Fokus (meetkunde)

Definiëring van kegels in terme van twee brandpunte

Die brandpunte van 'n ellips (pers kruisings) is by die kruisings van die hoofas (rooi) en 'n sirkel (siaan) met 'n radius gelyk aan die semi-hoofas (blou), gesentreer op die einde van die kleinas (grys)

'N Ellips kan gedefinieer word as die lokus van punte vir elke waarvan die som van die afstande na twee gegewe brandpunte is 'n konstante.

'N Sirkel is die spesiale geval van 'n ellips waarin die twee brandpunte met mekaar saamval. Dus kan 'n sirkel eenvoudiger gedefinieer word as die plek van punte wat elk 'n vaste afstand van 'n enkele gegewe fokus is. 'N Sirkel kan ook gedefinieer word as die sirkel van Apollonius , in terme van twee verskillende brandpunte, as die stel punte met 'n vaste verhouding van afstande tot die twee brandpunte.

'N Parabool is 'n beperkende geval van 'n ellips waarin een van die brandpunte 'n punt by die oneindigheid is .

'N Hiperbool kan gedefinieer word as die plek van punte vir elk waarvan die absolute waarde van die verskil tussen die afstande tot twee gegewe fokusse 'n konstante is.

Definiëring van kegels in terme van 'n fokus en 'n direkte reeks

Dit is ook moontlik om alle kegelsnitte te beskryf in terme van 'n enkele fokus en 'n enkele direksie , wat 'n gegewe lyn is wat nie die fokus bevat nie. A koniese word gedefinieer as die lokus van punte vir elk van wat die afstand na die fokus gedeel deur die afstand na die direktriks is 'n vaste positiewe konstante, bekend as die eksentrisiteit e . As e tussen nul en een is, is die kegelvormige ellips; as e = 1 die kegeltjie 'n parabool is; en as e > 1 die kegeltjie 'n hiperbool is. As die afstand na die fokus vasgestel is en die directrix 'n lyn is in die oneindigheid , dus die eksentrisiteit nul is, dan is die kegelvormige sirkel.

Definiëring van kegels in terme van 'n fokus- en 'n directrix-sirkel

Dit is ook moontlik om al die kegelsnitte te beskryf as plekke van punte wat ewe ver van 'n enkele fokus en 'n enkele sirkelvormige regslyn is. Vir die ellips het beide die fokus en die middelpunt van die direkterix-sirkel eindige koördinate en is die radius van die directrix-sirkel groter as die afstand tussen die middelpunt van hierdie sirkel en die fokus; die fokus is dus binne die direkterix-sirkel. Die aldus gegenereerde ellips het sy tweede fokus in die middel van die direkterixsirkel en die ellips lê volledig binne die sirkel.

Vir die parabool beweeg die middelpunt van die directrix na die punt by die oneindigheid (sien projektiewe meetkunde ). Die directrix 'sirkel' word 'n kromme met nul kromming, wat nie van 'n reguit lyn onderskei kan word nie. Die twee arms van die parabool raak al hoe meer parallel namate hulle strek, en 'by oneindigheid' word parallel; met behulp van die beginsels van projektiewe meetkunde, kruis die twee parallelle mekaar op die punt by oneindigheid en word die parabool 'n geslote kurwe (elliptiese projeksie).

Om 'n hiperbool te genereer, word die radius van die direkterix-sirkel gekies om minder te wees as die afstand tussen die middelpunt van hierdie sirkel en die fokus; die fokus is dus buite die directrix-sirkel. Die arms van die hiperbool nader asimptotiese lyne en die 'regterhand'-arm van een tak van 'n hiperbool ontmoet die' linkerhand'-arm van die ander tak van 'n hiperbool op die punt van oneindigheid; dit is gebaseer op die beginsel dat 'n enkele lyn in die projektiewe meetkunde homself ontmoet op 'n punt van oneindigheid. Die twee takke van 'n hiperbool is dus die twee (gedraaide) helftes van 'n kurwe wat oor die oneindigheid gesluit is.

In projektiewe meetkunde is alle kegels gelykwaardig in die sin dat elke stelling wat vir een gestel kan word, vir die ander gestel kan word.

Astronomiese betekenis

In die gravitasie -tweeliggaamprobleem word die wentelbane van die twee liggame om mekaar beskryf deur twee oorvleuelende kegelsnitte met een van die fokuspunte van een wat saamval met een van die fokuspunte van die ander in die middelpunt van die massa ( barycenter ) van die twee lyke.

