Afstand

Fisiese afstande

Vliegroetes tussen Los Angeles en Tokio volg ongeveer 'n direkte groot sirkelroete (bo), maar gebruik die straalstroom (onder) as jy ooswaarts op pad is. Let op dat die kortste roete eerder as 'n kurwe as 'n reguit lyn verskyn, want hierdie kaart is 'n Mercator-projeksie wat nie alle afstande ewe skaal in vergelyking met die regte bolvormige oppervlak van die Aarde nie.

' Manhattan afstand ' op 'n rooster

'N Fisiese afstand kan verskillende dinge beteken:

• Afstand afgelê: die lengte van 'n spesifieke pad wat tussen twee punte afgelê is, ^[3] soos die afstand wat afgelê is terwyl u deur 'n doolhof navigeer
• Reguitlyn (Euklidiese) afstand: Die lengte van die kortste moontlike pad deur die ruimte, tussen twee punte, wat geneem kan word as daar geen hindernisse is nie (gewoonlik geformaliseer as Euklidiese afstand )
• Geodetiese afstand: die lengte van die kortste pad tussen twee punte terwyl dit op 'n oppervlak bly, soos die groot sirkelafstand langs die kromme van die aarde
• Die lengte van 'n spesifieke pad wat terugkeer na die beginpunt, soos 'n bal wat regop opgegooi word, of die aarde wanneer dit een baan voltooi .

'N Bord wat afstande naby Visakhapatnam vertoon

"Sirkelafstand" is die afstand wat 'n wiel afgelê het, wat nuttig kan wees om voertuie of meganiese ratte te ontwerp. Die omtrek van die wiel is 2 π  × radius, en as ons aanneem dat die radius 1 is, is elke omwenteling van die wiel gelyk aan die afstand 2 π radiale. In die ingenieurswese word ω  = 2 πƒ dikwels gebruik, waar ƒ die frekwensie is .

Ongewone definisies van afstand kan nuttig wees om sekere fisiese situasies te modelleer, maar word ook in die teoretiese wiskunde gebruik:

• ' Manhattan afstand ' is 'n reglynige afstand, vernoem na die aantal blokke (in die rigting noord, suid, oos of wes) waarop 'n taxi moet ry om sy bestemming te bereik op die strate van strate in dele van New York City. .
• "Skaakbordafstand", geformaliseer as Chebyshev-afstand , is die minimum aantal bewegings wat 'n koning op 'n skaakbord moet maak om tussen twee vierkante te beweeg.

Afstandsmaatreëls in die kosmologie word bemoeilik deur die uitbreiding van die heelal en deur die effekte wat deur die relatiwiteitsteorie beskryf word (soos die lengte-inkrimping van bewegende voorwerpe).

Teoretiese afstande

Die term "afstand" word ook analogies gebruik om nie-fisiese entiteite op sekere maniere te meet.

In rekenaarwetenskap is daar die begrip " wysigafstand " tussen twee snare. Die woorde "hond" en "punt", wat slegs met een letter varieer, is byvoorbeeld nader as "hond" en "kat", wat met drie letters verskil. Hierdie idee word gebruik in speltoetsers en in die koderingsteorie , en word wiskundig op verskillende maniere geformaliseer, soos:

• Levenshtein afstand
• Hamming afstand
• Lee afstand
• Jaro – Winkler afstand

In wiskunde is 'n metrieke ruimte 'n versameling waarvoor afstande tussen al die lede van die versameling gedefinieer word. Op hierdie manier kan baie verskillende soorte "afstande" bereken word, soos vir die deurbreek van grafieke , vergelyking van verspreidings en krommes, en die gebruik van ongewone definisies van "ruimte" (byvoorbeeld met behulp van 'n spruitstuk of weerkaatsings ). Die begrip afstand in die grafiekteorie is gebruik om sosiale netwerke te beskryf , byvoorbeeld met die Erd-nommer of die Bacon-nommer - die aantal samewerkingsverhoudings wat 'n persoon verwyder, is onderskeidelik van die produktiewe wiskundige Paul Erds en die akteur Kevin Bacon .

