Jacobiaanse matriks en determinant

In vektor calculus , die Jakobiaan matriks ( / dʒ ə k oʊ b i ə N / , ^[1]^[2]^[3] / dʒ ɪ -, j ɪ - / ) van 'n -vektorwaardige funksie in verskeie veranderlikes is die matriks van al sy eerste-orde gedeeltelike afgeleides . Wanneer hierdie matriks vierkantig is , dit wil sê wanneer die funksie dieselfde aantal veranderlikes as invoer neem as die aantal vektorkomponente van die uitvoer daarvan, is die bepalende faktorword die Jakobiaanse determinant genoem . Sowel die matriks as (indien van toepassing) die determinant word in die literatuur dikwels bloot die Jacobian genoem . ^[4]

Gestel $f : R n \to R m$ is 'n funksie dat elkeen van sy eerste-orde gedeeltelike afgeleides op $R n bestaan$ . Hierdie funksie neem 'n punt $x \in R n$ as invoer en produseer die vektor $f (x) \in R m$ as uitvoer. Dan word die Jacobiaanse matriks van $f$ gedefinieer as 'n $m \times n$ matriks, aangedui deur $J$ , waarvan $(i, j)$ die inskrywing is ${\ textstyle \ mathbf {J} _ {ij} = {\ frac {\ gedeeltelik f_ {i}} {\ gedeeltelik x_ {j}}}}$ , of eksplisiet

{\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ gedeeltelik \ mathbf {f}} {\ gedeeltelik x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ gedeeltelik \ mathbf {f }} {\ gedeeltelik x_ {n}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ nabla ^ {\ mathrm {T}} f_ {1} \\\ vdots \\\ nabla ^ {\ mathrm {T}} f_ {m} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ gedeeltelik f_ {1}} {\ gedeeltelik x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ gedeeltelik f_ {1}} {\ gedeeltelik x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ gedeeltelik f_ {m}} {\ gedeeltelik x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ gedeeltelik f_ {m}} {\ gedeeltelik x_ {n}}} \ einde {bmatrix}}}

waar ${\ displaystyle \ nabla ^ {\ mathrm {T}} f_ {i}}$ is die transponeer (ryvektor) van die gradiënt van die ${\ displaystyle i}$ komponent.

Hierdie matriks, waarvan die inskrywings funksies van $x is$ , word op verskillende maniere aangedui; algemene notasies sluit in ^{[ aanhaling benodig ]} $D f$ , $J f$ , ${\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f}}$ , en ${\ displaystyle {\ frac {\ partial (f_ {1}, .., f_ {m})} {\ partial (x_ {1}, .., x_ {n})}}}$ . Sommige outeurs definieer die Jakobus as die transponering van die vorm hierbo.

Die Jacobiaanse matriks stel die differensiaal van $f voor$ op elke punt waar $f$ onderskeibaar is. In detail, as $h$ 'n verplasingsvektor is wat deur 'n kolommatriks voorgestel word , is die matriksproduk $J (x) \cdot h$ 'n ander verplasingsvektor, dit is die beste lineêre benadering van die verandering van $f$ in 'n omgewing van $x$ , as $f (x)$ is differensieerbaar by $x$ . ^[a] Dit beteken dat die funksie wat $y$ tot $f (x) + J (x) \cdot (y - x)$ toewys, die beste lineêre benadering van $f (y) is$ vir alle punte $y$ naby $x$ . Hierdie lineêre funksie staan bekend as die afgeleide of die differensiaal van $f$ by $x$ .

Wanneer $m = n$ , is die Jacobiaanse matriks vierkantig, dus is die determinant daarvan 'n goed gedefinieerde funksie van $x$ , bekend as die Jacobiaanse determinant van $f$ . Dit bevat belangrike inligting oor die plaaslike gedrag van $f$ . In die besonder het die funksie $f$ plaaslik in die omgewing van 'n punt $x '$ n omgekeerde funksie wat onderskeibaar is as en slegs as die Jacobiaanse determinant nie-nul is by $x$ (sien Jacobiaanse vermoede ). Die Jacobiaanse determinant verskyn ook wanneer die veranderlikes in veelvuldige integrale verander word (sien vervangingsreël vir veelvoudige veranderlikes ).

