• logo

Meetkunde

Meetkunde (van die Oudgrieks : γεωμετρία ; geo- "aarde", -metron "meting") is, met rekenkunde , een van die oudste takke van wiskunde . Dit gaan oor eienskappe van ruimte wat verband hou met afstand, vorm, grootte en relatiewe posisie van figure. [1] ' n Wiskundige wat op die gebied van meetkunde werk, word 'n geometer genoem .

'N Illustrasie van Desargues se stelling , 'n resultaat in Euklidiese en projektiewe meetkunde

Tot in die 19de eeu was meetkunde byna uitsluitlik gewy aan Euklidiese meetkunde , [a] wat die begrippe punt , lyn , vlak , afstand , hoek , oppervlak en kromme as fundamentele begrippe insluit. [2]

Gedurende die 19de eeu het verskeie ontdekkings die omvang van meetkunde dramaties vergroot. Een van die oudste sulke ontdekkings is Gauss se Theorema Egregium ('merkwaardige stelling') wat ongeveer beweer dat die Gaussiese kromming van 'n oppervlak onafhanklik is van enige spesifieke inbedding in 'n Euklidiese ruimte . Dit impliseer dat oppervlaktes intrinsiek bestudeer kan word , dit wil sê as losstaande ruimtes, en is uitgebrei na die teorie van menigvuldige en Riemanniese meetkunde .

Later in die 19de eeu het dit geblyk dat meetkundes sonder die parallelle postulaat ( nie-Euklidiese meetkunde ) ontwikkel kan word sonder om enige teenstrydigheid in te stel. Die meetkunde wat die algemene relatiwiteit onderlê, is 'n bekende toepassing van nie-Euklidiese meetkunde.

Sedertdien is die omvang van meetkunde baie uitgebrei en is die veld in baie subvelde verdeel wat afhang van die onderliggende metodes - differensiële meetkunde , algebraïese meetkunde , berekeningsgeometrie , algebraïese topologie , diskrete meetkunde (ook bekend as kombinatoriese meetkunde ), ensovoorts - of oor die eienskappe van Euklidiese ruimtes wat buite rekening gelaat word - projektiewe meetkunde wat slegs belyning van punte maar nie afstand en parallelisme oorweeg nie, affine meetkunde wat die konsep van hoek en afstand weglaat , eindige meetkunde wat kontinuïteit weglaat , ens.

Die meetkunde, wat oorspronklik ontwikkel is om die fisiese wêreld te modelleer, het toepassings in byna alle wetenskappe , en ook in kuns , argitektuur en ander aktiwiteite wat met grafika verband hou . [3] Meetkunde het ook toepassings op gebiede van wiskunde wat blykbaar nie verband hou nie. Metodes van algebraïese meetkunde is byvoorbeeld van fundamentele belang in Wiles se bewys van Fermat se laaste stelling , 'n probleem wat in terme van elementêre rekenkunde gestel is en 'n paar eeue onopgelos gebly het.

Geskiedenis

'N Europese en 'n Arabier wat meetkunde beoefen in die 15de eeu

Die vroegste aangetekende begin van meetkunde kan teruggevoer word na antieke Mesopotamië en Egipte in die 2de millennium vC. [4] [5] Vroeë meetkunde was 'n versameling van empiries ontdekte beginsels rakende lengtes, hoeke, oppervlaktes en volumes, wat ontwikkel is om in die praktiese behoefte in landmeting , konstruksie , sterrekunde en verskillende kunsvlyt te voorsien. Die vroegste bekende tekste oor meetkunde is die Egiptiese Rhind Papyrus (2000–1800 vC) en Moskou Papyrus (c. 1890 vC), en die Babiloniese kleitablette , soos Plimpton 322 (1900 vC). Die Papyrus in Moskou gee byvoorbeeld 'n formule vir die berekening van die volume van 'n afgeknotte piramide, of frustum . [6] Latere kleitablette (350–50 v.C.) toon aan dat Babiloniese sterrekundiges trapeziumprosedures geïmplementeer het om Jupiter se posisie en beweging binne tydsnelheidsruimte te bereken . Hierdie meetkundige prosedures het die Oxford Sakrekenaars , insluitend die gemiddelde snelheidsstelling , in 14 eeue verwag. [7] Suid van Egipte het die antieke Nubiërs 'n stelsel van meetkunde ingestel wat vroeë weergawes van sonhorlosies insluit. [8] [9]

In die 7de eeu vC het die Griekse wiskundige Thales van Milete meetkunde gebruik om probleme op te los, soos om die hoogte van piramides en die afstand van skepe vanaf die oewer te bereken. Hy word toegeskryf aan die eerste gebruik van deduktiewe redenasies wat toegepas word op meetkunde, deur vier gevolge vir Thales se stelling af te lei . [10] Pythagoras stig die Pythagorese Skool , wat toegeskryf word aan die eerste bewys van die Stelling van Pythagoras , [11] hoewel die stelling van die stelling 'n lang geskiedenis het. [12] [13] Eudoxus (408 - ongeveer 355 vC) het die metode van uitputting ontwikkel , wat die berekening van oppervlaktes en volumes kromlynige figure moontlik gemaak het, [14] sowel as 'n teorie van verhoudings wat die probleem van onmeetbare groottes vermy het. , wat daaropvolgende geometers in staat gestel het om beduidende vordering te maak. Rondom 300 vC het die meetkunde 'n rewolusie gehad deur Euclid, wie se elemente , algemeen beskou as die suksesvolste en invloedrykste handboek van alle tye, [15] wiskundige noukeurigheid deur middel van die aksiomatiese metode ingevoer het en is die vroegste voorbeeld van die formaat wat vandag nog in wiskunde gebruik word, dat van definisie, aksioma, stelling en bewys. Alhoewel die meeste inhoud van die elemente al bekend was, het Euclid dit in 'n enkele, samehangende logiese raamwerk gerangskik. [16] Die elemente was tot in die middel van die 20ste eeu aan alle opgeleide mense in die Weste bekend en die inhoud daarvan word vandag nog in meetkundeklasse aangebied. [17] Archimedes (ongeveer 287–212 vC) van Syracuse gebruik die metode van uitputting om die oppervlakte onder die boog van 'n parabool te bereken met die opsomming van 'n oneindige reeks , en gee opvallend akkurate benaderings van pi . [18] Hy het ook die spiraal wat na hom vernoem en verkry formules vir die volumes van oppervlaktes van revolusie .

Vrou wat meetkunde onderrig . Illustrasie aan die begin van 'n Middeleeuse vertaling van Euclid's Elements , (c. 1310).

Indiese wiskundiges het ook baie belangrike bydraes gelewer in meetkunde. Die Satapatha Brahmana (3de eeu v.C.) bevat reëls vir rituele geometriese konstruksies wat soortgelyk is aan die Sulba Sutras . [19] Volgens ( Hayashi 2005 , p. 363) bevat die Śulba Sūtras 'die vroegste bestaande mondelinge uitdrukking van die Pythagorese stelling in die wêreld, alhoewel dit alreeds aan die Ou Babiloniërs bekend was. Hulle bevat lyste van Pythagorese drieling , [20] wat veral gevalle van Diofantynse vergelykings is . [21] In die Bakhshali-manuskrip is daar 'n handjievol meetkundige probleme (insluitend probleme met betrekking tot volumes onreëlmatige vaste stowwe). Die Bakhshali-manuskrip gebruik ook 'n desimale waardestelsel met 'n punt vir nul. " [22] Aryabhata se Aryabhatiya (499) sluit die berekening van oppervlaktes en volumes in. Brahmagupta het sy astronomiese werk Brāhma Sphuṭa Siddhānta in 628 geskryf. Hoofstuk 12, wat 66 Sanskritverse bevat , is in twee afdelings verdeel:" basiese bewerkings "(insluitend derdemagswortels, breuke, verhouding en eweredigheid, en ruil) en" praktiese wiskunde "(insluitend mengsel, wiskundige reeks, vlakfigure, stapel bakstene, saag van hout, en hei van graan). [23] In ste In laasgenoemde gedeelte stel hy sy beroemde stelling oor die skuinshoeke van 'n sikliese vierhoek . Hoofstuk 12 bevat ook 'n formule vir die oppervlakte van 'n sikliese vierhoek ('n veralgemening van Heron se formule ), sowel as 'n volledige beskrywing van rasionale driehoeke ( dws driehoeke met rasionele sye en rasionele gebiede). [23]

In die Middeleeue het wiskunde in die Middeleeuse Islam bygedra tot die ontwikkeling van meetkunde, veral algebraïese meetkunde . [24] [25] Al-Mahani (geb. 853) het die idee om geometriese probleme te verminder, soos om die kubus te dupliseer tot probleme in algebra. [26] Thābit ibn Qurra (bekend as Thebit in Latyn ) (836–901) het rekenkundige bewerkings toegepas op verhoudings van meetkundige groottes , en het bygedra tot die ontwikkeling van analitiese meetkunde . [27] Omar Khayyám (1048–1131) het meetkundige oplossings vir kubieke vergelykings gevind . [28] Die stellings van Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam en Nasir al-Din al-Tusi oor vierhoeke , insluitend die vierhoekige Lambert en die Saccheri vierhoek , was vroeë resultate in hiperboliese meetkunde , en saam met hul alternatiewe postulate, soos as aksfoon van Playfair , het hierdie werke 'n groot invloed gehad op die ontwikkeling van nie-Euklidiese meetkunde onder latere Europese geometers, waaronder Witelo (ongeveer 1230 - ongeveer 1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso , John Wallis en Giovanni Girolamo Saccheri . [ twyfelagtige - bespreek ] [29]