In sielkunde, menslike geografie en die sosiale wetenskappe word afstand dikwels nie as 'n objektiewe maatstaf nie, maar as 'n subjektiewe ervaring, geteoretiseer. ^[4]

Afstand langs 'n pad in vergelyking met verplasing

Beide afstand en verplasing meet die beweging van 'n voorwerp. Afstand kan nie negatief wees nie en neem nooit af nie. Afstand is 'n skaalgrootte , of 'n grootte , terwyl verplasing 'n vektorgrootte met sowel grootte as rigting is . Dit kan negatief, nul of positief wees. Gerigte afstand meet nie beweging nie; dit meet die skeiding van twee punte, en kan 'n positiewe, nul of negatiewe vektor wees. ^[5]

Die afstand gedek deur 'n voertuig (byvoorbeeld soos aangeteken deur 'n odometer ), persoon, dier, of voorwerp langs 'n geboë pad van 'n punt A na 'n punt B moet onderskei word van die reguitlynmetode afstand van A tot B . Ongeag die afstand wat afgelê word tydens 'n heen-en terugreis van A na B en terug na A , die verplasing is nul, aangesien begin- en eindpunte saamval. Oor die algemeen is die reguitlynafstand nie gelyk aan die afstand wat afgelê word nie, behalwe vir 'n reguit lyn.

Gerigte afstand

Gerigte afstande kan volgens reguit en geboë lyne bepaal word.

Gerigte afstande langs reguit lyne is vektore wat die afstand en rigting gee tussen 'n beginpunt en 'n eindpunt. 'N Gerigte afstand van 'n punt C vanaf punt A in die rigting van B op 'n lyn AB in 'n Euklidiese vektorruimte is die afstand van A tot C as C op die straal AB val , maar is die negatiewe van die afstand as C op val die straal BA (dws as C nie aan dieselfde kant van A is as wat B is nie). Die afstand tussen die vlagpaal van die hoofbiblioteek in New York en die Statue of Liberty-vlagpaal het byvoorbeeld:

• 'N Beginpunt: biblioteekvlagpaal
• 'N Eindpunt: standbeeldvlagpaal
• 'N Rigting: -38 °
• 'N Afstand: 8,72 km

'N Ander soort gerigte afstand is die afstand tussen twee verskillende deeltjies of puntmassas op 'n gegewe tyd. Die afstand vanaf die swaartepunt van die Aarde A en die swaartepunt van die Maan B (wat nie streng beweging van A na B impliseer nie ) val in hierdie kategorie.

'N Gerigte afstand langs 'n geboë lyn is nie 'n vektor nie en word voorgestel deur 'n segment van die geboë lyn wat deur eindpunte A en B gedefinieer word , met spesifieke inligting wat die sin (of rigting) van 'n ideale of werklike beweging vanuit een eindpunt van die segmenteer na die ander (sien figuur). Deur byvoorbeeld net die twee eindpunte as A en B te benoem, kan dit die sin aandui as die geordende volgorde ( A , B ) aanvaar word, wat impliseer dat A die beginpunt is.

Verplasing

'N Verplasing (sien hierbo) is 'n spesiale soort gerigte afstand wat in meganika gedefinieer word . 'N Gerigte afstand word verplasing genoem as dit die afstand langs 'n reguit lyn (minimum afstand) van A en B is , en wanneer A en B posisies is wat deur dieselfde deeltjie op twee verskillende tydstipe beset word . Dit impliseer beweging van die deeltjie. Die afstand wat 'n deeltjie afgelê het, moet altyd groter as of gelyk wees aan die verplasing daarvan, en gelykheid vind slegs plaas wanneer die deeltjie reguit beweeg.

Meetkunde

In analitiese meetkunde kan die Euklidiese afstand tussen twee punte van die xy-vlak gevind word met behulp van die afstandsformule. Die afstand tussen ( x ₁ , y ₁ ) en ( x ₂ , y ₂ ) word gegee deur: ^{[6] [7]}

${\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.}$

Net so, gegewe punte ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) en ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) in drie spasies , is die afstand tussen hulle: ^[6]

${\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}}.}$

Hierdie formule kan maklik afgelei word deur 'n regte driehoek met 'n been op die skuinssy van 'n ander te konstrueer (met die ander been reghoekig op die vlak wat die eerste driehoek bevat) en die stelling van Pythagoras toe te pas . Hierdie afstandformule kan ook uitgebrei word na die booglengteformule . Ander afstande met ander formules word in nie-Euklidiese meetkunde gebruik .

Afstand in die Euklidiese ruimte

In die Euklidiese ruimte R ⁿ , is die afstand tussen twee punte gewoonlik deur die Euklidiese afstand (2-norm afstand). Ander afstande, gebaseer op ander norme , word soms gebruik.