Wanneer $m = 1$ , dit is wanneer $f : R n \to R$ 'n skaalwaardige funksie is , verminder die Jacobiaanse matriks tot die ryvektor ${\ displaystyle \ nabla ^ {\ mathrm {T}} f}$ . Hierdie ryvektor van alle eerste-orde gedeeltelike afgeleides van $f$ is die transponering van die gradiënt van $f$ , dws ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = \ nabla ^ {T} f}$ . As ons verder spesialiseer, wanneer $m = n = 1$ , dit is wanneer $f : R \to R$ 'n skaalwaardige funksie van 'n enkele veranderlike is, het die Jacobiaanse matriks 'n enkele invoer. Hierdie inskrywing is die afgeleide van die funksie $f$ .

Hierdie begrippe is vernoem na die wiskundige Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

Jacobiaanse matriks

Die Jacobiaan van 'n vektorwaarde funksie in verskeie veranderlikes veralgemeen die gradiënt van 'n skalaar- gewaardeerde funksie in verskeie veranderlikes, wat op sy beurt die afgeleide van 'n skaalwaardige funksie van 'n enkele veranderlike veralgemeen. Met ander woorde, die Jacobiaanse matriks van 'n skaalwaardige funksie in verskillende veranderlikes is (die transponering van) sy gradiënt en die gradiënt van 'n skaalwaardige funksie van 'n enkele veranderlike is die afgeleide daarvan.

Op elke punt waar 'n funksie onderskeibaar is, kan die Jacobiaanse matriks ook beskou word as die hoeveelheid "rek", "draai" of "transformeer" wat die funksie plaaslik naby hierdie punt oplewer. As $(x', y') = f (x, y)$ byvoorbeeld gebruik word om 'n beeld glad te transformeer, beskryf die Jacobiaanse matriks $J f (x, y)$ hoe die beeld in die omgewing van $(x, y)$ getransformeer word.

As 'n funksie op 'n punt onderskeibaar is, word die differensiaal in die koordinate deur die Jacobiaanse matriks gegee. 'N Funksie hoef egter nie onderskeibaar te wees om die Jacobiese matriks te definieer nie, omdat slegs die eerste-orde gedeeltelike afgeleides nodig is om te bestaan.

As $f$ is differensieerbaar op 'n punt $p$ in $R N$ , dan is sy ewenaar word verteenwoordig deur $J f (p)$ . In hierdie geval is die lineêre transformasie wat deur $J f (p) voorgestel$ word, die beste lineêre benadering van $f$ naby die punt $p$ , in die sin dat

{\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p}) ( \ mathbf {x} - \ mathbf {p}) + o (\ | \ mathbf {x} - \ mathbf {p} \ |) \ quad ({\ text {as}} \ mathbf {x} \ to \ mathbf {p}),}

waar $o (‖ x - p ‖)$ is 'n hoeveelheid wat nul nader veel vinniger as die afstand tussen $x$ en $p$ doen as $x$ nader $p$ . Hierdie benadering spesialiseer in die benadering van 'n skalêre funksie van 'n enkele veranderlike deur die Taylor-polinoom van graad een, naamlik

{\ displaystyle f (x) -f (p) = f '(p) (xp) + o (xp) \ quad ({\ text {as}} x \ tot p)}

.

In hierdie sin kan die Jacobiaan beskou word as 'n soort ' eerste-orde afgeleide ' van 'n vektore gewaardeerde funksie van verskeie veranderlikes. In die besonder beteken dit dat die gradiënt van 'n skaalwaardige funksie van verskeie veranderlikes ook as die 'eerste-orde afgeleide' kan beskou.

Komponeerbare onderskeibare funksies $f : R n \to R m$ en $g : R m \to R k$ voldoen aan die kettingreël , naamlik ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g} \ circ \ mathbf {f}} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g}} (\ mathbf {f} (\ mathbf {x})) \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {x})}$ vir $x$ in $R n$ .

Die Jacobiaan van die gradiënt van 'n skalaarfunksie van verskillende veranderlikes het 'n spesiale naam: die Hessiese matriks , wat in 'n sekere sin die ' tweede afgeleide ' van die betrokke funksie is.