So, byvoorbeeld, het die klein planeet Pluto se grootste maan Charon 'n elliptiese baan wat een fokus het op die Pluto-Charon-stelsel se barycenter, wat 'n punt in die ruimte tussen die twee liggame is; en Pluto beweeg ook in 'n ellips met een van sy brandpunte by dieselfde barysentrum tussen die liggame. Pluto se ellips is heeltemal binne-in die ellips van Charon, soos getoon in hierdie animasie van die stelsel.

Ter vergelyking beweeg die Aarde se Maan in 'n ellips met een van sy brandpunte by die barycenter van die Maan en die Aarde , terwyl hierdie barycenter binne die Aarde self is, terwyl die Aarde (meer presies sy middelpunt) in 'n ellips beweeg met een fokus op dieselfde barysentrum binne die aarde. Die barycenter is ongeveer driekwart van die afstand van die aarde se middelpunt tot sy oppervlak.

Boonop beweeg die Pluto-Charon-stelsel in 'n ellips rondom sy barysentrum met die Son , net soos die Aarde-Maanstelsel (en elke ander planeet-maanstelsel of maanlose planeet in die sonnestelsel). In beide gevalle is die barycenter goed binne die liggaam van die son.

Twee binêre sterre beweeg ook in ellipses en deel 'n fokus by hul barysentrum; vir 'n animasie, sien hier .

'N Cartesiese ovaal is die stel punte vir elk waarvan die geweegde som van die afstande tot twee gegewe fokusse konstant is. As die gewigte gelyk is, word die spesiale geval van 'n ellips tot gevolg.

'N Cassini-ovaal is die stel punte vir elk waarvan die produk van die afstande tot twee gegewe fokusse konstant is.

'N N- ellips is die versameling punte wat almal dieselfde som afstande tot n fokus het. (Die geval n = 2 is die konvensionele ellips.)

Die konsep van 'n fokus kan veralgemeen word na willekeurige algebraïese kurwes. Laat C 'n kromme van klas m wees en laat ek en J die sirkelpunte by oneindig aandui . Trek die m raaklyne aan C deur elk van ek en J . Daar is twee stelle m- lyne wat m ² snypunte sal hê, met uitsonderings in sommige gevalle as gevolg van enkelhede, ens. Hierdie snypunte word as die fokuspunte van C gedefinieer . Met ander woorde, 'n punt P is 'n fokus indien beide PI en PJ is raaklyn aan C . As C 'n werklike kurwe is, is slegs die kruisings van vervoegde pare werklik, dus is daar m in 'n werklike brandpunt en m ² - m denkbeeldige brandpunte. As C 'n keëlvormige vorm is, is die werklike brandpunte presies die fokuspunte wat in die geometriese konstruksie van C gebruik kan word .

Laat P ₁ , P ₂ , ..., P _m as brandpunte van 'n kurwe C van klas m gegee word . Laat P die produk wees van die tangensiaalvergelykings van hierdie punte en Q die produk van die tangensiële vergelykings van die sirkelpunte op oneindig. Toe het al die lyne wat algemeen raaklyne aan beide is P = 0 en Q = 0 is raaklyn aan C . Dus, volgens die AF + BG-stelling , het die tangensiële vergelyking van C die vorm HP + KQ = 0. Aangesien C klas m het , moet H 'n konstante en K wees, maar 'n mate kleiner as of gelyk aan m −2. Die geval H = 0 kan as degenereer geëlimineer word, dus kan die tangensiële vergelyking van C geskryf word as P + fQ = 0, waar f 'n arbitrêre polinoom van graad m −2 is. ^[1]

Laat byvoorbeeld P ₁ = (1,0), P ₂ = (- 1,0). Die tangensiële vergelykings is X + 1 = 0 en X −1 = 0, dus P = X ² -1 = 0. Die tangensiële vergelykings vir die sirkelpunte by oneindigheid is X + iY = 0 en X - iY = 0, dus Q = X ² + Y ² . Daarom is die tangensiële vergelyking vir 'n keëlvorm met die gegewe fokuspunte X ² -1+ c ( X ² + Y ² ) = 0, of (1+ c ) X ² + cY ² = 1 waar c 'n willekeurige konstante is. In puntkoördinate word dit

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {1 + c}} + {\ frac {y ^ {2}} {c}} = 1.}$

• Hilton, Harold (1920). Vlak-algebraïese krommes . Oxford. bl. 69 .
• Weisstein, Eric W. "Focus" . MathWorld .