Vir 'n punt ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) en 'n punt ( y ₁ , y ₂ , ..., y _n ), word die Minkowski-afstand van orde p ( p -normafstand ) gedefinieer as :

1-norm afstand	${\ displaystyle = \ som _ {i = 1} ^ {n} \ links | x_ {i} -y_ {i} \ regs}}$
2-norm afstand	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}$
p -norm afstand	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$
oneindigheid norm afstand	${\ displaystyle = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {p} \ right ) ^ {1 / p}}$
	${\ displaystyle = \ max \ left (| x_ {1} -y_ {1} |, | x_ {2} -y_ {2} |, \ ldots, | x_ {n} -y_ {n} | \ regs) .}$

p hoef nie 'n heelgetal te wees nie, maar dit kan nie minder as 1 wees nie, want anders hou die driehoekongelykheid nie.

Die 2-norm afstand is die Euklidiese afstand , 'n veralgemening van die Pythagorese stelling tot meer as twee koördinate . Dit is wat verkry sou word as die afstand tussen twee punte met 'n liniaal gemeet word : die 'intuïtiewe' idee van afstand.

Die 1-norm-afstand word kleurryker die taxi-norm of Manhattan-afstand genoem , want dit is die afstand wat 'n motor sou ry in 'n stad wat in vierkantige blokke uiteengesit is (as daar nie eenrigtingstrate is nie).

Die oneindige normafstand word ook Chebyshev-afstand genoem . In 2D is dit die minimum aantal bewegings wat konings benodig om tussen twee vierkante op 'n skaakbord te beweeg .

Die p -norm word selde gebruik vir waardes van p anders as 1, 2 en oneindigheid, maar sien super ellips .

In fisiese ruimte is die Euklidiese afstand op 'n manier die natuurlikste, want in hierdie geval verander die lengte van 'n vaste liggaam nie met rotasie nie .

Variasionele formulering van afstand

Die Euklidiese afstand tussen twee punte in die ruimte (${\ displaystyle A = {\ vec {r}} (0)}$ en ${\ displaystyle B = {\ vec {r}} (T)}$) kan in variasievorm geskryf word waar die afstand die minimum waarde van 'n integraal is:

${\ displaystyle D = \ int _ {0} ^ {T} {\ sqrt {\ left ({\ gedeeltelik {\ vec {r}} (t) \ oor \ gedeeltelik t} \ regs) ^ {2}}} \, dt}$

Hier ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$is die trajek (pad) tussen die twee punte. Die waarde van die integraal (D) verteenwoordig die lengte van hierdie baan. Die afstand is die minimum waarde van hierdie integraal en word verkry wanneer${\ displaystyle r = r ^ {*}}$ waar ${\ displaystyle r ^ {*}}$is die optimale trajek. In die bekende Euclidiese geval (die bogenoemde integraal) is hierdie optimale baan bloot 'n reguit lyn. Dit is bekend dat die kortste pad tussen twee punte 'n reguit lyn is. Reguitlyne kan formeel verkry word deur die Euler – Lagrange-vergelykings vir die funksie hierbo op te los . In nie-Euclidiese manifolds (geboë ruimtes) waar die aard van die ruimte deur 'n metrieke tensor voorgestel word ${\ displaystyle g_ {ab}}$ die integrand moet verander word na ${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ac} {\ dot {r}} _ {c} g_ {ab} {\ dot {r}} ^ {b}}}}$, waar die Einstein-opsommingskonvensie gebruik is.

Veralgemening na hoër-dimensionele voorwerpe

Die Euklidiese afstand tussen twee voorwerpe kan ook veralgemeen word tot die geval waar die voorwerpe nie meer punte is nie, maar hoër-dimensionele spruitstukke is , soos ruimtekrommes, dus kan ons benewens die afstand tussen twee punte, konsepte van afstand tussen twee bespreek toutjies. Aangesien die nuwe voorwerpe wat behandel word uitgebreide voorwerpe is (nie meer punte nie), word addisionele begrippe soos nie-uitbreidbaarheid, krommingsbeperkings en nie-plaaslike interaksies wat nie-kruising afdwing, sentraal in die begrip afstand. Die afstand tussen die twee spruitstukke is die skalêre hoeveelheid wat die gevolg is van die minimalisering van die algemene afstandsfunksie, wat 'n transformasie tussen die twee spruitstukke voorstel:

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ int _ {0} ^ {L} \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {{\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r) }} (s, t) \ over \ gedeeltelik t} \ regs) ^ {2}}} + \ lambda \ links [{\ sqrt {\ links ({\ gedeeltelik {\ vec {r}} (s, t) \ over \ gedeeltelik s} \ regs) ^ {2}}} - 1 \ regs \ regs}}, ds \, dt}$