Jakobiaanse determinant

'N Nie-lineêre kaart

{\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

stuur 'n klein vierkant (links, in rooi) na 'n verwronge parallelogram (regs, in rooi). Die Jacobiaan op 'n punt gee die beste lineêre benadering van die verwronge parallelogram naby daardie punt (regs, in deurskynend wit), en die Jacobiaanse determinant gee die verhouding van die oppervlakte van die benaderde parallelogram tot die van die oorspronklike vierkant.

As $m = N$ , dan $f$ is 'n funksie van $R N$ homself en die Jakobiaan matriks is 'n vierkantige matriks . Ons kan dan die determinant daarvan vorm , bekend as die Jacobiaanse determinant . Daar word soms bloot na die Jakobiaanse determinant verwys as "die Jakobus".

Die Jakobiaanse determinant op 'n gegewe punt gee belangrike inligting oor die gedrag van $f$ naby daardie punt. Die deurlopend onderskeibare funksie $f$ is byvoorbeeld omkeerbaar naby 'n punt $p \in R n$ as die Jacobiaanse determinant by $p$ nie-nul is. Dit is die inverse stelling van die funksie . Verder, as die Jakobiaan determinant by $p$ is positief , dan $f$ konfyt oriëntasie naby $p$ ; as dit negatief is , keer $f die$ oriëntasie om. Die absolute waarde van die Jacobiaanse determinant by $p$ gee ons die faktor waardeur die funksie $f$ volume uitbrei of verklein naby $p$ ; daarom kom dit voor in die algemene vervangingsreël .

Die Jacobiaanse determinant word gebruik wanneer veranderlikes verander word wanneer 'n meervoudige integraal van 'n funksie oor 'n streek binne sy domein geëvalueer word . Om voorsiening te maak vir die verandering van koördinate, ontstaan die grootte van die Jacobiaanse determinant as 'n vermenigvuldigingsfaktor binne die integraal. Dit is omdat die $n$ -dimensionele $dV-$ element in die algemeen 'n parallelepiped in die nuwe koördinaatstelsel is, en die $n$ -volume van 'n parallelepiped die determinant van sy randvektore is.

Die Jacobiaan kan ook gebruik word om die stabiliteit van ewewigte vir stelsels van differensiaalvergelykings te bepaal deur gedrag naby 'n ewewigspunt te benader. Die toepassings daarvan sluit die bepaling van die stabiliteit van die siektevrye ewewig in die modellering van siektes in. ^[5]

Omgekeerde

Volgens die inverse funksie stelling is die matriks inverse van die Jacobiaanse matriks van 'n omkeerbare funksie die Jacobiaanse matriks van die inverse funksie. Dit wil sê, as die Jakobus van die funksie $f : R n \to R n$ deurlopend en nonsingulêr is op die punt $p$ in $R n$ , dan is $f$ omkeerbaar as dit beperk is tot een of ander omgewing van $p$ en

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f} ^ {- 1}} \ circ \ mathbf {f} = {\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}} ^ {- 1}. }

Omgekeerd, as die Jacobiaanse determinant nie nul op 'n punt is nie, dan is die funksie plaaslik omkeerbaar naby hierdie punt, dit wil sê daar is 'n omgewing van hierdie punt waarin die funksie omkeerbaar is.

Die (onbewese) Jacobiaanse vermoede hou verband met globale omkeerbaarheid in die geval van 'n polinoomfunksie, dit is 'n funksie wat gedefinieer word deur n polinome in n veranderlikes. Dit beweer dat, as die Jacobiaanse determinant 'n nie-nul-konstante is (of, ekwivalent, dat dit geen komplekse nul het nie), dan is die funksie omkeerbaar en die inverse daarvan is 'n polinoomfunksie.

Kritieke punte

As $f : R n \to R m$ 'n onderskeibare funksie is , is 'n kritieke punt van $f$ 'n punt waar die rang van die Jacobiaanse matriks nie maksimum is nie. Dit beteken dat die rang op die kritieke punt laer is as die rang op een of ander buurpunt. Met ander woorde, laat $k$ die maksimum dimensie wees van die oop balle wat in die beeld van $f voorkom$ ; dan is 'n punt van kritieke belang as alle minderjariges van rang $k$ van $f$ nul is.