In die vroeë 17de eeu was daar twee belangrike ontwikkelings in meetkunde. Die eerste was die skepping van analitiese meetkunde, of meetkunde met koördinate en vergelykings , deur René Descartes (1596–1650) en Pierre de Fermat (1601–1665). [30] Dit was 'n noodsaaklike voorloper vir die ontwikkeling van calculus en 'n presiese kwantitatiewe fisikawetenskap . [31] Die tweede geometriese ontwikkeling van hierdie periode was die stelselmatige studie van projektiewe meetkunde deur Girard Desargues (1591–1661). [32] Projektiewe meetkunde bestudeer eienskappe van vorms wat onveranderd is onder projeksies en gedeeltes , veral wat die artistieke perspektief betref . [33]

Twee ontwikkelinge in meetkunde in die 19de eeu het die manier verander waarop dit voorheen bestudeer is. [34] Dit was die ontdekking van nie-Euklidiese meetkunde deur Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai en Carl Friedrich Gauss en van die formulering van simmetrie as die sentrale oorweging in die Erlangen-program van Felix Klein (wat die Euklidiese en nie-Euklidiese meetkunde veralgemeen) ). Twee van die meestergetometers van destyds was Bernhard Riemann (1826–1866), wat hoofsaaklik met gereedskap uit wiskundige ontleding gewerk het en die Riemann-oppervlak bekendgestel het , en Henri Poincaré , die stigter van algebraïese topologie en die meetkundige teorie van dinamiese stelsels . As gevolg van hierdie groot veranderinge in die opvatting van meetkunde, het die begrip 'ruimte' iets ryk en gevarieerd geword, en die natuurlike agtergrond vir teorieë so verskillend soos komplekse analise en klassieke meganika . [35]

Belangrike begrippe in meetkunde

Die volgende is 'n paar van die belangrikste begrippe in meetkunde. [2] [36] [37]

Axiomas

'N Illustrasie van Euclid se parallelle postulaat

Euclid het 'n abstrakte benadering tot meetkunde gevolg in sy Elements , [38], een van die invloedrykste boeke wat nog ooit geskryf is. [39] Euclid het sekere aksiomas , of postulate , ingelei wat primêre of vanselfsprekende eienskappe van punte, lyne en vlakke uitdruk. [40] Hy het ander eienskappe noukeurig deur wiskundige beredenering afgelei. Die kenmerkende kenmerk van Euclides se benadering tot meetkunde was die strengheid daarvan, en dit het bekend geword as aksiomatiese of sintetiese meetkunde. [41] Aan die begin van die 19de eeu het die ontdekking van nie-Euclidiese meetkunde deur Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauss (1777–1855) en ander [42] gelei. tot 'n herlewing van belangstelling in hierdie dissipline, en in die 20ste eeu het David Hilbert (1862–1943) aksiomatiese redenasies gebruik om 'n moderne basis van meetkunde te bied. [43]

Punte

Punte word as fundamentele voorwerpe in die Euklidiese meetkunde beskou. Hulle is op verskillende maniere gedefinieer, insluitend die definisie van Euclid as 'dit wat geen deel het nie' [44] en deur die gebruik van algebra of geneste versamelings. [45] In baie gebiede van meetkunde, soos analitiese meetkunde, differensiële meetkunde en topologie, word alle voorwerpe beskou as opgebou uit punte. Daar is egter 'n mate van meetkunde bestudeer sonder om na punte te verwys. [46]

Lyne

Euclid beskryf 'n reël as 'breedtelengte' wat 'ewe veel lê ten opsigte van die punte op sigself' '. [44] In die moderne wiskunde, gegewe die veelheid meetkunde, is die konsep van 'n lyn nou gekoppel aan die manier waarop die meetkunde beskryf word. Byvoorbeeld, in analitiese meetkunde word 'n lyn in die vlak dikwels gedefinieer as die versameling punte waarvan die koördinate aan 'n gegewe lineêre vergelyking voldoen , [47] maar in 'n meer abstrakte omgewing, soos inkomensgeometrie , kan 'n lyn 'n onafhanklike voorwerp wees. , anders as die aantal punte wat daarop lê. [48] In differensiële meetkunde is 'n geodesiek 'n veralgemening van die begrip 'n lyn na geboë ruimtes . [49]

Vliegtuie

'N Vlak is 'n plat, tweedimensionele oppervlak wat oneindig ver strek. [44] Vlakke word in elke meetkundige gebied gebruik. Vlakke kan byvoorbeeld bestudeer word as 'n topologiese oppervlak sonder verwysing na afstande of hoeke; [50] dit kan bestudeer word as 'n affine ruimte , waar kollineariteit en verhoudings bestudeer kan word, maar nie afstande nie; [51] dit kan bestudeer word as die komplekse vlak met behulp van tegnieke van komplekse analise ; [52] ensovoorts.

Hoeke

Euclid definieer 'n vlakhoek as die helling van mekaar, in 'n vlak, van twee lyne wat mekaar ontmoet en nie reguit ten opsigte van mekaar lê nie. [44] In moderne terme is 'n hoek die figuur wat gevorm word deur twee strale , wat die sye van die hoek genoem word, wat 'n gemeenskaplike eindpunt deel, genaamd die hoekpunt van die hoek. [53]

Akute (a), stomp (b) en reguit (c) hoeke. Die skerp en stomp hoeke staan ​​ook bekend as skuins hoeke.

In die Euklidiese meetkunde word hoeke gebruik om veelhoeke en driehoeke te bestudeer , sowel as om 'n studieobjek in eie reg te vorm. [44] Die studie van die hoeke van 'n driehoek of hoeke in 'n eenheidsirkel vorm die basis van trigonometrie . [54]

In differensiële meetkunde en calculus kan die hoeke tussen vlakkurwes of ruimtekrommes of oppervlaktes met behulp van die afgeleide bereken word . [55] [56]

Krommes

'N Kromme is 'n 1-dimensionele voorwerp wat reguit kan wees (soos 'n lyn) of nie; kurwes in tweedimensionele ruimte word vlakkurwes genoem en diegene in 3-dimensionele ruimte word ruimtekrommes genoem . [57]

In topologie word 'n kromme gedefinieer deur 'n funksie van 'n interval van die reële getalle na 'n ander ruimte. [50] In differensiële meetkunde word dieselfde definisie gebruik, maar die definiërende funksie moet onderskei word. [58] Algebraïese meetkunde bestudeer algebraïese kurwes , wat gedefinieer word as algebraïese variëteite van dimensie een. [59]

Oppervlaktes

'N Sfeer is 'n oppervlak wat parametries gedefinieer kan word (deur x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) of implisiet (deur x 2 + y 2 + z 2 - r 2 = 0. )

'N Oppervlak is 'n tweedimensionele voorwerp, soos 'n bol of paraboloïed. [60] In differensiële meetkunde [58] en topologie word [50] oppervlaktes beskryf deur tweedimensionele 'kolle' (of buurte ) wat onderskeidelik deur diffeomorfismes of homeomorfismes saamgestel word. In algebraïese meetkunde word oppervlaktes beskryf deur polinoomvergelykings . [59]

Spruitstukke

'N Spruitstuk is 'n veralgemening van die konsepte kromme en oppervlak. In die topologie is 'n manifold 'n topologiese ruimte waar elke punt 'n omgewing het wat homeomorf is aan die Euklidiese ruimte. [50] In differensiële meetkunde is 'n onderskeibare spruitstuk 'n ruimte waar elke woonbuurt diffeomorf is tot die Euklidiese ruimte. [58]

Spruitstukke word op groot skaal in die fisika gebruik, insluitend algemene relatiwiteit en strykleer . [61]

Lengte, oppervlakte en volume

Lengte , oppervlakte en volume beskryf die grootte of omvang van 'n voorwerp in onderskeidelik een dimensie, tweedimensie en drie dimensies. [62]

In Euklidiese meetkunde en analitiese meetkunde kan die lengte van 'n lynsegment dikwels bereken word deur die stelling van Pythagoras . [63]

Oppervlakte en volume kan gedefinieer word as fundamentele hoeveelhede wat los is van lengte, of dit kan beskryf en bereken word in terme van lengtes in 'n vlak of driedimensionele ruimte. [62] Wiskundiges het baie eksplisiete formules vir oppervlakte en formules vir volume van verskillende meetkundige voorwerpe gevind. In calculus kan oppervlakte en volume gedefinieer word in terme van integrale , soos die Riemann-integraal [64] of die Lebesgue-integraal . [65]

Metriks en maatstawwe

Visuele ondersoek van die stelling van Pythagoras vir die (3, 4, 5) driehoek soos in die Zhoubi Suanjing 500-200 vC. Die stelling van Pythagoras is 'n gevolg van die Euklidiese maatstaf .