Die bostaande dubbele integraal is die algemene funksionele afstand tussen twee polimeerkonformasie. ${\ displaystyle s}$ is 'n ruimtelike parameter en ${\ displaystyle t}$is pseudo-tyd. Dit beteken dat${\ displaystyle {\ vec {r}} (s, t = t_ {i})}$ is die polimeer / toukonformasie op die oomblik ${\ displaystyle t_ {i}}$ en word langs die snaarlengte geparameteriseer deur ${\ displaystyle s}$. Net so${\ displaystyle {\ vec {r}} (s = S, t)}$ is die trajek van 'n infinitesimale segment van die snaar tydens transformasie van die hele snaar van konformasie ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s, 0)}$ tot konformasie ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s, T)}$. Die term met kofaktor${\ displaystyle \ lambda}$is 'n Lagrange-vermenigvuldiger en sy rol is om te verseker dat die lengte van die polimeer dieselfde bly tydens die transformasie. As twee afsonderlike polimere onuitwisbaar is, behels die transformasie van minimale afstand tussen hulle nie meer suiwer reguitlynbeweging nie, selfs nie op 'n Euklidiese maatstaf nie. Daar is 'n moontlike toepassing van so 'n algemene afstand tot die probleem van die vou van proteïene . ^{[8] [9]}

Hierdie algemene afstand is analoog aan die Nambu-Goto-aksie in die stringteorie , maar daar is geen presiese ooreenstemming nie, omdat die Euklidiese afstand in 3-ruimtes nie gelykstaande is aan die ruimtetydafstand wat vir die klassieke relativistiese string geminimaliseer is nie.

Algebraïese afstand

Dit is 'n maatstaf wat dikwels in rekenaarvisie gebruik word, en dit kan verminder word deur die kleinste kwadrate te skat. [1] [2] Vir krommes of oppervlaktes wat deur die vergelyking gegee word${\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Cx = 0}$(soos 'n kegel in homogene koördinate ), die algebraïese afstand vanaf die punt${\ displaystyle x '}$ aan die kurwe is eenvoudig ${\ displaystyle x '^ {\ text {T}} Cx'}$. Dit kan dien as 'n 'aanvanklike raaiskoot' vir meetkundige afstand om die skatting van die kromme te verfyn deur meer akkurate metodes, soos nie-lineêre kleinste vierkante .

Algemene maatstaf

In wiskunde , in die besonder meetkunde , is 'n afstandsfunksie op 'n gegewe versameling M 'n funksie d : M × M → R , waar R die versameling reële getalle aandui , wat aan die volgende voorwaardes voldoen:

• d ( x , y ) ≥ 0 , en d ( x , y ) = 0 as en slegs as x = y . (Afstand is positief tussen twee verskillende punte, en is presies nul van 'n punt na homself.)
• Dit is simmetries : d ( x , y ) = d ( y , x ) . (Die afstand tussen x en y is in beide rigtings dieselfde.)
• Dit voldoen aan die driehoekongelykheid : d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) . (Die afstand tussen twee punte is die kortste afstand op enige pad). So 'n afstandfunksie staan ​​bekend as 'n maatstaf . Saam met die stel vorm dit 'n metrieke ruimte .

Die gewone definisie van afstand tussen twee reële getalle x en y is byvoorbeeld: d ( x , y ) = | x - y | . Hierdie definisie voldoen aan die drie toestande bo, en kom ooreen met die standaard topologie van die werklike lyn . Maar afstand op 'n gegewe stel is 'n definitiewe keuse. 'N Ander moontlike keuse is om te definieer: d ( x , y ) = 0 as x = y , en 1 anders. Dit definieer ook 'n maatstaf, maar gee 'n heel ander topologie, die " diskrete topologie "; met hierdie definisie kan getalle nie willekeurig naby wees nie.

Afstande tussen versamelings en tussen 'n punt en 'n versameling

d ( A ,  B )>  d ( A ,  C ) +  d ( C ,  B )

Daar is verskillende definisies tussen voorwerpe moontlik. Tussen hemelliggame moet 'n mens byvoorbeeld nie die oppervlakte-tot-oppervlakte-afstand en die sentrum-tot-middelpunt verwar nie. As eersgenoemde baie minder is as laasgenoemde, soos vir 'n lae baan om die aarde , word die eerste gewoonlik aangehaal (hoogte), anders, byvoorbeeld vir die afstand tussen die Aarde en die Maan, laasgenoemde.