In die geval waar $m = n = k$ , is 'n punt van kritieke belang as die Jacobiaanse determinant nul is.

Voorbeelde

Voorbeeld 1

Beskou die funksie $f : R 2 \to R 2,$ met $(x, y) \mapsto (f 1 (x, y), f 2 (x, y)),$ gegee deur

{\ displaystyle \ mathbf {f} \ left ({\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ right) = {\ begin {bmatrix} f_ {1} (x, y) \\ f_ { 2} (x, y) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x ^ {2} y \\ 5x + \ sin y \ end {bmatrix}}.}

Dan het ons

{\ displaystyle f_ {1} (x, y) = x ^ {2} y}

en

{\ displaystyle f_ {2} (x, y) = 5x + \ sin y}

en die Jacobiaanse matriks van $f$ is

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ gedeeltelik f_ {1}} {\ gedeeltelik x}} & {\ dfrac { \ gedeeltelik f_ {1}} {\ gedeeltelik y}} \\ [1em] {\ dfrac {\ gedeeltelik f_ {2}} {\ gedeeltelik x}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik f_ {2}} {\ gedeeltelik y}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2xy & x ^ {2} \\ 5 & \ cos y \ end {bmatrix}}}

en die Jakobiaanse determinant is

{\ displaystyle \ det (\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y)) = 2xy \ cos y-5x ^ {2}.}

Voorbeeld 2: polar-Cartesiese transformasie

Die transformasie van poolkoördinate $(r, φ)$ om Cartesiese koördinate ( x , y ), word gegee deur die funksie $F : R + \times [0, 2 π) \to R 2$ met komponente:

{\ displaystyle {\ begin {belyn} x & = r \ cos \ varphi; \\ y & = r \ sin \ varphi. \ end {belyn}}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (r, \ varphi) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ gedeeltelik x} {\ gedeeltelik r}} & {\ dfrac {\ gedeeltelik x} {\ gedeeltelik \ varphi}} \\ [1em] {\ dfrac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik r}} & {\ dfrac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik \ varphi}} \ einde {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ varphi & -r \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & r \ cos \ varphi \ end {bmatrix}}}

Die Jacobiaanse determinant is gelyk aan $r$ . Dit kan gebruik word om integrale tussen die twee koördinaatstelsels te transformeer:

{\ displaystyle \ iint _ {\ mathbf {F} (A)} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {A} f (r \ cos \ varphi, r \ sin \ varphi) \ , r \, dr \, d \ varphi.}

Voorbeeld 3: bolvormige-Cartesiese transformasie

Die transformasie van sferiese koördinate $(ρ, φ, θ)$ ^[6] na Cartesiese koördinate ( x , y , z ), word gegee deur die funksie $F : R + \times [0, π) \times [0, 2 π) \to R 3$ met komponente:

{\ displaystyle {\ begin {belyn} x & = \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta; \\ y & = \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta; \\ z & = \ rho \ cos \ varphi. \ end {belyn}}}

Die Jacobiaanse matriks vir hierdie koördinaatverandering is

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (\ rho, \ varphi, \ theta) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ gedeeltelik x} {\ gedeeltelik \ rho}} & { \ dfrac {\ gedeeltelik x} {\ gedeeltelik \ varphi}} & {\ dfrac {\ gedeeltelik x} {\ gedeeltelik \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik \ rho}} & {\ dfrac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik \ varphi}} & {\ dfrac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ gedeeltelik z} {\ gedeeltelik \ rho }} en {\ dfrac {\ gedeeltelik z} {\ gedeeltelik \ varphi}} & {\ dfrac {\ gedeeltelik z} {\ gedeeltelik \ theta}} \ einde {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ sin \ varphi \ cos \ theta & \ rho \ cos \ varphi \ cos \ theta & - \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta \\\ sin \ varphi \ sin \ theta & \ rho \ cos \ varphi \ sin \ theta & \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta \\\ cos \ varphi & - \ rho \ sin \ varphi & 0 \ end {bmatrix}}.}