Die begrip lengte of afstand kan veralgemeen word, wat lei tot die idee van maatstawwe . [66] Byvoorbeeld, die Euclidiese maatstaf meet die afstand tussen punte in die Euklidiese vlak , terwyl die hiperboliese metriek die afstand in die hiperboliese vlak meet . Ander belangrike voorbeelde van statistieke sluit in die Lorentz-maatstaf vir spesiale relatiwiteit en die semi- Riemanniese statistieke van algemene relatiwiteit . [67]

In 'n ander rigting, is die konsepte van lengte, oppervlakte en volume uitgebrei deur maatteorie , watter metodes van die toeken van 'n grootte of bestudeer maatstaf om stelle , waar die maatreëls volg reëls soortgelyk aan dié van klassieke area en volume. [68]

Gemeente en ooreenkoms

Kongruensie en ooreenkoms is begrippe wat beskryf as twee vorms dieselfde eienskappe het. [69] In die Euklidiese meetkunde word ooreenkoms gebruik om voorwerpe met dieselfde vorm te beskryf, terwyl kongruensie gebruik word om voorwerpe wat in grootte en vorm dieselfde is, te beskryf. [70] Hilbert het in sy werk om 'n strenger grondslag vir meetkunde te skep, kongruensie behandel as 'n ongedefinieerde term waarvan die eienskappe deur aksiomas gedefinieer word .

Kongruensie en ooreenkoms word veralgemeen in transformasie-meetkunde , wat die eienskappe van meetkundige voorwerpe bestudeer wat deur verskillende soorte transformasies bewaar word. [71]

Kompas en reguit konstruksies

Klassieke geometers het veral aandag gegee aan die konstruksie van meetkundige voorwerpe wat op 'n ander manier beskryf is. Klassiek is die kompas en reguit die enigste instrumente wat in geometriese konstruksies toegelaat word . Elke konstruksie moes ook in 'n beperkte aantal stappe voltooi wees. Sommige probleme was egter moeilik of onmoontlik om op hierdie manier alleen op te los, en vindingryke konstruksies met parabolas en ander krommes, sowel as meganiese toestelle, is gevind.

Dimensie

Die Koch-sneeuvlokkie , met fraktale dimensie = log4 / log3 en topologiese dimensie = 1

Waar die tradisionele meetkunde afmetings 1 ('n lyn ), 2 ('n vlak ) en 3 (ons omgewingswêreld as ' n driedimensionele ruimte ) toegelaat het, gebruik wiskundiges en fisici byna twee eeue hoër dimensies . [72] Een voorbeeld van 'n wiskundige gebruik vir hoër dimensies is die konfigurasieruimte van 'n fisiese stelsel, wat 'n dimensie het wat gelyk is aan die vryheidsgrade van die stelsel . Die konfigurasie van 'n skroef kan byvoorbeeld deur vyf koördinate beskryf word. [73]

In die algemene topologie is die begrip dimensie uitgebrei van natuurlike getalle tot oneindige dimensies (byvoorbeeld Hilbert-ruimtes ) en positiewe reële getalle (in fraktale meetkunde ). [74] In algebraïese meetkunde het die dimensie van 'n algebraïese variëteit 'n aantal klaarblyklik verskillende definisies gekry, wat in die algemeenste gevalle gelykstaande is. [75]

Simmetrie

'N Teëlwerk van die hiperboliese vlak

Die tema van simmetrie in meetkunde is amper so oud soos die wetenskap van meetkunde self. [76] Simmetriese vorms soos die sirkel , reëlmatige veelhoeke en platoniese vaste stowwe het vir baie antieke filosowe diep betekenis gehad [77] en is voor die tyd van Euclides breedvoerig ondersoek. [40] Simmetriese patrone kom in die natuur voor en word artistiek weergegee in 'n menigte vorms, insluitend die grafika van Leonardo da Vinci , MC Escher en ander. [78] In die tweede helfte van die 19de eeu is die verband tussen simmetrie en meetkunde onder die loep geneem. Felix Klein se Erlangen program verklaar dat, in 'n baie presiese sin, simmetrie, uitgedruk deur middel van die idee van 'n transformasie groep , bepaal wat meetkunde is . [79] Simmetrie in klassieke Euclidiese meetkunde word voorgestel deur kongruensies en rigiede bewegings, terwyl samewerkings , meetkundige transformasies wat reguit lyne in reguit lyne neem , in projektiewe meetkunde ' n analoog rol speel . [80] Dit was egter in die nuwe meetkunde van Bolyai en Lobachevsky, Riemann, Clifford en Klein en Sophus Lie dat Klein se idee om ''n geometrie te definieer via sy simmetriegroep ' 'sy inspirasie gevind het. [81] Beide diskrete en deurlopende simmetrieë speel prominente rolle in meetkunde, eersgenoemde in topologie en meetkundige groepsleer , [82] [83] laasgenoemde in Lie-teorie en Riemanniaanse meetkunde . [84] [85]

'N Ander soort simmetrie is die beginsel van dualiteit in ander projekte meetkunde . Hierdie meta-verskynsel kan rofweg as volg beskryf word: in enige stelling , ruil punt met vliegtuig , aan te sluit met mekaar ontmoet , leuens in met bevat , en die resultaat is 'n ewe waar stelling. [86] ' n Soortgelyke en nou verwante vorm van dualiteit bestaan ​​tussen 'n vektorruimte en sy dubbele ruimte . [87]

Hedendaagse meetkunde

Euklidiese meetkunde

Euklidiese meetkunde is meetkunde in sy klassieke sin. [88] Aangesien dit die ruimte van die fisiese wêreld modelleer, word dit gebruik in baie wetenskaplike gebiede, soos meganika , sterrekunde , kristallografie , [89] en baie tegniese velde, soos ingenieurswese , [90] argitektuur , [91] geodesie. , [92] aërodinamika , [93] en navigasie . [94] Die verpligte opvoedkundige leerplan van die meerderheid nasies sluit die bestudering van Euklidiese begrippe in soos punte , lyne , vlakke , hoeke , driehoeke , kongruensie , ooreenkoms , soliede figure , sirkels en analitiese meetkunde . [36]

Differensiële meetkunde

Differensiële meetkunde gebruik instrumente van calculus om probleme met kromming te bestudeer.

Differensiële meetkunde gebruik tegnieke van calculus en lineêre algebra om probleme in meetkunde te bestudeer. [95] Dit het toepassings in onder andere fisika , [96] ekonometrie , [97] en bioinformatika , [98] .

In die besonder, differensiaalmeetkunde is van belang vir wiskundige fisika te danke aan Albert Einstein se algemene relatiwiteitsteorie veronderstelling dat die heelal is geboë . [99] Differensiële meetkunde kan óf intrinsiek wees (wat beteken dat die ruimtes wat dit beskou, gladde spruitstukke is waarvan die geometriese struktuur deur 'n Riemanniese maatstaf bepaal word , wat bepaal hoe afstande naby elke punt gemeet word) of ekstrinsiek (waar die voorwerp wat bestudeer word 'n deel is van 'n omringende plat Euklidiese ruimte). [100]

Nie-Euklidiese meetkunde

Euklidiese meetkunde was nie die enigste historiese vorm van meetkunde wat bestudeer is nie. Sferiese meetkunde word al lank deur sterrekundiges, sterrekykers en navigators gebruik. [101]

Immanuel Kant het aangevoer dat daar slegs een, absolute , meetkunde is, wat bekend is dat dit a priori waar is deur 'n innerlike vermoë: Euclidiese meetkunde was sinteties a priori . [102] Hierdie siening is aanvanklik ietwat uitgedaag deur denkers soos Saccheri , en is uiteindelik omvergewerp deur die revolusionêre ontdekking van nie-Euklidiese meetkunde in die werke van Bolyai, Lobachevsky en Gauss (wat nooit sy teorie gepubliseer het nie). [103] Hulle het getoon dat gewone Euklidiese ruimte slegs een moontlikheid is vir die ontwikkeling van meetkunde. 'N Breë visie oor die onderwerp meetkunde het Riemann toe in sy inhuldigingslesing Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen , oor die hipoteses waarop geometrie gebaseer is , [104] eers na sy dood gepubliseer. Riemann se nuwe idee van die ruimte was van deurslaggewende belang in Albert Einstein se algemene relatiwiteitsteorie . Riemanniaanse meetkunde , wat baie algemene ruimtes beskou waarin die begrip lengte bepaal word, is 'n steunpilaar van moderne meetkunde. [81]

Topologie

'N Verdikking van die voetknoop

Topologie is die veld wat handel oor die eienskappe van deurlopende kartering , [105] en kan beskou word as 'n veralgemening van die Euklidiese meetkunde. [106] In die praktyk beteken topologie dikwels die hantering van grootskaalse eienskappe van ruimtes, soos verbondenheid en kompaktheid . [50]

Die gebied van topologie, wat in die 20ste eeu massiewe ontwikkeling ondergaan het , is in 'n tegniese sin 'n tipe transformasie-meetkunde , waarin transformasies homeomorfismes is . [107] Dit kom dikwels tot uitdrukking in die spreekwoord 'topologie is rubbervelmetrie'. Subvelde van topologie sluit geometriese topologie , differensiële topologie , algebraïese topologie en algemene topologie in . [108]

Algebraïese meetkunde

Quintic Calabi – Yau drievoudig

Die veld van algebraïese meetkunde het ontwikkel uit die Cartesiese meetkunde van koördinate . [109] Dit het periodieke groeiperiodes ondergaan, vergesel deur die skepping en bestudering van onder andere projektiewe meetkunde , birasionele meetkunde , algebraïese variëteite en kommutatiewe algebra . [110] Vanaf die laat 1950's tot die middel-1970's het dit 'n groot fundamentele ontwikkeling ondergaan, hoofsaaklik as gevolg van die werk van Jean-Pierre Serre en Alexander Grothendieck . [110] Dit het gelei tot die bekendstelling van skemas en groter klem op topologiese metodes, waaronder verskillende kohomologieteorieë . Een van die sewe Millennium-prysprobleme , die Hodge-vermoede , is 'n vraag in algebraïese meetkunde. [111] Wiles se bewys van Fermat se laaste stelling maak gebruik van gevorderde metodes van algebraïese meetkunde om 'n jarelange probleem van getalleteorie op te los .

Oor die algemeen bestudeer algebraïese meetkunde meetkunde deur die gebruik van konsepte in kommutatiewe algebra , soos meerveranderlike polinome . [112] Dit het toepassings op baie gebiede, insluitend kriptografie [113] en snaarteorie . [114]

Komplekse meetkunde

Komplekse meetkunde bestudeer die aard van meetkundige strukture geskoei op of voortspruitend uit die komplekse vlak . [115] [116] [117] Komplekse meetkunde lê op die kruising van differensiële meetkunde, algebraïese meetkunde en analise van verskeie komplekse veranderlikes , en het toepassings gevind op snaarteorie en spieelsimmetrie . [118]

Komplekse meetkunde verskyn die eerste keer as 'n duidelike studiegebied in die werk van Bernhard Riemann in sy studie van Riemann-oppervlaktes . [119] [120] [121] Werk in die gees van Riemann is in die vroeë 1900's deur die Italiaanse skool vir algebraïese meetkunde uitgevoer . Hedendaagse behandeling van komplekse meetkunde het begin met die werk van Jean-Pierre Serre , wat die konsep van gerwe aan die onderwerp bekendgestel het en die verhoudings tussen komplekse meetkunde en algebraïese meetkunde belig het. [122] [123] Die primêre objekte van studie in komplekse meetkunde is komplekse menigvuldige , komplekse algebraïese variëteite , en komplekse analitiese variëteite , en holomorfiese vektore bundels en samehangende gerwe oor hierdie ruimtes. Spesiale voorbeelde van ruimtes wat in komplekse meetkunde bestudeer is, sluit Riemann-oppervlaktes en Calabi-Yau-spruitstukke in. In die besonder word wêreldvelle van snare gemodelleer deur Riemann-oppervlaktes, en die superstring-teorie voorspel dat die ekstra 6 dimensies van tien-dimensionele ruimtetyd gemodelleer kan word deur Calabi-Yau-spruitstukke.

Diskrete meetkunde

Diskrete meetkunde sluit die bestudering van verskillende sfeerverpakkings in .

Diskrete meetkunde is 'n onderwerp wat nou verband hou met konvekse meetkunde . [124] [125] [126] Dit gaan hoofsaaklik oor vrae oor die relatiewe posisie van eenvoudige meetkundige voorwerpe, soos punte, lyne en sirkels. Voorbeelde sluit in die studie van gebied verpakkings , triangulations , die Kneser-Poulsen veronderstelling, ens [127] [128] Dit deel baie van die metodes en beginsels met kombinatorika .

Rekenkundige meetkunde

Rekenkundige meetkunde handel oor algoritmes en die implementerings daarvan vir die manipulering van meetkundige voorwerpe. Belangrike probleme het die reisverkopersprobleem , die minimum bome , verwydering van verborge lyne en lineêre programmering ingesluit . [129]

Alhoewel dit 'n jong gebied van meetkunde is, het dit baie toepassings in rekenaarvisie , beeldverwerking , rekenaargesteunde ontwerp , mediese beelding , ens. [130]

Geometriese groepsteorie

Die Cayley-grafiek van die gratis groep op twee kragopwekkers a en b

Die meetkundige groepteorie gebruik grootskaalse meetkundige tegnieke om fyn gegenereerde groepe te bestudeer . [131] Dit hou ten nouste verband met lae-dimensionele topologie , soos in Grigori Perelman se bewys van die vermoede van meetkunde , wat die bewys van die vermoede van Poincaré , 'n Millenniumprysprobleem, ingesluit het . [132]

Die meetkundige groepsteorie draai dikwels om die Cayley-grafiek , wat 'n meetkundige voorstelling van 'n groep is. Ander belangrike onderwerpe sluit in kwasi-isometrie , Gromov-hiperboliese groepe en reghoekige Artin-groepe . [131] [133]

Konvekse meetkunde

Konvekse meetkunde ondersoek konvekse vorms in die Euklidiese ruimte en die meer abstrakte analoë daarvan, en gebruik dikwels tegnieke van werklike analise en diskrete wiskunde . [134] Dit het noue verbindings met konvekse analise , optimalisering en funksionele analise en belangrike toepassings in die getalleteorie .

Konvekse meetkunde dateer uit die oudheid. [134] Archimedes het die eerste bekende presiese definisie van konveksiteit gegee. Die isoperimetriese probleem , 'n herhalende konsep in konvekse meetkunde, is ook deur die Grieke bestudeer, waaronder Zenodorus . Archimedes, Plato , Euclid en later Kepler en Coxeter het almal konvekse polytope en hul eienskappe bestudeer. Wiskundiges het vanaf die 19de eeu ander gebiede van konvekse wiskunde bestudeer, waaronder hoër-dimensionele polytope, volume en oppervlak van konvekse liggame, Gaussiese kromming , algoritmes , teëls en tralies .

Aansoeke

Meetkunde het toepassings in baie velde gevind, waarvan sommige hieronder beskryf word.

Kuns

Bou Inania Madrasa, Fes, Marokko, zellige-mosaïekteëls wat uitgebreide geometriese bewerkings vorm

Wiskunde en kuns hou verband op verskillende maniere. Die teorie van perspektief het byvoorbeeld getoon dat meetkunde meer is as net die metriekeienskappe van figure: perspektief is die oorsprong van projektiewe meetkunde . [135]

Kunstenaars gebruik al lank konsepte van proporsie in die ontwerp. Vitruvius het 'n ingewikkelde teorie ontwikkel met die ideale verhouding vir die menslike figuur. [136] Hierdie konsepte is gebruik en aangepas deur kunstenaars van Michelangelo tot moderne strokiesprente. [137]

Die goue verhouding is 'n bepaalde verhouding wat 'n kontroversiële rol in die kuns gehad het. Daar word dikwels beweer dat dit die mees esteties aangename verhouding tussen lengtes is, en dit word gereeld opgeneem in bekende kunswerke, alhoewel die mees betroubare en ondubbelsinnige voorbeelde doelbewus deur kunstenaars gemaak is wat bewus was van hierdie legende. [138]

Teëls , of tessellasies, is deur die geskiedenis heen in kuns gebruik. Islamitiese kuns maak gereeld gebruik van bewerkings, net soos die kuns van MC Escher . [139] Escher se werk het ook gebruik gemaak van hiperboliese meetkunde .

Cézanne voer die teorie uit dat alle beelde vanuit die sfeer , die keël en die silinder opgebou kan word . Dit word vandag nog in die kunsteorie gebruik, hoewel die presiese lys van vorms van outeur tot outeur wissel. [140] [141]

Argitektuur

Meetkunde het baie toepassings in argitektuur. Daar is trouens gesê dat meetkunde die kern van argitektoniese ontwerp is. [142] [143] Toepassings van meetkunde op argitektuur sluit in die gebruik van projektiewe meetkunde om gedwonge perspektief te skep , [144] die gebruik van kegelsnitte in die konstruksie van koepels en soortgelyke voorwerpe, [91] die gebruik van tessellasies , [91] en die gebruik van simmetrie. [91]

Fisika

Die veld van sterrekunde , veral wat die posisie van sterre en planete op die hemelsfeer in kaart bring en die verband tussen bewegings van hemelliggame beskryf, het deur die geskiedenis as 'n belangrike bron van meetkundige probleme gedien. [145]

Riemanniaanse meetkunde en pseudo-Riemanniese meetkunde word in die algemene relatiwiteit gebruik . [146] String-teorie maak gebruik van verskeie variante van meetkunde, [147] net soos die kwantuminligtingsteorie . [148]

Ander velde van wiskunde

Die Pythagoreërs het ontdek dat die sye van 'n driehoek onmeetbare lengtes kan hê .