Daar is twee algemene definisies vir die afstand tussen twee nie-leë deelversamelings van 'n gegewe metrieke ruimte :

• Een weergawe van die afstand tussen twee nie-leë versamelings is die minimum afstand tussen twee van hul onderskeie punte, wat die alledaagse betekenis van die woord is, dws

${\ displaystyle d (A, B) = \ inf _ {x \ in A, y \ in B} d (x, y).}$

Dit is 'n simmetriese premetrie . Op 'n versameling versamelings waarvan sommige aan mekaar raak of oorvleuel, is dit nie 'skei' nie, want die afstand tussen twee verskillende, maar raak of oorvleuelende versamelings is nul. Dit is ook nie hemimetries nie , dit wil sê die ongelykheid van die driehoek geld nie, behalwe in spesiale gevalle. Daarom maak hierdie afstand slegs in spesiale gevalle 'n versameling versamelings 'n metrieke ruimte .

• Die Hausdorff-afstand is die grootste van twee waardes, die een is die supremum , vir 'n punt wat oor een versameling strek, van die minimum, vir 'n tweede punt wat strek oor die ander versameling, van die afstand tussen die punte, en die ander waarde is ook gedefinieer, maar met die rolle van die twee stelle omgeruil. Hierdie afstand maak die stel nie-leë kompakte onderstelle van 'n metrieke ruimte self 'n metrieke ruimte .

Die afstand tussen 'n punt en 'n versameling is die minimum afstand tussen die punt en die in die versameling. Dit stem ooreen met die afstand, volgens die hierbo genoemde definisie van die afstand tussen versamelings, vanaf die versameling wat slegs hierdie punt bevat na die ander versameling.

In terme hiervan kan die definisie van die Hausdorff-afstand vereenvoudig word: dit is die grootste van twee waardes, waarvan die een die hoogste is, vir 'n punt wat oor een versameling strek, van die afstand tussen die punt en die versameling, en die ander waarde word ook gedefinieër, maar met die rolle van die twee stelle omgeruil.

Grafiese teorie

In grafiekteorie is die afstand tussen twee hoekpunte die lengte van die kortste pad tussen die hoekpunte.

Statistiese afstande

In statistiek en inligtingsgeometrie is daar baie soorte statistiese afstande , veral afwykings , veral Bregman-afwykings en f- afwykings . Dit bevat en veralgemeen baie van die begrippe van "verskil tussen twee waarskynlikheidsverdelings ", en laat dit meetkundig bestudeer word as statistiese veelvoude . Die elementêrste is die vierkante Euklidiese afstand , wat die basis vorm van die kleinste vierkante ; dit is die mees basiese afwyking van Bregman. Die belangrikste in inligtingsteorie is die relatiewe entropie ( Kullback-Leibler-divergensie ), wat dit moontlik maak om analoog die maksimum waarskynlikheidsberaming meetkundig te bestudeer; dit is die mees basiese f -divergensie, en is ook 'n Bregman-divergensie (en is die enigste divergensie wat beide is). Statistiese spruitstukke wat ooreenstem met Bregman-afwykings is plat spruitstukke in die ooreenstemmende meetkunde, wat 'n analoog van die stelling van Pythagoras (wat tradisioneel geld vir die vierkante Euklidiese afstand) kan gebruik vir lineêre inverse probleme in afleiding deur die optimaliseringsteorie .

Ander belangrike statistiese afstande sluit in die Mahalanobis-afstand , die energie-afstand en vele ander.

Ander wiskundige "afstande"

• Canberra-afstand - 'n geweegde weergawe van Manhattan-afstand, wat in rekenaarwetenskap gebruik word

Sielkundige afstand word gedefinieer as 'die verskillende maniere waarop 'n voorwerp van die self verwyder kan word', volgens dimensies soos 'tyd, ruimte, sosiale afstand en hipotetisiteit'. ^[2] Die verband tussen sielkundige afstand en die mate waarin denke abstrak of konkreet is, word beskryf in die teoretiese vlak van teoretiese vlak , 'n raamwerk vir besluitneming .

• Python (programmeertaal)
  • Interspace- 'n pakket om die afstand tussen twee vektore, getalle, stringe, ens. Te vind
  • SciPy- afstand berekeninge ( scipy.spatial.distance)
• Julia (programmeertaal)
  • Julia Statistics Distance - ' n Julia-pakket vir die evaluering van afstande (statistieke) tussen vektore.

• Deza E, Deza M (2006). Woordeboek van Afstande . Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.