Die determinant is $ρ 2 sin φ$ . Aangesien $dV = dx dy dz$ die volume van 'n reghoekige differensiële volume-element is (omdat die volume van 'n reghoekige prisma die produk van sy sye is), kan ons $dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ$ $interpreteer$ as die volume van die sferiese differensiaal volume-element . Anders as die volume van die reghoekige differensiële volume, is die volume van hierdie differensiële volume nie konstant nie, en wissel dit met koördinate ( $ρ$ en $φ$ ). Dit kan gebruik word om integrale tussen die twee koördinaatstelsels te transformeer:

{\ displaystyle \ iiint _ {\ mathbf {F} (U)} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {U} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \, \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi \, d \ theta.}

Voorbeeld 4

Die Jacobiaanse matriks van die funksie $F : R 3 \to R 4$ met komponente

{\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} & = x_ {1} \\ y_ {2} & = 5x_ {3} \\ y_ {3} & = 4x_ {2} ^ {2} -2x_ { 3} \\ y_ {4} & = x_ {3} \ sin x_ {1} \ end {align}}}

is

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {1}} {\ gedeeltelik x_ {1}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {1}} {\ gedeeltelik x_ {2}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {1}} {\ gedeeltelik x_ {3}} } \\ [1em] {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {2}} {\ gedeeltelik x_ {1}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {2}} {\ gedeeltelik x_ {2}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {2}} {\ gedeeltelik x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {3}} {\ gedeeltelik x_ {1}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {3}} {\ gedeeltelik x_ {2}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {3}} {\ gedeeltelik x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {4} } {\ gedeeltelik x_ {1}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {4}} {\ gedeeltelik x_ {2}}} en {\ dfrac {\ gedeeltelik y_ {4}} {\ gedeeltelik x_ {3} }} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 8x_ {2} & - 2 \\ x_ {3} \ cos x_ {1} & 0 & \ sin x_ {1} \ end { bmatrix}}.}

Hierdie voorbeeld toon aan dat die Jacobiaanse matriks nie 'n vierkantige matriks hoef te wees nie.

Voorbeeld 5

Die Jacobiaanse determinant van die funksie $F : R 3 \to R 3$ met komponente

{\ displaystyle {\ begin {belyn} y_ {1} & = 5x_ {2} \\ y_ {2} & = 4x_ {1} ^ {2} -2 \ sin (x_ {2} x_ {3}) \ \ y_ {3} & = x_ {2} x_ {3} \ end {align}}}

is

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_ {1} & - 2x_ {3} \ cos (x_ {2} x_ {3}) & - 2x_ {2} \ cos (x_ {2} x_ {3 }) \\ 0 & x_ {3} & x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 8x_ {1} {\ begin {vmatrix} 5 & 0 \\ x_ {3} & x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 40x_ {1} x_ {2}.}

Hieruit sien ons dat $F die$ oriëntasie omkeer naby die punte waar $x 1$ en $x 2$ dieselfde teken het; die funksie is plaaslik omkeerbare oral behalwe naby punte waar $x 1 = 0$ of $x 2 = 0$ . Intuïtief, as 'n mens met 'n klein voorwerp rondom die punt $(1, 2, 3) begin$ en $F$ op die voorwerp toepas , sal 'n voorwerp verkry word met ongeveer $40 \times 1 \times 2 = 80$ keer die volume van die oorspronklike, met oriëntasie omgekeer.

Ander gebruike

Regressie en kleinste vierkante pas

Die Jacobiaan dien as 'n lineaire ontwerpmatriks in statistiese regressie en krommepassing ; sien nie-lineêre kleinste vierkante .

Dinamiese stelsels

Beskou 'n dinamiese stelsel van die vorm ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}} = F (\ mathbf {x})}$ , waar ${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}}}$ is die (komponentgewys) afgeleide van ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ met betrekking tot die evolusie-parameter ${\ displaystyle t}$ (tyd), en ${\ displaystyle F \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ is onderskeibaar. As ${\ displaystyle F (\ mathbf {x} _ {0}) = 0}$ , dan ${\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}$ is 'n stilstaande punt (ook genoem 'n bestendige toestand ). Volgens die Hartman – Grobman-stelling hou die gedrag van die stelsel naby 'n stil punt verband met die eiewaardes van ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {F} \ left (\ mathbf {x} _ {0} \ right)}$ , die Jakobiaan van ${\ displaystyle F}$ by die stilstaande punt. ^[7] Spesifiek, as die eiewaardes almal werklike dele het wat negatief is, dan is die stelsel stabiel naby die stilstaande punt; as enige eiewaarde 'n werklike deel het wat positief is, dan is die punt onstabiel. As die grootste reële deel van die eiewaardes nul is, kan die Jacobiaanse matriks nie die stabiliteit evalueer nie. ^[8]

Newton se metode

'N Kwadraatstelsel van gekoppelde nie-lineêre vergelykings kan iteratief opgelos word volgens die metode van Newton . Hierdie metode gebruik die Jacobiaanse matriks van die vergelykingsisteem.