Calculus is sterk beïnvloed deur meetkunde. [30] Die bekendstelling van koördinate deur René Descartes en die gelyktydige ontwikkeling van algebra het byvoorbeeld 'n nuwe stadium vir meetkunde aangedui, aangesien meetkundige figure soos vlakkurwes nou analities in die vorm van funksies en vergelykings voorgestel kon word. Dit het 'n sleutelrol gespeel in die ontstaan ​​van infinitesimale calculus in die 17de eeu. Analitiese meetkunde is steeds die steunpilaar van die voor-en-kurrikulum. [149] [150]

'N Ander belangrike toepassingsgebied is getalleteorie . [151] In antieke Griekeland het die Pythagoreërs die rol van getalle in meetkunde oorweeg. Die ontdekking van onmeetbare lengtes weerspreek egter hul filosofiese sienings. [152] Sedert die 19de eeu word meetkunde gebruik om probleme in die getalleteorie op te los, byvoorbeeld deur die meetkunde van getalle of, meer onlangs, die skema-teorie , wat gebruik word in Wiles se bewys van Fermat se laaste stelling . [153]

Sien ook

Lyste

  • Lys met geometers
    • Kategorie: Algebraïese geometers
    • Kategorie: Differensiële geometers
    • Kategorie: Geometers
    • Kategorie: Topoloë
  • Lys van formules in elementêre meetkunde
  • Lys met meetkundige onderwerpe
  • Lys van belangrike publikasies in meetkunde
  • Lyste van wiskunde-onderwerpe

Verwante onderwerpe

  • Beskrywende meetkunde
  • Eindige meetkunde
  • Flatland , 'n boek geskryf deur Edwin Abbott Abbott oor twee- en driedimensionele ruimte , om die konsep van vier dimensies te verstaan
  • Lys van interaktiewe meetkundige sagteware

Ander velde

  • Molekulêre meetkunde

Aantekeninge

  1. ^ Tot in die 19de eeu is meetkunde oorheers deur die aanname dat alle meetkundige konstruksies Euclidies was. In die 19de eeu en later word dit uitgedaag deur die ontwikkeling van hiperboliese meetkunde deur Lobachevsky en ander nie-Euklidiese meetkunde deur Gauss en andere. Daar is toe besef dat daar dwarsdeur die geskiedenis implisiet nie-Euclidiese meetkunde verskyn het, insluitende die werk van Desargues in die 17de eeu, al die pad terug na die implisiete gebruik van sferiese meetkunde om die aardgeodesie van die aarde te verstaanen om deur die oseane sedert die oudheid te navigeer.
  1. ^ Vincenzo De Risi (31 Januarie 2015). Wiskundige ruimte: die voorwerpe van meetkunde vanaf die oudheid tot die vroeë moderne era . Birkhäuser. pp. 1–. ISBN 978-3-319-12102-4.
  2. ^ a b Tabak, John (2014). Meetkunde: die taal van ruimte en vorm . Infobase-uitgewery. bl. xiv. ISBN 978-0-8160-4953-0.
  3. ^ Walter A. Meyer (21 Februarie 2006). Meetkunde en die toepassings daarvan . Elsevier. ISBN 978-0-08-047803-6.
  4. ^ J. Friberg, "Metodes en tradisies van die Babiloniese wiskunde. Plimpton 322, Pythagorese triples, en die Babiloniese driehoekparametervergelykings", Historia Mathematica , 8, 1981, pp. 277–318.
  5. ^ Neugebauer, Otto (1969) [1957]. "Hoofstuk IV Egiptiese wiskunde en sterrekunde". The Exact Sciences in Antiquity (2 uitg.). Dover-publikasies . bl. 71–96. ISBN 978-0-486-22332-2..
  6. ^ ( Boyer 1991 , "Egipte" p. 19)
  7. ^ Ossendrijver, Mathieu (29 Januarie 2016). "Antieke Babiloniese sterrekundiges bereken Jupiter se posisie uit die gebied onder 'n tydsnelheidsgrafiek". Wetenskap . 351 (6272): 482–484. Bibcode : 2016Sci ... 351..482O . doi : 10.1126 / science.aad8085 . PMID  26823423 . S2CID  206644971 .
  8. ^ Depuydt, Leo (1 Januarie 1998). "Gnomons by Meroë en vroeë trigonometrie". Die Tydskrif vir Egiptiese Argeologie . 84 : 171–180. doi : 10.2307 / 3822211 . JSTOR  3822211 .
  9. ^ Slayman, Andrew (27 Mei 1998). "Neolitiese Skywatchers" . Argeologie Tydskrifargief . Op 5 Junie 2011 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 17 April 2011 .
  10. ^ ( Boyer 1991 , "Ionia and the Pythagoreans" p. 43)
  11. ^ Eves, Howard, 'n inleiding tot die geskiedenis van wiskunde, Saunders, 1990, ISBN  0-03-029558-0 .
  12. ^ Kurt Von Fritz (1945). "Die ontdekking van ongemaklikheid deur Hippasus van Metapontum". Die Annale van Wiskunde .
  13. ^ James R. Choike (1980). "Die Pentagram en die ontdekking van 'n irrasionele getal". Die tweejarige kollege-wiskundetydskrif .
  14. ^ ( Boyer 1991 , "The Age of Plato and Aristoteles" p. 92)
  15. ^ ( Boyer 1991 , "Euclid van Alexandrië" p. 119)
  16. ^ ( Boyer 1991 , "Euclid van Alexandrië" p. 104)
  17. ^ Howard Eves, ' n inleiding tot die geskiedenis van wiskunde , Saunders, 1990, ISBN  0-03-029558-0 bl. 141: "Geen werk, behalwe die Bybel , word meer gebruik nie ..."
  18. ^ O'Connor, JJ; Robertson, EF (Februarie 1996). "'N Geskiedenis van calculus" . Universiteit van St Andrews . Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 15 Julie 2007 . Besoek op 7 Augustus 2007 .
  19. ^ Staal, Frits (1999). "Griekse en Vediese meetkunde". Tydskrif vir Indiese filosofie . 27 (1–2): 105–127. doi : 10.1023 / A: 1004364417713 . S2CID  170894641 .
  20. ^ Pythagorese trippels is trippels van heelgetalle ( a , b , c ) {\ displaystyle (a, b, c)} (a,b,c) met die eiendom: a 2 + b 2 = c 2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} a^{2}+b^{2}=c^{2}. Dus, 3 2 + 4 2 = 5 2 {\ displaystyle 3 ^ {2} + 4 ^ {2} = 5 ^ {2}} 3^{2}+4^{2}=5^{2}, 8 2 + 15 2 = 17 2 {\ displaystyle 8 ^ {2} + 15 ^ {2} = 17 ^ {2}} 8^{2}+15^{2}=17^{2}, 12 2 + 35 2 = 37 2 {\ displaystyle 12 ^ {2} + 35 ^ {2} = 37 ^ {2}} 12^{2}+35^{2}=37^{2} ens.
  21. ^ ( Cooke 2005 , p. 198): "Die rekenkundige inhoud van die Śulva Sūtras bestaan ​​uit reëls vir die vind van Pythagorese drieë soos (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) , en (12, 35, 37). Dit is nie seker watter praktiese gebruik hierdie rekenkundige reëls gehad het nie. Die beste vermoede is dat dit deel van godsdienstige rituele was. Daar moes van 'n Hindoe-huis drie vure op drie verskillende altare gebrand word. drie altare moes van verskillende vorme wees, maar al drie moes dieselfde oppervlakte gehad het. Hierdie toestande het gelei tot sekere "Diofantynse" probleme, waarvan veral die generering van Pythagorese trippels ontstaan, sodat een vierkantige heelgetal gelyk is aan die som van twee ander. '
  22. ^ ( Hayashi 2005 , p. 371)
  23. ^ a b ( Hayashi 2003 , pp. 121–122)
  24. ^ R. Rashed (1994), Die ontwikkeling van Arabiese wiskunde: tussen rekenkunde en algebra , p. 35 Londen
  25. ^ ( Boyer 1991 , "The Arabic Hegemony", bl. 241–242) "Omar Khayyam (ongeveer 1050–1123), die" tentmaker ", het 'n Algebra geskryfwat verder gestrek het as die van al-Khwarizmi om vergelykings van derde in te sluit. Soos sy Arabiese voorgangers, het Omar Khayyam voorsiening gemaak vir kwadratiese vergelykings, sowel rekenkundige as meetkundige oplossings; vir algemene kubieke vergelykings, het hy geglo (verkeerdelik, soos die 16de eeu later getoon het), was rekenkundige oplossings onmoontlik; daarom het hy slegs meetkundige oplossings gegee Menaechmus, Archimedes en Alhazan het 'n skema gebruik om kruisvormige kegels te gebruik om kubieke op te los, maar Omar Khayyam het die lofwaardige stap geneem om die metode te veralgemeen om alle derdegraadse vergelykings (met positiewe wortels) te dek. graad as drie, het Omar Khayyam blykbaar nie soortgelyke meetkundige metodes in die vooruitsig gestel nie, want ruimte bevat nie meer as drie dimensies nie, ... Een van die vrugbaarste bydraes van die Arabiese eklektisisme was die neiging om die gaping tussen numeriese en meetkundige algebra. Die beslissende stap in hierdie rigting kom baie later met Descartes, maar Omar Khayyam beweeg in hierdie rigting toe hy skryf: 'Wie dink algebra is 'n truuk om onbekendes te bekom, het dit tevergeefs gedink. Daar moet geen aandag aan gegee word dat algebra en meetkunde is verskillend in voorkoms. Algebras is meetkundige feite wat bewys word. ""
  26. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. "Al-Mahani" . MacTutor Geskiedenis van Wiskunde argief . Universiteit van St Andrews ..
  27. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. "Al-Sabi Thabit ibn Qurra al-Harrani" . MacTutor Geskiedenis van Wiskunde argief . Universiteit van St Andrews ..
  28. ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. "Omar Khayyam" . MacTutor Geskiedenis van Wiskunde argief . Universiteit van St Andrews ..
  29. ^ Boris A. Rosenfeld en Adolf P. Youschkevitch (1996), "Meetkunde", in Roshdi Rashed, red., Encyclopedia of the History of Arabic Science , Vol. 2, pp. 447–494 [470], Routledge , Londen en New York:

