical Laboratory up to 1993 (revised 2002)" ed.). Chichester: John Wiley. pp. 1–28. ISBN 978-0-471-94829-2. Op 19 Desember 2013 vanaf die oorspronklike argief .
  80. ^ Monastyrsky 2001 , p. 1: "Die Fields-medalje is nou onteenseglik die bekendste en invloedrykste toekenning in wiskunde."
  81. ^ Riehm 2002 , pp. 778–82.

Bibliografie

  • Boyer, CB (1991). A History of Mathematics (2de uitg.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
  • Eves, Howard (1990). 'N Inleiding tot die geskiedenis van wiskunde (6de uitg.). Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4.
  • Kline, Morris (1990). Wiskundige denke van antieke tot moderne tye (sagteband uitg.). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506135-2.
  • Monastyrsky, Michael (2001). "Sommige tendense in moderne wiskunde en die Fields-medalje" (PDF) . CMS - AANTEKENINGE - de la SMC . Kanadese Wiskundige Vereniging. 33 (2–3). Gearchiveer (PDF) vanaf die oorspronklike op 13 Augustus 2006 . Besoek op 28 Julie 2006 .
  • Oakley, Barbara (2014). 'N Gedagte vir getalle: hoe om wiskunde en wetenskap te bestudeer (selfs al het u algebra geknak) . New York: Penguin Random House. ISBN 978-0-399-16524-5. 'N Verstand vir getalle.
  • Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders (red.). "Lineêre assosiatiewe algebra" . American Journal of Mathematics (Verbeterde, uitgebreide en geannoteerde hersiening met 'n 1875-artikel van B. Peirce en aantekeninge deur sy seun, CS Peirce, van die 1872-litografie-uitg.). 4 (1–4): 97–229. doi : 10.2307 / 2369153 . hdl : 2027 / hvd.32044030622997 . JSTOR  2369153 . Verbeterde, uitgebreide en geannoteerde hersiening met 'n 1875-artikel van B. Peirce en aantekeninge deur sy seun, C. S. Peirce, van die litografie uit 1872. Google Eprint en as uittreksel, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint . Op 31 Maart 2021 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 17 November 2020 ..
  • Peterson, Ivars (2001). Wiskundige toeris, nuwe en bygewerkte foto's van moderne wiskunde . Uilboeke. ISBN 978-0-8050-7159-7.
  • Popper, Karl R. (1995). "Op kennis". Op soek na 'n beter wêreld: lesings en opstelle uit dertig jaar . New York: Routledge. Bibcode : 1992sbwl.book ..... P . ISBN 978-0-415-13548-1.
  • Riehm, Carl (Augustus 2002). "Die vroeë geskiedenis van die Fields-medalje" (PDF) . Kennisgewings van die AMS . 49 (7): 778–72. Gearchiveer (PDF) vanaf die oorspronklike op 26 Oktober 2006 . Besoek op 2 Oktober 2006 .
  • Sevryuk, Mikhail B. (Januarie 2006). "Boekresensies" (PDF) . Bulletin van die Amerikaanse Wiskundige Vereniging . 43 (1): 101–09. doi : 10.1090 / S0273-0979-05-01069-4 . Gearchiveer (PDF) vanaf die oorspronklike op 23 Julie 2006 . Besoek op 24 Junie 2006 .
  • Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [eerste publikasie 1856]. Gauss zum Gedächtniss . Sändig Herdruk Verlag HR Wohlwend. ISBN 978-3-253-01702-5.

Verdere leeswerk

Wiskundeby Wikipedia se susterprojekte
  • Definisies uit Wiktionary
  • Media van Wikimedia Commons
  • Nuus van Wikinews
  • Aanhalings uit Wikiquote
  • Tekste vanaf Wikisource
  • Handboeke van Wikibooks
  • Bronne van Wikiversity
  • Benson, Donald C. (2000). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8.
  • Davis, Philip J .; Hersh, Reuben (1999). The Mathematical Experience (Herdruk red.). Mariner Boeke. ISBN 978-0-395-92968-1.
  • Courant, Richard ; Robbins, Herbert (1996). Wat is wiskunde ?: 'n Elementêre benadering tot idees en metodes (2de uitg.). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510519-3.
  • Einstein, Albert (1923). Getuienis oor relatiwiteit: I. Ether en relativiteit. II. Meetkunde en ervaring (vertaal deur GB Jeffery, D.Sc., en W. Perrett, Ph.D) . EP Dutton & Co., New York. Gegearchiveer vanaf die oorspronklike op 25 Julie 2014 . Besoek op 23 September 2012 .
  • Gullberg, Jan (1997). Wiskunde: Vanaf die geboorte van getalle (1ste uitg.). WW Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9.
  • Hazewinkel, Michiel, red. (2000). Ensiklopedie van Wiskunde . Kluwer Akademiese Uitgewers. - 'n Vertaalde en uitgebreide weergawe van 'n Sowjet-wiskunde-ensiklopedie, in tien dele. Ook in sagteband en op CD-ROM, en aanlyn Gearchiveer op 3 Julie 2011 by die Wayback Machine .
  • Jourdain, Philip EB (2003). "Die aard van wiskunde". In James R. Newman (red.). Die wêreld van wiskunde . Dover-publikasies. ISBN 978-0-486-43268-7.
  • Maier, Annaliese (1982). Steven Sargent (red.). Op die drempel van eksakte wetenskap: geselekteerde geskrifte van Annaliese Maier oor die laat-Middeleeuse natuurfilosofie . Philadelphia: Universiteit van Pennsylvania Press.
  • Pappas, Theoni (Junie 1989). The Joy Of Mathematics (Hersiene red.). Wye Wêreld-uitgewery. ISBN 978-0-933174-65-8.
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Mathematics" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP