Dimensielose hoeveelheid

Hoeveelhede met dimensie een, dimensielose hoeveelhede , kom gereeld voor in die wetenskappe en word formeel behandel binne die veld van dimensionele analise . In die negentiende eeu het die Franse wiskundige Joseph Fourier en die Skotse fisikus James Clerk Maxwell belangrike ontwikkelinge gelei in die moderne konsepte van dimensie en eenheid . Later werk deur die Britse fisici Osborne Reynolds en Lord Rayleigh het bygedra tot die begrip van dimensielose getalle in die fisika. Op grond van die metode van dimensionele analise van Rayleigh, bewys Edgar Buckingham die stelling π (onafhanklik van die vorige werk van die Franse wiskundige Joseph Bertrand ) om die aard van hierdie hoeveelhede te formaliseer. ^[4]

Verskeie dimensielose getalle, meestal verhoudings, is in die vroeë 1900's geskep, veral op die gebied van vloeistofmeganika en hitte-oordrag . Die meting van verhoudings in die (afgelei) eenheid dB ( decibel ) bevind wydverspreide gebruik deesdae.

In die vroeë 2000's het die Internasionale Komitee vir gewigte en maatreëls die benaming van die eenheid van 1 as die " uno " bespreek, maar die idee om net 'n nuwe SI-naam vir 1 in te voer, is laat vaar. ^{[5] [6] [7]}

Dimensielose hoeveelhede word dikwels verkry as verhoudings van hoeveelhede wat nie dimensieloos is nie, maar waarvan die dimensies in die wiskundige bewerking ophou. ^[8] Voorbeelde sluit in berekening van hellings of omskakelingsfaktore vir eenhede . 'N Meer komplekse voorbeeld van so 'n verhouding is ingenieurspanning , 'n mate van fisiese vervorming wat gedefinieer word as 'n verandering in lengte gedeel deur die aanvanklike lengte. Aangesien beide hoeveelhede het die dimensie lengte , hul verhouding is dimensieloos. Nog 'n stel voorbeelde is massa-breuke of mol-breuke wat dikwels geskryf word met behulp van dele per notasie soos ppm (= 10 ⁻⁶ ), ppb (= 10 ⁻⁹ ) en ppt (= 10 ⁻¹² ), of miskien verwarrend as verhoudings van twee identiese eenhede ( kg / kg of mol / mol). Byvoorbeeld, alkohol volgens volume , wat die konsentrasie van etanol in 'n alkoholiese drank kenmerk , kan as ml / 100 ml geskryf word .

Ander algemene verhoudings is persentasies %  (= 0.01),   ‰  (= 0.001) en hoekeenhede soos radiaal , graad (° = π/180) en grad (=  π/200). In statistiek is die variasie-koëffisiënt die verhouding tussen die standaardafwyking en die gemiddelde en word dit gebruik om die verspreiding in die data te meet .

Daar is aangevoer dat hoeveelhede gedefinieër as verhoudings Q = A / B met gelyke afmetings in teller en noemer eintlik slegs eenheidslose hoeveelhede is en dat die fisiese dimensie nog steeds gedefinieerd is as dowwe Q = dowwe A × dim B ^-1 . ^[9] Byvoorbeeld, voginhoud kan gedefinieer word as 'n verhouding van volumes (volumetriese vog, m ³ ⋅m ⁻³ , dimensie L ³ ⋅L ⁻³ ) of as 'n verhouding van massas (gravimetriese vog, eenhede kg⋅kg ^{- 1} , dimensie M⋅M ⁻¹ ); albei sou eenheidslose hoeveelhede wees, maar van verskillende dimensies.

Die Buckingham π- stelling dui aan dat die geldigheid van die fisiese wette nie van 'n spesifieke eenheidstelsel afhang nie. 'N Stelling van hierdie stelling is dat enige fisiese wet uitgedruk kan word as 'n identiteit wat slegs dimensielose kombinasies (verhoudings of produkte) van die veranderlikes wat deur die wet gekoppel is, insluit (bv. Druk en volume word deur Boyle se wet gekoppel - hulle is omgekeerd eweredig). As die waardes van die dimensielose kombinasies met die stelsels van eenhede verander, sou die vergelyking nie 'n identiteit wees nie en sou Buckingham se stelling nie geld nie.

'N Ander gevolg van die stelling is dat die funksionele afhanklikheid tussen 'n sekere aantal (sê, n ) veranderlikes kan verminder word deur die aantal (sê, k ) onafhanklike dimensies wat in die veranderlikes voorkom om 'n stel p = n - k onafhanklik te gee. , dimensielose hoeveelhede . Vir die doeleindes van die eksperimenteerder is verskillende stelsels wat dieselfde beskrywing volgens dimensielose hoeveelheid deel, gelykstaande.

Voorbeeld

Om die toepassing van die toon π teorema, oorweeg die krag verbruik van 'n roerder met 'n gegewe vorm. Die krag, P , in afmetings [M · L ² / T ³ ], is 'n funksie van die digtheid , ρ [M / L ³ ], en die viskositeit van die vloeistof wat geroer moet word, μ [M / (L · T )], sowel as die grootte van die roerder gegee deur die deursnee , D [L], en die hoeksnelheid van die roerder, n [1 / T]. Daarom het ons 'n totaal van n = 5 veranderlikes wat ons voorbeeld voorstel. Die n = 5 veranderlikes is opgebou uit k = 3 fundamentele afmetings, die lengte: L ( SI- eenhede: m ), tyd: T ( s ) en massa: M ( kg ).