    "Drie wetenskaplikes, Ibn al-Haytham, Khayyam en al-Tusi, het die grootste bydrae gelewer tot hierdie tak van meetkunde waarvan die belangrikheid eers in die 19de eeu heeltemal erken word. In wese is hul stellings rakende die eienskappe van vierhoeke wat hulle oorweeg het, met die veronderstelling dat sommige van die hoeke van hierdie figure skerp en stomp was, het die eerste paar stellings van die hiperboliese en die elliptiese meetkunde beliggaam. Hul ander voorstelle het getoon dat verskillende meetkundige stellings gelykstaande was aan die Euclidiese postulaat V. Dit is uiters Dit is belangrik dat hierdie geleerdes die onderlinge verband tussen hierdie postulaat en die som van die hoeke van 'n driehoek en 'n vierhoek vasstel. Deur hul werke oor die teorie van parallelle lyne het Arabiese wiskundiges die relevante ondersoeke van hul Europese eweknieë direk beïnvloed. Die eerste Europese poging om bewys die postulaat op parallelle lyne - gemaak deur Witelo, die Poolse wetenskaplikes van die 13de eeu, terwyl Die hersiening van Ibn al-Haytham's Book of Optics ( Kitab al-Manazir ) - is ongetwyfeld deur Arabiese bronne aangevoer . Die bewyse wat in die 14de eeu aangevoer is deur die Joodse geleerde Levi ben Gerson, wat in Suid-Frankryk gewoon het, en deur bogenoemde Alfonso uit Spanje, grens direk aan die demonstrasie van Ibn al-Haytham. Hierbo het ons getoon dat Pseudo-Tusi se uiteensetting van Euclid sowel J. Wallis as G. Saccheri se studies oor die teorie van parallelle lyne gestimuleer het. '
  30. ^ a b Carl B. Boyer (2012). Geskiedenis van analitiese meetkunde . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15451-0.
  31. ^ CH Edwards Jr. (2012). Die historiese ontwikkeling van die calculus . Springer Science & Business Media. bl. 95. ISBN 978-1-4612-6230-5.
  32. ^ Judith V. Field ; Jeremy Gray (2012). Die meetkundige werk van Girard Desargues . Springer Science & Business Media. bl. 43. ISBN 978-1-4613-8692-6.
  33. ^ CR Wylie (2011). Inleiding tot Projektiewe Meetkunde . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-14170-1.
  34. ^ Jeremy Gray (2011). Wêrelde uit niks: 'n kursus in die geskiedenis van meetkunde in die 19de eeu . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-85729-060-1.
  35. ^ Eduardo Bayro-Corrochano (2018). Geometriese algebra-toepassings Vol. I: Rekenaarvisie, grafika en neuro-rekenaar . Springer. bl. 4. ISBN 978-3-319-74830-6.
  36. ^ a b Schmidt, W., Houang, R., & Cogan, L. (2002). "'N Samehangende leerplan". Amerikaanse opvoeder , 26 (2), 1–18.
  37. ^ Morris Kline (Maart 1990). Wiskundige denke van antieke tot moderne tye: Deel 3 . Oxford University Press, VSA. bl. 1010–. ISBN 978-0-19-506137-6.
  38. ^ Victor J. Katz (21 September 2000). Wiskunde onderrig in geskiedenis: 'n internasionale perspektief . Cambridge University Press. bl. 45–. ISBN 978-0-88385-163-0.
  39. ^ David Berlinski (8 April 2014). Die koning van die oneindige ruimte: Euclid en sy elemente . Basiese boeke. ISBN 978-0-465-03863-3.
  40. ^ a b Robin Hartshorne (11 November 2013). Meetkunde: Euclid en verder . Springer Science & Business Media. bl. 29–. ISBN 978-0-387-22676-7.
  41. ^ Pat Herbst; Taro Fujita; Stefan Halverscheid; Michael Weiss (16 Maart 2017). Die leer en onderrig van meetkunde in sekondêre skole: 'n modelleringsperspektief . Taylor & Francis. bl. 20–. ISBN 978-1-351-97353-3.
  42. ^ IM Yaglom (6 Desember 2012). 'N Eenvoudige nie-euclidiese meetkunde en die fisiese basis daarvan: 'n elementêre weergawe van die Galilese meetkunde en die Galilese relatiwiteitsbeginsel . Springer Science & Business Media. bl. 6–. ISBN 978-1-4612-6135-3.
  43. ^ Audun Holme (23 September 2010). Meetkunde: ons kulturele erfenis . Springer Science & Business Media. bl. 254–. ISBN 978-3-642-14441-7.
  44. ^ a b c d e Euclid's Elements - Al dertien boeke in een bundel , gebaseer op Heath se vertaling, Green Lion Press ISBN  1-888009-18-7 .
  45. ^ Clark, Bowman L. (Januarie 1985). "Individue en punte" . Notre Dame Journal of Formal Logic . 26 (1): 61–75. doi : 10.1305 / ndjfl / 1093870761 .
  46. ^ Gerla, G. (1995). "Sinnelose meetkunde" (PDF) . In Buekenhout, F .; Kantor, W. (reds.). Handboek van invalsgeometrie: geboue en fondamente . Noord-Holland. bl. 1015–1031. Gearchiveer vanaf die oorspronklike (PDF) op 17 Julie 2011.
  47. ^ John Casey (1885). Analitiese meetkunde van die punt-, lyn-, sirkel- en kegelsnitte .
  48. ^ Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations , Elsevier BV
  49. ^ "geodesic - definisie van geodesic in Engels uit die Oxford woordeboek" . OxfordDictionaries.com . Op 15 Julie 2016 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 20 Januarie 2016 .
  50. ^ a b c d e Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Bo-saalrivier: Prentice Hall, 2000.
  51. ^ Szmielew, Wanda. 'Van affine tot Euclidiese meetkunde: 'n aksiomatiese benadering.' Springer, 1983.
  52. ^ Ahlfors, Lars V. Komplekse analise: 'n inleiding tot die teorie van analitiese funksies van een komplekse veranderlike. New York, Londen (1953).
  53. ^ Sidorov, LA (2001) [1994]. "Hoek" . Ensiklopedie vir Wiskunde . EMS Press .
  54. ^ Gelʹfand, Izrailʹ Moiseevič en Mark Saul. "Trigonometrie." 'Trigonometrie'. Birkhäuser Boston, 2001. 1–20.
  55. ^ Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals , 7de uitg., Brooks Cole Cengage Learning. ISBN  978-0-538-49790-9
  56. ^ Jost, Jürgen (2002). Riemanniaanse meetkunde en meetkundige analise . Berlyn: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42627-1..
  57. ^ Baker, Henry Frederick. Beginsels van meetkunde. Vol. 2. CUP-argief, 1954.
  58. ^ a b c Do Carmo, Manfredo Perdigao, en Manfredo Perdigao Do Carmo. Differensiële meetkunde van krommes en oppervlaktes. Vol. 2. Englewood Cliffs: Prentice-hall, 1976.
  59. ^ a b Mumford, David (1999). Die Red Book of Varieties and Schemes bevat die Michigan-lesings oor kurwes en hul Jacobians (2de uitg.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl  0945.14001 .
  60. ^ Briggs, William L. en Lyle Cochran Calculus. "Vroeë transendentale." ISBN  978-0-321-57056-7 .
  61. ^ Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve (2010). Die vorm van die innerlike ruimte: snaarteorie en die meetkunde van die heelal se verborge dimensies. Basiese boeke. ISBN  978-0-465-02023-2 .
  62. ^ a b Steven A. Treese (17 Mei 2018). Geskiedenis en meting van die basis en afgeleide eenhede . Springer International Publishing. bl. 101–. ISBN 978-3-319-77577-7.
  63. ^ James W. Cannon (16 November 2017). Meetkunde van lengtes, gebiede en volumes . Amerikaanse Wiskundige Soc. bl. 11. ISBN 978-1-4704-3714-5.
  64. ^ Gilbert Strang (1 Januarie 1991). Calculus . SIAM. ISBN 978-0-9614088-2-4.
  65. ^ HS Bear (2002). 'N Primer van Lebesgue-integrasie . Akademiese pers. ISBN 978-0-12-083971-1.
  66. ^ Dmitri Burago, Yu D Burago , Sergei Ivanov, ' n kursus in metrieke meetkunde , American Mathematical Society, 2001, ISBN  0-8218-2129-6 .
  67. ^ Wald, Robert M. (1984). Algemene Relatiwiteit . Universiteit van Chicago Press. ISBN 978-0-226-87033-5.
  68. ^ Terence Tao (14 September 2011). 'N Inleiding tot meetteorie . Amerikaanse Wiskundige Soc. ISBN 978-0-8218-6919-2.
  69. ^ Shlomo Libeskind (12 Februarie 2008). Euclidiese en transformasionele meetkunde: 'n deduktiewe ondersoek . Jones & Bartlett Leer. bl. 255. ISBN 978-0-7637-4366-6.
  70. ^ Mark A. Freitag (1 Januarie 2013). Wiskunde vir laerskoolonderwysers: 'n prosesbenadering . Cengage-leer. bl. 614. ISBN 978-0-618-61008-2.
  71. ^ George E. Martin (6 Desember 2012). Transformasie meetkunde: 'n inleiding tot simmetrie . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-5680-9.
  72. ^ Mark Blacklock (2018). Die opkoms van die vierde dimensie: hoër ruimtelike denke in die Fin de Siècle . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-875548-7.
  73. ^ Charles Jasper Joly (1895). Vraestelle . Die Akademie. pp. 62–.
  74. ^ Roger Temam (11 Desember 2013). Oneindige-dimensionele dinamiese stelsels in meganika en fisika . Springer Science & Business Media. bl. 367. ISBN 978-1-4612-0645-3.
  75. ^ Bill Jacob; Tsit-Yuen Lam (1994). Onlangse vooruitgang in regte algebraïese meetkunde en kwadratiese vorms: Verrigtinge van die RAGSQUAD-jaar, Berkeley, 1990-1991 . Amerikaanse Wiskundige Soc. bl. 111. ISBN 978-0-8218-5154-8.
  76. ^ Ian Stewart (29 April 2008). Waarom skoonheid die waarheid is: 'n geskiedenis van simmetrie . Basiese boeke. bl. 14. ISBN 978-0-465-08237-7.
  77. ^ Stakhov Alexey (11 September 2009). Wiskunde van harmonie: van Euclid tot kontemporêre wiskunde en rekenaarwetenskap . Wêreldwetenskaplik. bl. 144. ISBN 978-981-4472-57-9.
  78. ^ Werner Hahn (1998). Simmetrie as ontwikkelingsbeginsel in die natuur en kuns . Wêreldwetenskaplik. ISBN 978-981-02-2363-2.
  79. ^ Brian J. Cantwell (23 September 2002). Inleiding tot simmetrie-analise . Cambridge University Press. bl. 34. ISBN 978-1-139-43171-2.
  80. ^ B. Rosenfeld; Bill Wiebe (9 Maart 2013). Meetkunde van leuengroepe . Springer Science & Business Media. bl. 158vv. ISBN 978-1-4757-5325-7.
  81. ^ a b Peter Pesic (1 Januarie 2007). Beyond Geometry: Classic Papers van Riemann tot Einstein . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-45350-7.
  82. ^ Michio Kaku (6 Desember 2012). Strings, Conformal Fields, and Topology: An Introduction . Springer Science & Business Media. bl. 151. ISBN 978-1-4684-0397-8.
  83. ^ Mladen Bestvina; Michah Sageev; Karen Vogtmann (24 Desember 2014). Geometriese groepsteorie . Amerikaanse Wiskundige Soc. bl. 132. ISBN 978-1-4704-1227-2.
  84. ^ WH. Steeb (30 September 1996). Deurlopende simmetrieë, leuenalgebras, differensiaalvergelykings en rekenaaralgebra . World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-310-503-4.
  85. ^ Charles W. Misner (20 Oktober 2005). Aanwysings in algemene relatiwiteit: Deel 1: Verrigtinge van die Internasionale Simposium van 1993, Maryland: Papers ter ere van Charles Misner . Cambridge University Press. bl. 272. ISBN 978-0-521-02139-5.
  86. ^ Linné Wayland Dowling (1917). Projektiewe Meetkunde . McGraw-Hill book Company, Ingelyf. bl. 10 .
  87. ^ G. Gierz (15 November 2006). Bundels topologiese vektorruimtes en hul dualiteit . Springer. bl. 252. ISBN 978-3-540-39437-2.
