Wesenlike enkelvoud

Oorweeg 'n oop subset ${\ displaystyle U}$van die komplekse vlak ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$. Laat${\ displaystyle a}$ 'n element van wees ${\ displaystyle U}$, en ${\ displaystyle f \ colon U \ setminus \ {a \} \ to \ mathbb {C}}$'n holomorfiese funksie . Die punt${\ displaystyle a}$word 'n wesenlike enkelheid van die funksie genoem${\ displaystyle f}$as die enkelheid nie 'n paal of 'n verwyderbare enkelheid is nie .

Byvoorbeeld die funksie ${\ displaystyle f (z) = e ^ {1 / z}}$ het 'n wesenlike enkelheid by ${\ displaystyle z = 0}$.

Laat ${\ displaystyle \; a \;}$ 'n komplekse getal wees, neem aan dat ${\ displaystyle f (z)}$ word nie gedefinieer by ${\ displaystyle \; a \;}$maar is analities in sommige streke${\ displaystyle U}$van die komplekse vliegtuig, en dat elke oop woonbuurt van${\ displaystyle a}$ het nie-leë kruising met ${\ displaystyle U}$.

As albei ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} f (z)}$ en ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} {\ frac {1} {f (z)}}}$ bestaan, dan ${\ displaystyle a}$is 'n verwyderbare enkelheid van albei ${\ displaystyle f}$ en ${\ displaystyle {\ frac {1} {f}}}$.

As ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} f (z)}$ bestaan ​​maar ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} {\ frac {1} {f (z)}}}$ bestaan ​​dan nie ${\ displaystyle a}$is 'n nul van ${\ displaystyle f}$en 'n paal van ${\ displaystyle {\ frac {1} {f}}}$.

Net so, as ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} f (z)}$ bestaan ​​nie maar ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} {\ frac {1} {f (z)}}}$ bestaan, dan ${\ displaystyle a}$is 'n paal van ${\ displaystyle f}$en 'n nul van ${\ displaystyle {\ frac {1} {f}}}$.

Indien nie ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} f (z)}$ ook nie ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to a} {\ frac {1} {f (z)}}}$ bestaan, dan ${\ displaystyle a}$is 'n wesenlike enkelheid van albei ${\ displaystyle f}$ en ${\ displaystyle {\ frac {1} {f}}}$.

'N Ander manier om 'n noodsaaklike enkelheid te kenmerk, is dat die Laurent-reeks van${\ displaystyle f}$ op die punt ${\ displaystyle a}$het oneindig baie negatiewe graadterme (dit wil sê, die hoofdeel van die Laurent-reeks is 'n oneindige som). 'N Verwante definisie is dat as daar 'n punt is${\ displaystyle a}$ waarvoor geen afgeleide van ${\ displaystyle f (z) (za) ^ {n}}$ konvergeer tot 'n limiet as ${\ displaystyle z}$ geneig om ${\ displaystyle a}$, dan ${\ displaystyle a}$ is 'n wesenlike enkelheid van ${\ displaystyle f}$. ^[1]

Die gedrag van holomorfe funksies naby hul wesenlike eienaardighede word beskryf deur die stelling Casorati – Weierstrass en deur die aansienlik sterker Picard se groot stelling . Laasgenoemde sê dat in elke omgewing van 'n noodsaaklike enkelheid${\ displaystyle a}$, die funksie ${\ displaystyle f}$neem elke komplekse waarde, behalwe moontlik een, oneindig baie keer aan. (Die uitsondering is nodig; byvoorbeeld die funksie${\ displaystyle \ exp (1 / z)}$ neem nooit die waarde 0. aan nie.)

• An Essential Singularity deur Stephen Wolfram , Wolfram Demonstrations Project .
• Essential Singularity on Planet Math