Volgens die π- stelling kan die veranderlikes n = 5 verminder word deur die k = 3 dimensies om p = n - k = 5 - 3 = 2 onafhanklike dimensielose getalle te vorm. Gewoonlik word hierdie hoeveelhede gekies as${\ textstyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho nD ^ {2}} {\ mu}}}$, gewoonlik die Reynolds-nommer genoem wat die vloeistofvloei-regime beskryf, en${\ textstyle N _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {P} {\ rho n ^ {3} D ^ {5}}}}$, die kraggetal , wat die dimensielose beskrywing van die roerder is.

Let op dat die twee dimensielose groottes nie uniek is nie en afhang van watter van die n = 5 veranderlikes gekies word as die k = 3 onafhanklike basisveranderlikes, wat in albei dimensielose groottes voorkom. Die Reynolds-nommer en kragnommer val uit die bostaande analise as${\ textstyle \ rho}$, n en D word gekies om die basisveranderlikes te wees. As in plaas daarvan,${\ textstyle \ mu}$, n en D gekies word, word die Reynolds-nommer herwin terwyl die tweede dimensielose hoeveelheid word${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}} = {\ frac {P} {\ mu D ^ {3} n ^ {2}}}}$. Ons neem kennis daarvan${\ textstyle N _ {\ mathrm {Rep}}}$ is die produk van die Reynolds-nommer en die kragnommer.

Sekere universele gemaatskryf fisiese konstantes, soos die spoed van lig in 'n vakuum, die universele gravitasie konstante , Planck se konstante , Coulomb se konstante , en Boltzmann se konstante genormaliseer kan word om 1 of toepaslike eenhede vir tyd , lengte , massa , beheer , en temperatuur is gekies. Die gevolglike stelsel van eenhede staan ​​bekend as die natuurlike eenhede , spesifiek met betrekking tot hierdie vyf konstantes, Planck-eenhede . Nie alle fisiese konstantes kan egter op hierdie manier genormaliseer word nie. Die waardes van die volgende konstantes is byvoorbeeld onafhanklik van die eenheidstelsel, kan nie gedefinieer word nie en kan slegs eksperimenteel bepaal word: ^[10]

• α ≈ 1/137, die fyn-struktuurkonstante , wat die grootte van die elektromagnetiese wisselwerking tussen elektrone kenmerk .
• β (of μ ) ≈ 1836, die proton-tot-elektron massaverhouding . Hierdie verhouding is die rusmassa van die proton gedeel deur die van die elektron . 'N Analoge verhouding kan vir elke elementêre deeltjie gedefinieer word ;
• α _s ≈ 1, 'n konstante wat die sterkte van die kernkrag koppelsterkte kenmerk ;
• Die verhouding van die massa van enige gegewe elementêre deeltjie tot die Planck-massa ,${\ displaystyle {\ sqrt {\ hbar c / G}}}$.

Fisika gebruik dikwels dimensielose hoeveelhede om die karakterisering van stelsels met veelvuldige interaksie met fisiese verskynsels te vereenvoudig. Dit kan gevind word deur die Buckingham π- stelling toe te pas, of anders kan blyk uit gedeeltelike differensiaalvergelykings sonder eenheid deur die proses van nie- dimensionering . Ingenieurswese, ekonomie en ander velde brei hierdie idees dikwels uit in die ontwerp en ontleding van die relevante stelsels.

Fisika en ingenieurswese

• Fresnel nommer - golwe oor afstand
• Machgetal - verhouding van die spoed van 'n voorwerp of vloei relatief tot die spoed van klank in die vloeistof.

• Beta (plasmafisika) - verhouding van plasmadruk tot magnetiese druk, gebruik in magnetosfeerfisika sowel as fusieplasmafisika.
• Damköhler-getalle (Da) - word gebruik in chemiese ingenieurswese om die chemiese reaksietydskaal (reaksietempo) in verband te bring met die transportverskynsels wat in 'n stelsel voorkom.
• Thiele modulus - beskryf die verband tussen diffusie en reaksietempo in poreuse katalisatorkorrels sonder massa-oordragbeperkings.
• Numeriese diafragma - kenmerk die omvang van hoeke waarbinne die stelsel die lig kan aanvaar of uitstraal.
• Sherwood-nommer - (ook genoem die massa-oordrag Nusselt-nommer ) is 'n dimensielose getal wat gebruik word vir massa-oordrag. Dit verteenwoordig die verhouding van die konvektiewe massa-oordrag tot die tempo van diffusiewe massatransport.
• Schmidtgetal - gedefinieer as die verhouding van momentumdiffusiwiteit (kinematiese viskositeit) en massadiffusiwiteit, en word gebruik om vloeistofstrome waarin die momentum en massadiffusie-konveksieprosesse gelyktydig is, te karakteriseer.
• Reynolds-nommer word gewoonlik in vloeistofmeganika gebruik om vloei te kenmerk, en bevat beide eienskappe van die vloeistof en die vloei. Dit word geïnterpreteer as die verhouding van traagheidskragte tot viskose kragte en kan 'n aanduiding wees van vloei-regime, sowel as korrelasie met wrywingsverhitting tydens toepassing in vloei in pype. ^[11]

Chemie

• Relatiewe digtheid - digtheid relatief tot water
• Relatiewe atoommassa , standaard atoomgewig
• Ewewigskonstante (wat soms dimensieloos is)

Ander velde

• Koste van vervoer is die doeltreffendheid om van een plek na 'n ander te beweeg
• Elastisiteit is die meting van die proporsionele verandering van 'n ekonomiese veranderlike in reaksie op 'n verandering in 'n ander

• Willekeurige eenheid
• Dimensionele analise
• Normalisering (statistiek) en gestandaardiseerde moment , die analoogbegrippe in statistiek
• Orde van grootte (getalle)
• Gelyktydigheid (model)

• Media verwant aan dimensielose getalle op Wikimedia Commons