  88. ^ Robert E. Butts; JR Brown (6 Desember 2012). Konstruktivisme en wetenskap: opstelle in onlangse Duitse filosofie . Springer Science & Business Media. bl. 127–. ISBN 978-94-009-0959-5.
  89. ^ Wetenskap . Moses Koning. 1886. bl. 181–.
  90. ^ W. Abt (11 November 2013). Praktiese meetkunde en ingenieursgrafika: 'n handboek vir ingenieurswese en ander studente . Springer Science & Business Media. bl. 6–. ISBN 978-94-017-2742-6.
  91. ^ a b c d George L. Hersey (Maart 2001). Argitektuur en meetkunde in die era van die barok . Universiteit van Chicago Press. ISBN 978-0-226-32783-9.
  92. ^ P. Vanícek; EJ Krakiwsky (3 Junie 2015). Geodesie: die konsepte . Elsevier. bl. 23. ISBN 978-1-4832-9079-9.
  93. ^ Russell M. Cummings; Scott A. Morton; William H. Mason; David R. McDaniel (27 April 2015). Toegepaste berekeningslugdinamika . Cambridge University Press. bl. 449. ISBN 978-1-107-05374-8.
  94. ^ Roy Williams (1998). Meetkunde van navigasie . Horwood-kroeg. ISBN 978-1-898563-46-4.
  95. ^ Gerard Walschap (1 Julie 2015). Multivariabele calculus en differensiële meetkunde . De Gruyter. ISBN 978-3-11-036954-0.
  96. ^ Harley Flanders (26 April 2012). Differensiële vorms met toepassings op die Fisiese Wetenskappe . Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13961-6.
  97. ^ Paul Marriott; Mark Salmon (31 Augustus 2000). Toepassings van differensiële meetkunde op ekonometrie . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65116-5.
  98. ^ Matthew Hy; Sergey Petoukhov (16 Maart 2011). Wiskunde van bioinformatika: teorie, metodes en toepassings . John Wiley & Sons. bl. 106. ISBN 978-1-118-09952-0.
  99. ^ PAM Dirac (10 Augustus 2016). Algemene Relatiwiteitsteorie . Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8419-3.
  100. ^ Nihat Ay; Jürgen Jost; Hông Vân Lê; Lorenz Schwachhöfer (25 Augustus 2017). Inligtingsmeetkunde . Springer. bl. 185. ISBN 978-3-319-56478-4.
  101. ^ Boris A. Rosenfeld (8 September 2012). 'N Geskiedenis van nie-euclidiese meetkunde: evolusie van die konsep van 'n meetkundige ruimte . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-8680-1.
  102. ^ Kline (1972) "Wiskundige denke van antieke tot moderne tye", Oxford University Press, p. 1032. Kant het die logiese (analytiese a priori) moontlikheid van nie-Euclidiese meetkundenie verwerpnie, sien Jeremy Gray , "Ideas of Space Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic", Oxford, 1989; bl. 85. Sommige het geïmpliseer dat, in die lig hiervan, Kantdie ontwikkeling van nie-Euklidiese meetkundein werklikheid voorspel het , vgl. Leonard Nelson, "Philosophy and Axiomatics," Socratic Method and Critical Philosophy, Dover, 1965, p. 164.
  103. ^ Duncan M'Laren Young Sommerville (1919). Elemente van nie-Euclidiese meetkunde ... Ope hof. bl. 15vv.
  104. ^ "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" . Op 18 Maart 2016 vanaf die oorspronklike argief .
  105. ^ Martin D. Crossley (11 Februarie 2011). Essensiële Topologie . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-85233-782-7.
  106. ^ Charles Nash; Siddhartha Sen (4 Januarie 1988). Topologie en meetkunde vir fisici . Elsevier. bl. 1. ISBN 978-0-08-057085-3.
  107. ^ George E. Martin (20 Desember 1996). Transformasie meetkunde: 'n inleiding tot simmetrie . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90636-2.
  108. ^ JP May (September 1999). 'N Beknopte kursus in algebraïese topologie . Universiteit van Chicago Press. ISBN 978-0-226-51183-2.
  109. ^ The Encyclopedia Americana: A Universal Reference Library Bestaande uit die kunste en wetenskappe, letterkunde, geskiedenis, biografie, geografie, handel, ensovoorts, van die wêreld . Scientific American Compiling Department. 1905. bl. 489–.
  110. ^ a b Suzanne C. Dieudonne (30 Mei 1985). Geskiedenis Algebraïese Meetkunde . CRC Pers. ISBN 978-0-412-99371-8.
  111. ^ James Carlson; James A. Carlson; Arthur Jaffe; Andrew Wiles (2006). Die Millennium-prysprobleme . Amerikaanse Wiskundige Soc. ISBN 978-0-8218-3679-8.
  112. ^ Robin Hartshorne (29 Junie 2013). Algebraïese Meetkunde . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-3849-0.
  113. ^ Everett W. Howe; Kristin E. Lauter; Judy L. Walker (15 November 2017). Algebraïese meetkunde vir koderingsteorie en kriptografie: IPAM, Los Angeles, CA, Februarie 2016 . Springer. ISBN 978-3-319-63931-4.
  114. ^ Marcos Marino; Michael Thaddeus; Ravi Vakil (15 Augustus 2008). Enumeratiewe afwykings in algebraïese meetkunde en stringteorie: lesings aangebied op die CIME-somerskool wat op 6-11 Junie 2005 in Cetraro, Italië, gehou is . Springer. ISBN 978-3-540-79814-9.
  115. ^ Huybrechts, D. (2006). Komplekse meetkunde: 'n inleiding. Springer Science & Business Media.
  116. ^ Griffiths, P., & Harris, J. (2014). Beginsels van algebraïese meetkunde. John Wiley & Sons.
  117. ^ Wells, RON, & García-Prada, O. (1980). Differensiële analise op komplekse spruitstukke (Vol. 21980). New York: Springer.
  118. ^ Hori, K., Thomas, R., Katz, S., Vafa, C., Pandharipande, R., Klemm, A., ... & Zaslow, E. (2003). Spieëlsimmetrie (Vol. 1). Amerikaanse Wiskundige Soc.
  119. ^ Forster, O. (2012). Lesings oor Riemann-oppervlaktes (Vol. 81). Springer Science & Business Media.
  120. ^ Miranda, R. (1995). Algebraïese kurwes en Riemann-oppervlaktes (Vol. 5). Amerikaanse Wiskundige Soc.
  121. ^ Donaldson, S. (2011). Riemann oppervlaktes. Oxford University Press.
  122. ^ Serre, JP (1955). Faisceaux algébriques cohérents. Annale van wiskunde, 197-278.
  123. ^ Serre, JP (1956). Géométrie algébrique et géométrie analytique. In Annales de l'Institut Fourier (Vol. 6, pp. 1-42).
  124. ^ Jiří Matoušek (1 Desember 2013). Lesings oor diskrete meetkunde . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0039-7.
  125. ^ Chuanming Zong (2 Februarie 2006). Die Cube-A-venster vir konvekse en diskrete meetkunde . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-85535-8.
  126. ^ Peter M. Gruber (17 Mei 2007). Konvekse en diskrete meetkunde . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71133-9.
  127. ^ Satyan L. Devadoss; Joseph O'Rourke (11 April 2011). Diskrete en rekenkundige meetkunde . Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3898-1.
  128. ^ Károly Bezdek (23 Junie 2010). Klassieke onderwerpe in diskrete meetkunde . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-0600-7.
  129. ^ Franco P. Preparata; Michael I. Shamos (6 Desember 2012). Rekenkundige meetkunde: 'n inleiding . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1098-6.
  130. ^ Xianfeng David Gu; Shing-Tung Yau (2008). Computational Conformal Meetkunde . Internasionale pers. ISBN 978-1-57146-171-1.
  131. ^ a b Clara Löh (19 Desember 2017). Geometriese groepsteorie: 'n inleiding . Springer. ISBN 978-3-319-72254-2.
  132. ^ John Morgan; Gang Tian (21 Mei 2014). Die vermoede van meetkunde . Amerikaanse Wiskundige Soc. ISBN 978-0-8218-5201-9.
  133. ^ Daniel T. Wise (2012). Van rykdom tot raags: drie-manifolds, reghoekige Artin-groepe en kubiese meetkunde: 3-manifolds, reghoekige Artin-groepe en kubiese meetkunde . Amerikaanse Wiskundige Soc. ISBN 978-0-8218-8800-1.
  134. ^ a b Gerard Meurant (28 Junie 2014). Handboek vir konvekse meetkunde . Elsevier Wetenskap. ISBN 978-0-08-093439-6.
  135. ^ Jürgen Richter-Gebert (4 Februarie 2011). Perspektiewe op projektiewe meetkunde: 'n begeleide toer deur werklike en komplekse meetkunde . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-17286-1.
  136. ^ Kimberly Elam (2001). Meetkunde van ontwerp: studies in verhouding en samestelling . Princeton Architectural Press. ISBN 978-1-56898-249-6.
  137. ^ Brad J. Guigar (4 November 2004). Die boek vir alles tekenprente: skep unieke en geïnspireerde spotprente vir plesier en wins . Adams Media. bl. 82–. ISBN 978-1-4405-2305-2.
  138. ^ Mario Livio (12 November 2008). The Golden Ratio: The Story of PHI, die wêreld se mees verbasende nommer . Kroon / Argetipe. bl. 166. ISBN 978-0-307-48552-6.
  139. ^ Michele Emmer; Doris Schattschneider (8 Mei 2007). MC Escher se nalatenskap: 'n Eeufeesviering . Springer. bl. 107. ISBN 978-3-540-28849-7.
  140. ^ Robert Capitolo; Ken Schwab (2004). Tekenkursus 101 . Sterling Publishing Company, Inc. p. 22 . ISBN 978-1-4027-0383-6.
  141. ^ Phyllis Gelineau (1 Januarie 2011). Integrasie van die kunste in die basiese leerplan . Cengage-leer. bl. 55. ISBN 978-1-111-30126-2.
  142. ^ Cristiano Ceccato; Lars Hesselgren; Mark Pauly; Helmut Pottmann, Johannes Wallner (5 Desember 2016). Vordering in argitektoniese meetkunde 2010 . Birkhäuser. bl. 6. ISBN 978-3-99043-371-3.
  143. ^ Helmut Pottmann (2007). Argitektoniese meetkunde . Pers van Bentley Institute. ISBN 978-1-934493-04-5.
  144. ^ Marian Moffett; Michael W. Fazio; Lawrence Wodehouse (2003). 'N Wêreldgeskiedenis van argitektuur . Laurence King Publishing. bl. 371. ISBN 978-1-85669-371-4.
  145. ^ Robin M. Green; Robin Michael Green (31 Oktober 1985). Sferiese Sterrekunde . Cambridge University Press. bl. 1. ISBN 978-0-521-31779-5.
  146. ^ Dmitriĭ Vladimirovich Alekseevskiĭ (2008). Onlangse ontwikkelinge in die Pseudo-Riemanniese meetkunde . Europese Wiskundige Vereniging. ISBN 978-3-03719-051-7.
  147. ^ Shing-Tung Yau; Steve Nadis (7 September 2010). Die vorm van die innerlike ruimte: snaarteorie en die meetkunde van die heelal se verborge dimensies . Basiese boeke. ISBN 978-0-465-02266-3.
  148. ^ Bengtsson, Ingemar; Życzkowski, Karol (2017). Meetkunde van kwantumstate: 'n inleiding tot kwantumverstrengeling (2de uitg.). Cambridge University Press . ISBN 978-1-107-02625-4. OCLC  1004572791 .
  149. ^ Harley Vlaandere; Justin J. Price (10 Mei 2014). Calculus met analitiese meetkunde . Elsevier Wetenskap. ISBN 978-1-4832-6240-6.
  150. ^ Jon Rogawski; Colin Adams (30 Januarie 2015). Calculus . WH Freeman. ISBN 978-1-4641-7499-5.
  151. ^ Álvaro Lozano-Robledo (21 Maart 2019). Getalteorie en meetkunde: 'n inleiding tot rekenkundige meetkunde . Amerikaanse Wiskundige Soc. ISBN 978-1-4704-5016-8.
  152. ^ Arturo Sangalli (10 Mei 2009). Pythagoras 'Revenge: A Mathematical Mystery . Princeton University Press. bl. 57 . ISBN 978-0-691-04955-7.
  153. ^ Gary Cornell; Joseph H. Silverman; Glenn Stevens (1 Desember 2013). Modulêre vorms en die laaste stelling van Fermat . Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1974-3.