Sien ook

Sentrale spruitstuk
Hessiese matriks
Druk vorentoe (differensiaal)

Aantekeninge

^ Differensieerbaarheid by $x$ impliseer, maar word nie geïmpliseer deur, die bestaan van alle eerste-orde gedeeltelike afgeleides op $x nie$ , en is dus 'n sterker toestand.

Verwysings

^ "Jacobian - Definisie van Jacobian in Engels deur Oxford Dictionaries" . Oxford Woordeboeke - Engels . Op 1 Desember 2017 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 2 Mei 2018 .
^ "die definisie van jakobies" . Dictionary.com . Op 1 Desember 2017 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 2 Mei 2018 .
^ Span, Forvo. "Jacobiaanse uitspraak: Hoe word Jacobian in Engels uitgespreek" . forvo.com . Besoek op 2 Mei 2018 .
^ W., Weisstein, Eric. "Jacobian" . mathworld.wolfram.com . Op 3 November 2017 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 2 Mei 2018 .
^ Smith? RJ (2015). "Die vreugdes van die Jakobus" . Krytstof . 2 : 10–17.
^ Joel Hass, Christopher Heil en Maurice Weir. Thomas 'Calculus Early Transcendentals, 14e . Pearson, 2018, p. 959.
^ Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). "Die lineêre stelling" . Dinamiese stelsels: differensiaalvergelykings, kaarte en chaotiese gedrag . Londen: Chapman & Hall. bl. 77–81. ISBN 0-412-39080-9.
^ Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974). Differensiaalvergelykings, dinamiese stelsels en lineêre algebra . ISBN 0-12-349550-4.

Verdere leeswerk

Gandolfo, Giancarlo (1996). "Vergelykende statistiek en die korrespondensiebeginsel" . Ekonomiese dinamika (Derde uitg.). Berlyn: Springer. bl. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
Protter, Murray H .; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformasies en Jakobiërs". Intermediêre calculus (Tweede uitg.). New York: Springer. bl. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

Eksterne skakels

"Jacobian" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Mathworld ' n Meer tegniese uiteensetting van Jacobians

[5] Differensieerbaarheid by $x$ impliseer, maar word nie geïmpliseer deur, die bestaan van alle eerste-orde gedeeltelike afgeleides op $x nie$ , en is dus 'n sterker toestand.

[1] "Jacobian - Definisie van Jacobian in Engels deur Oxford Dictionaries" . Oxford Woordeboeke - Engels . Op 1 Desember 2017 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 2 Mei 2018 .

[2] "die definisie van jakobies" . Dictionary.com . Op 1 Desember 2017 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 2 Mei 2018 .

[3] Span, Forvo. "Jacobiaanse uitspraak: Hoe word Jacobian in Engels uitgespreek" . forvo.com . Besoek op 2 Mei 2018 .

[4] W., Weisstein, Eric. "Jacobian" . mathworld.wolfram.com . Op 3 November 2017 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 2 Mei 2018 .

[6] Smith? RJ (2015). "Die vreugdes van die Jakobus" . Krytstof . 2 : 10–17.

[7] Joel Hass, Christopher Heil en Maurice Weir. Thomas 'Calculus Early Transcendentals, 14e . Pearson, 2018, p. 959.

[8] Arrowsmith, DK; Place, CM (1992). "Die lineêre stelling" . Dinamiese stelsels: differensiaalvergelykings, kaarte en chaotiese gedrag . Londen: Chapman & Hall. bl. 77–81. ISBN 0-412-39080-9.

[9] Hirsch, Morris; Smale, Stephen (1974). Differensiaalvergelykings, dinamiese stelsels en lineêre algebra . ISBN 0-12-349550-4.

[1]