Bronne

  • Boyer, CB (1991) [1989]. A History of Mathematics (Tweede uitgawe, hersien deur Uta C. Merzbach  red.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
  • Cooke, Roger (2005). Die geskiedenis van wiskunde . New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-44459-6.
  • Hayashi, Takao (2003). "Indiese wiskunde". In Grattan-Guinness, Ivor (red.). Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences . 1 . Baltimore, besturende direkteur: The Johns Hopkins University Press . bl. 118–130. ISBN 978-0-8018-7396-6.
  • Hayashi, Takao (2005). "Indiese wiskunde". In Flood, Gavin (red.). Die Blackwell Companion to Hinduism . Oxford: Basil Blackwell . bl. 360–375. ISBN 978-1-4051-3251-0.
  • Nikolai I. Lobachevsky (2010). Pangeometrie . Erfenis van die Europese Wiskunde-reeks. 4 . vertaler en redakteur: A. Papadopoulos. Europese Wiskundige Vereniging.

Verdere leeswerk

  • Jay Kappraff (2014). 'N Deelnemende benadering tot moderne meetkunde . World Scientific Publishing. doi : 10.1142 / 8952 . ISBN 978-981-4556-70-5.
  • Leonard Mlodinow (2002). Euclid's Window - The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace (Britse red.). Allen Lane. ISBN 978-0-7139-9634-0.

Eksterne skakels

Meetkundeby Wikipedia se susterprojekte
  • Definisies uit Wiktionary
  • Media van Wikimedia Commons
  • Nuus van Wikinews
  • Aanhalings uit Wikiquote
  • Tekste vanaf Wikisource
  • Handboeke van Wikibooks
  • Bronne van Wikiversity

"Meetkunde"  . Encyclopædia Britannica . 11 (11de uitg.). 1911. bl. 675–736.

  • 'N Meetkunde kursus van Wikiversity
  • Ongewone probleme met meetkunde
  • Die Wiskundeforum - Meetkunde
    • Die Wiskundeforum - K – 12 Meetkunde
    • Die Wiskundeforum - Kollegemeetkunde
    • Die Wiskundeforum - Gevorderde meetkunde
  • Nature Precedings - Pegs and Ropes geometry at Stonehenge
  • Die Wiskundige Atlas - Meetkundige gebiede van Wiskunde
  • "4000 Years of Geometry" , lesing deur Robin Wilson aangebied op Gresham College , 3 Oktober 2007 (beskikbaar vir aflaai van MP3 en MP4 sowel as 'n tekslêer)
    • Finitisme in meetkunde aan die Stanford Encyclopedia of Philosophy
  • Die meetkunde rommelwerf
  • Interaktiewe meetkunde verwysing met honderde toepassings
  • Dinamiese meetkunde-sketse (met enkele verkennings van studente)
  • Meetkunde-klasse by Khan Academy
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Geometry" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP