Dimensionele analise

Baie parameters en metings in die fisiese wetenskappe en ingenieurswese word as 'n konkrete getal uitgedruk —'n numeriese hoeveelheid en 'n ooreenstemmende dimensie-eenheid. Dikwels word 'n hoeveelheid uitgedruk in terme van verskeie ander hoeveelhede; spoed is byvoorbeeld 'n kombinasie van lengte en tyd, byvoorbeeld 60 kilometer per uur of 1,4 kilometer per sekonde. Saamgestelde verhoudings met "per" word uitgedruk met deling , bv. 60 km / 1 uur. Ander verhoudings kan vermenigvuldiging insluit (dikwels met 'n gesentreerde punt of jukstaposisie getoon ), kragte (soos m ² vir vierkante meter) of kombinasies daarvan.

'N Stel basis-eenhede vir 'n metingstelsel is 'n konvensionele gekose stel eenhede, waarvan nie een as 'n kombinasie van die ander uitgedruk kan word nie en in terme waarvan al die oorblywende eenhede van die stelsel uitgedruk kan word. ^[5] Byvoorbeeld, eenhede vir lengte en tyd word normaalweg as basiseenhede gekies. Eenhede vir volume kan egter in die basiseenhede van lengte (m ³ ) verreken word, dus word dit as afgeleide of saamgestelde eenhede beskou.

Soms verduister die name van eenhede die feit dat dit afgeleide eenhede is. Byvoorbeeld, 'n newton (N) is 'n eenheid van krag , wat eenhede van massa (kg) keer eenhede van versnelling (m⋅s het ^-2 ). Die newton word gedefinieer as 1 N = 1 kg⋅m⋅s ⁻² .

Persentasies, afgeleides en integrale

Persentasies is dimensielose hoeveelhede, aangesien dit verhoudings is van twee hoeveelhede met dieselfde dimensies. Met ander woorde, die% -teken kan gelees word as "honderdstes", aangesien 1% = 1/100 .

Deur 'n afgeleide met betrekking tot 'n hoeveelheid te neem, voeg die dimensie van die veranderlike by, in die noemer. Dus:

• posisie ( x ) het die dimensie L (lengte);
• afgeleide van posisie met betrekking tot tyd ( dx / dt , snelheid ) het dimensie T ⁻¹ L — lengte vanaf posisie, tyd as gevolg van die gradiënt;
• die tweede afgeleide ( d ² x / dt ² = d ( dx / dt ) / dt , versnelling ) het dimensie T ⁻² L.

Die integrasie van 'n integraal voeg ook die dimensie toe van die veranderlike wat 'n mens integreer ten opsigte van, maar in die teller.

• krag het die dimensie T ⁻² L M (massa vermenigvuldig met versnelling);
• die integraal van krag met betrekking tot die afstand ( e ) wat die voorwerp afgelê het (${\ displaystyle \ textstyle \ int F \ ds}$, Werk ) het dimensie T ^-2 L ² M .

In die ekonomie word onderskei tussen aandele en vloei : 'n aandeel het eenhede van "eenhede" (sê maar, widgets of dollars), terwyl 'n vloei 'n afgeleide van 'n aandeel is en eenhede van 'eenhede / tyd' (sê, dollars / jaar).

In sommige kontekste word dimensiehoeveelhede uitgedruk as dimensielose hoeveelhede of persentasies deur sommige dimensies weg te laat. Byvoorbeeld, skuld-tot-BBP verhoudings is oor die algemeen uitgedruk as persentasies: totale skuld uitstaande (dimensie van die munt), gedeel deur jaarlikse BBP (dimensie van die munt) -maar een mag redeneer dat, in vergelyking 'n voorraad om 'n vloei, jaarlikse BBP moet het afmetings van valuta / tyd (byvoorbeeld dollars / jaar) en dus moet die skuld-tot-BBP eenhede van jare hê, wat aandui dat die skuld-tot-BBP die aantal jare is wat nodig is vir 'n konstante BBP om die skuld te betaal, as alle BBP aan die skuld bestee word en die skuld andersins onveranderd is.

In dimensionele analise word 'n verhouding wat een maateenheid in 'n ander omskakel sonder om die hoeveelheid te verander, 'n omskakelingsfaktor genoem . Byvoorbeeld, kPa en bar is albei drukeenhede en 100 kPa = 1 bar . Die reëls van algebra laat toe dat beide kante van 'n vergelyking deur dieselfde uitdrukking gedeel word, dus dit is gelykstaande aan 100 kPa / 1 bar = 1 . Aangesien enige hoeveelheid met 1 vermenigvuldig kan word sonder om dit te verander, kan die uitdrukking " 100 kPa / 1 bar " gebruik word om van stawe na kPa om te skakel deur dit te vermenigvuldig met die hoeveelheid wat omgeskakel moet word, insluitend eenhede. Byvoorbeeld, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa omdat 5 × 100/1 = 500 , en bar / bar kanselleer, dus 5 bar = 500 kPa .

Die mees basiese reël van dimensionele analise is die van dimensionele homogeniteit. ^[6]

Slegs beduidende hoeveelhede (fisiese hoeveelhede met dieselfde dimensie) mag vergelyk , vergelyk , bygevoeg of afgetrek word .

Die afmetings vorm egter 'n abeliese groep onder vermenigvuldiging, dus:

'N Mens kan verhoudings neem van onmeetbare hoeveelhede (hoeveelhede met verskillende afmetings) en dit vermenigvuldig of verdeel .

Dit maak byvoorbeeld geen sin om te vra of 1 uur meer, dieselfde of minder as 1 kilometer is nie, aangesien dit verskillende afmetings het, en ook nie 1 uur tot 1 kilometer moet byvoeg nie. Dit is egter heeltemal sinvol om te vra of 1 myl meer is, dieselfde of minder as 1 kilometer dieselfde dimensie van fisiese hoeveelheid is, alhoewel die eenhede anders is. Aan die ander kant, as 'n voorwerp binne 2 uur 100 km ry, kan dit verdeel word en die gevolgtrekking gemaak word dat die voorwerp se gemiddelde snelheid 50 km / h was.

Die reël impliseer dat in 'n fisiese sinvolle uitdrukking slegs hoeveelhede van dieselfde dimensie bygevoeg, afgetrek of vergelyk kan word. Byvoorbeeld, as m _man , m _rat en L _man onderskeidelik die massa van een of ander man, die massa van 'n rot en die lengte van daardie man aandui, is die dimensionele homogene uitdrukking m _man + m _rat betekenisvol, maar die heterogene uitdrukking m _man + L _man is sinloos. Maar m _man / L ² _man is fyn. Dimensionele analise kan dus gebruik word as 'n verstandige ondersoek van fisiese vergelykings: die twee kante van enige vergelyking moet beoordeelbaar wees of dieselfde dimensies hê.

Dit het die implikasie dat die meeste wiskundige funksies, veral die transendentale funksies , 'n dimensielose hoeveelheid, 'n suiwer getal, as argument moet hê en as gevolg daarvan 'n dimensielose getal moet teruggee. Dit is duidelik omdat baie transendentale funksies uitgedruk kan word as 'n oneindige kragreeks met dimensielose koëffisiënte.

${\ displaystyle f (x) = \ som _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots}$

Alle magte van x moet dieselfde dimensie hê om die terme waardeerbaar te kan wees. Maar as x nie dimensieloos is nie, dan sal die verskillende magte van x verskillende, onmeetbare dimensies hê. Maar magsfunksies insluitende wortel funksies kan 'n dimensionele argument het en sal gevolg met dimensie wat dieselfde krag toegepas word op die argument dimensie terugkeer. Dit is omdat kragfunksies en wortelfunksies, losweg, net 'n uitdrukking is van die vermenigvuldiging van hoeveelhede.

Selfs wanneer twee fisiese groottes dieselfde dimensies het, kan dit tog sinloos wees om dit te vergelyk of by te voeg. Alhoewel wringkrag en energie byvoorbeeld die dimensie T − ² L ² M deel , is dit fundamenteel verskillende fisiese groothede.

Om hoeveelhede met dieselfde afmetings, maar uitgedruk in verskillende eenhede, te vergelyk, op te tel of af te trek, is die standaardprosedure om almal almal in dieselfde eenhede om te skakel. Gebruik byvoorbeeld 1 meter = 0,9144 m om 32 meter te vergelyk na 32,004 m om 32 meter te vergelyk met 35 meter.

'N Verwante beginsel is dat enige fisiese wet wat die werklike wêreld akkuraat beskryf, onafhanklik moet wees van die eenhede wat gebruik word om die fisiese veranderlikes te meet. ^[7] Byvoorbeeld, die bewegingswette van Newton se moet ware of afstand gemeet word in myl of kilometer te hou. Hierdie beginsel gee aanleiding tot die vorm wat omskakelingsfaktore moet aanneem tussen eenhede wat dieselfde dimensie meet: vermenigvuldiging met 'n eenvoudige konstante. Dit verseker ook ekwivalensie; byvoorbeeld, as twee geboue dieselfde hoogte in voet het, moet dit dieselfde meter in meter wees.

Die faktoretiketmetode is die opeenvolgende toepassing van omskakelingsfaktore uitgedruk as breuke en so gerangskik dat enige dimensie-eenheid wat in beide die teller en noemer van enige van die breuke voorkom, gekanselleer kan word totdat slegs die gewenste stel dimensie-eenhede verkry word. 10 myl per uur kan byvoorbeeld omgeskakel word na meter per sekonde deur gebruik te maak van 'n reeks omskakelingsfaktore soos hieronder getoon:

${\ displaystyle {\ frac {10 \ {\ kanselleer {\ text {mile}}}} {1 \ {\ kanselleer {\ text {uur}}}}} \ keer {\ frac {1609.344 {\ text {meter} }} {1 \ {\ kanselleer {\ text {mile}}}}} \ keer {\ frac {1 \ {\ kanselleer {\ text {uur}}}} {3600 {\ text {tweede}}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {tweede}}}.}$

Elke omskakelingsfaktor word gekies op grond van die verhouding tussen een van die oorspronklike eenhede en een van die gewenste eenhede (of een of ander tussenseenheid) voordat dit weer gerangskik word om 'n faktor te skep wat die oorspronklike eenheid uitskakel. Byvoorbeeld, aangesien "myl" die teller in die oorspronklike breuk is en${\ displaystyle 1 \ {\ text {mile}} = 1609.344 \ {\ text {meter}}}$, "myl" sal die noemer in die omskakelingsfaktor moet wees. Verdeel albei kante van die vergelyking met 1 myl opbrengste${\ displaystyle {\ frac {1 \ {\ text {mile}}} {1 \ {\ text {mile}}}} = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {myl}}}}}$, wat as vereenvoudig die dimensielose tot gevolg het ${\ displaystyle 1 = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {mile}}}}}$. Die vermenigvuldiging van enige hoeveelheid (fisiese hoeveelheid al dan nie) met die dimensielose 1, verander nie die hoeveelheid nie. Sodra hierdie en die omskakelingsfaktor vir sekondes per uur vermenigvuldig is met die oorspronklike breuk om die eenhede myl en uur uit te skakel , skakel 10 myl per uur om na 4.4704 meter per sekonde.

As 'n meer komplekse voorbeeld, is die konsentrasie van stikstofoksiede ( GEEN x {\ displaystyle \ color {Blue} {\ ce {NO}} _ {x}} ) in die rookgas uit 'n industriële oond kan omgeskakel word na 'n massastroomsnelheid uitgedruk in gram per uur (dws g / h) van${\ displaystyle {\ ce {NO}} _ {x}}$ deur die volgende inligting te gebruik soos hieronder getoon:

GEEN _x konsentrasie

= 10 dele per miljoen per volume = 10 ppmv = 10 volumes / 10 ⁶ volumes

GEEN _x molêre massa

= 46 kg / kmol = 46 g / mol

Vloeitempo van rookgas

= 20 kubieke meter per minuut = 20 m ³ / min

Die rookgas verlaat die oond by 0 ° C temperatuur en 101.325 kPa absolute druk.

Die molêre volume van 'n gas by 0 ° C temperatuur en 101.325 kPa is 22.414 m ³ / kmol .

${\ displaystyle {\ frac {1000 \ {\ ce {g \ NO}} _ {x}} {1 {\ kanselleer {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}}} \ keer {\ frac {46 \ {\ kanselleer {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} {1 \ {\ kanselleer {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}}} keer {\ frac {1 \ {\ kanselleer {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} {22.414 \ {\ kanselleer {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO }} _ {x}}}}} keer {\ frac {10 \ {\ kanselleer {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO}} _ {x}}}} {10 ^ {6} \ {\ kanselleer {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}}} \ keer {\ frac {20 \ {\ kanselleer {{\ ce {m} } ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} {1 \ {\ kanselleer {\ ce {minuut}}}}} \ keer {\ frac {60 \ {\ kanselleer {\ ce {minuut}} }} {1 \ {\ ce {hour}}}} = 24.63 \ {\ frac {{\ ce {g \ NO}} _ {x}} {\ ce {hour}}}}$

Nadat enige dimensie-eenhede wat in die tellers en noemers van die breuke in die bostaande vergelyking voorkom, uitgeskakel is, skakel die NO _x- konsentrasie van 10 dpm _v om tot massastroomsnelheid van 24,63 gram per uur.

Vergelykings wat dimensies behels, na te gaan

Die faktoretiketmetode kan ook op enige wiskundige vergelyking gebruik word om na te gaan of die dimensionele eenhede aan die linkerkant van die vergelyking dieselfde is as die dimensie-eenhede aan die regterkant van die vergelyking. Om dieselfde eenhede aan beide kante van 'n vergelyking te hê, verseker nie dat die vergelyking korrek is nie, maar dat verskillende eenhede aan die twee kante (as dit in basiseenhede uitgedruk word) van 'n vergelyking impliseer dat die vergelyking verkeerd is.

Gaan byvoorbeeld die universele gaswetvergelyking van PV = nRT na , wanneer:

• die druk P is in pascal (Pa)
• die volume V is in kubieke meter (m ³ )
• die hoeveelheid stof n is in mol (mol)
• die universele gaswetkonstante R is 8,3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
• die temperatuur T is in kelvin (K)

${\ displaystyle {\ ce {Pa.m ^ 3}} = {\ frac {\ kanselleer {{\ ce {mol}}}} {1}} \ keer {\ frac {{\ ce {Pa.m ^ 3 }}} {{\ kanselleer {{\ ce {mol}}}} \ {\ kanselleer {{\ ce {K}}}}}} \ keer {\ frac {\ kanselleer {{\ ce {K}}} } {1}}}$

Soos gesien kan word, wanneer die dimensie-eenhede wat in die teller en die noemer van die regterkant van die vergelyking voorkom, gekanselleer word, het albei kante van die vergelyking dieselfde dimensie-eenhede. Dimensionele analise kan gebruik word as 'n instrument om vergelykings te konstrueer wat verband hou met nie-geassosieerde fisies-chemiese eienskappe. Die vergelykings kan tot dusver onbekende of misgekykte eienskappe van materie openbaar in die vorm van oorblywende dimensies - dimensionele verstelaars - wat dan fisiese betekenis kan kry. Dit is belangrik om daarop te wys dat sodanige 'wiskundige manipulasie' nie sonder voorafgaande, of sonder aansienlike wetenskaplike betekenis is nie. Inderdaad, die konstante van Planck , 'n fundamentele konstante van die heelal, is 'ontdek' as 'n suiwer wiskundige abstraksie of voorstelling wat voortgebou is op die Rayleigh-Jeans-vergelyking om die ultraviolet-katastrofe te voorkom. Dit is toegeken en opgeneem tot die kwantum fisiese betekenis, hetsy in tandem of na wiskundige dimensionele aanpassing - nie vroeër nie.

Beperkings

Die faktoretiketmetode kan slegs eenheidshoeveelhede omskakel waarvoor die eenhede in 'n lineêre verhouding kruis by 0. ( Verhoudingsskaal in Stevens se tipologie) Die meeste eenhede pas by hierdie paradigma. 'N Voorbeeld waarvoor dit nie gebruik kan word nie, is die omskakeling tussen grade Celsius en kelvin (of grade Fahrenheit ). Tussen grade Celsius en kelvin is daar 'n konstante verskil eerder as 'n konstante verhouding, terwyl daar nie 'n konstante verskil of 'n konstante verhouding tussen grade Celsius en grade Fahrenheit is nie. Daar is egter 'n affine transformasie (${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$, eerder as 'n lineêre transformasie ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$) tussen hulle.

Die vriespunt van water is byvoorbeeld 0 ° C en 32 ° F (0 ° C), en 'n verandering van 5 ° C is dieselfde as 'n verandering van 9 ° F (-13 ° C). Om van eenhede Fahrenheit na eenhede Celsius om te skakel, trek een dus 32 ° F (die verrekening vanaf die verwysingspunt) af, deel dit met 9 ° F (-13 ° C) en vermenigvuldig dit met 5 ° C (skaal volgens die verhouding eenhede) en voeg 0 ° C by (die verrekening vanaf die verwysingspunt). Om dit te keer, is die formule om 'n hoeveelheid in eenhede Celsius uit eenhede Fahrenheit te verkry; 'n mens sou met die ekwivalensie tussen 100 ° C en 212 ° F (100 ° C) kon begin, alhoewel dit aan die einde dieselfde formule sou oplewer.

Om die numeriese hoeveelheid waarde van 'n temperatuur T [F] in grade Fahrenheit om te skakel na 'n numeriese hoeveelheid waarde T [C] in grade Celsius, kan hierdie formule dus gebruik word:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9.

Om T [C] in grade Celsius in T [F] in grade Fahrenheit om te skakel, kan hierdie formule gebruik word:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Dimensionele analise word meestal in fisika en chemie - en in die wiskunde daarvan - gebruik, maar vind ook toepassings buite die velde.

Wiskunde

'N Eenvoudige toepassing van dimensionele analise op wiskunde is om die vorm van die volume van 'n n- bal (die soliede bal in n dimensies) of die oppervlakte van die oppervlak, die n- sfeer te bereken : 'n n- dimensionele figuur, die volume skale as${\ displaystyle x ^ {n},}$ terwyl die oppervlakte, synde ${\ displaystyle (n-1)}$-dimensioneel, skale as ${\ displaystyle x ^ {n-1}.}$Dus is die volume van die n- bal in terme van die radius${\ displaystyle C_ {n} r ^ {n},}$ vir sommige konstante ${\ displaystyle C_ {n}.}$ Die bepaling van die konstante neem meer betrokke wiskunde, maar die vorm kan afgelei en nagegaan word deur slegs dimensionele analise.

Finansies, ekonomie en rekeningkunde

In finansies, ekonomie en rekeningkunde word meestal na dimensionele analise verwys in terme van die onderskeid tussen aandele en vloei . Meer algemeen word dimensionele analise gebruik om verskillende finansiële verhoudings , ekonomiese verhoudings en rekeningkundige verhoudings te interpreteer .

• Die P / E-verhouding het byvoorbeeld dimensies van tyd (eenhede van jare), en kan geïnterpreteer word as 'verdienstejare om die betaalde prys te verdien'.
• In die ekonomie het die skuld-tot-BBP-verhouding ook eenhede van jare (skuld het eenhede van valuta, die BBP het eenhede van valuta / jaar).
• In finansiële ontledings het sommige tye van die verbandduur ook 'n tydsdimensie (jaareenheid) en kan dit geïnterpreteer word as 'jare tot balanspunt tussen rentebetalings en nominale terugbetaling'.
• Snelheid van geld het eenhede van 1 / jaar (BBP / geldvoorraad het eenhede van valuta / jaar bo geldeenheid): hoe gereeld sirkuleer 'n eenheid geldeenheid per jaar.
• Rentekoerse word dikwels uitgedruk as 'n persentasie, maar meer korrek persent per jaar, met 'n afmeting van 1 / jaar.

Vloeistof meganika

In vloeistofmeganika word dimensionele analise uitgevoer om dimensielose pi-terme of groepe te verkry. Volgens die beginsels van dimensionele analise kan enige prototipe beskryf word deur 'n reeks van hierdie terme of groepe wat die gedrag van die stelsel beskryf. Met behulp van geskikte pi-terme of -groepe is dit moontlik om 'n soortgelyke stel pi-terme te ontwikkel vir 'n model wat dieselfde dimensionele verwantskappe het. ^[8] Met ander woorde, pi-terme bied 'n kortpad om 'n model te ontwikkel wat 'n bepaalde prototipe voorstel. Algemene dimensielose groepe in vloeistofmeganika sluit in:

• Reynolds-nommer (Re), gewoonlik belangrik in alle soorte vloeistofprobleme:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho \, ud} {\ mu}}}$.

• Froude nommer (Fr), modellering vloei met 'n vrye oppervlak:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g \, L}}}.}$

• Eulernommer (Eu), gebruik in probleme waarin druk van belang is:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {\ Delta p} {\ rho u ^ {2}}}.}$

• Mach-getal (Ma), belangrik in hoëspoedvloei waar die snelheid die plaaslike klanksnelheid nader of oorskry:

  ${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {u} {c}},}$waar: c die plaaslike klanksnelheid is.

Die oorsprong van dimensionele analise is deur geskiedkundiges betwis. ^{[9] [10]}

Die eerste geskrewe toepassing van dimensionele analise is toegeskryf aan 'n artikel van François Daviet by die Turin Academy of Science. Daviet het die meester Lagrange as onderwyser gehad. Sy fundamentele werke is vervat in acta van die Akademie van 1799. ^[10]

Dit het gelei tot die gevolgtrekking dat betekenisvolle wette homogene vergelykings in hul verskillende meeteenhede moet wees, wat uiteindelik in die Buckingham π-stelling geformaliseer is . Simeon Poisson het ook dieselfde probleem van die parallelogramwet deur Daviet behandel in sy verhandeling van 1811 en 1833 (deel I, bl. 39). ^[11] In die tweede uitgawe van 1833 lei Poisson die term dimensie eksplisiet in plaas van die Daviet- homogeniteit .

In 1822 lewer die belangrike Napoleontiese wetenskaplike Joseph Fourier die eerste gekrediteerde belangrike bydraes ^{[12] op} grond van die idee dat fisiese wette soos F = ma onafhanklik moet wees van die eenhede wat gebruik word om die fisiese veranderlikes te meet.

James Clerk Maxwell het 'n belangrike rol gespeel in die vestiging van moderne gebruik van dimensionele analise deur massa, lengte en tyd as fundamentele eenhede te onderskei, terwyl hy na ander eenhede verwys as afgelei. ^[13] Alhoewel Maxwell lengte, tyd en massa as "die drie fundamentele eenhede" gedefinieer het, het hy ook opgemerk dat gravitasiemassa van lengte en tyd afgelei kan word deur 'n vorm van die wet van universele gravitasie in Newton aan te neem waarin die gravitasiekonstante G is as eenheid geneem en daardeur definieer M = T ⁻² L ³ . ^[14] Deur die aanvaarding van 'n vorm van Coulomb se wet in wat Coulomb se konstante k _e as eenheid geneem word, Maxwell dan bepaal dat die afmetings van 'n elektrostatiese eenheid van lading was Q = T ^-1 L ^02/03 M ^1/2 , ^{[15 ]} wat, nadat vervang sy M = T ^-2 L ³ vergelyking vir massa, resultate in beheer met dieselfde afmetings as massa, nl. Q = T ⁻² L ³ .

Dimensionele analise word ook gebruik om verwantskappe af te lei tussen die fisiese groottes wat betrokke is by 'n bepaalde verskynsel wat 'n mens wil verstaan ​​en kenmerk. Dit is die eerste keer ( Pesic 2005 ) op hierdie manier in 1872 deur Lord Rayleigh gebruik , wat probeer verstaan ​​het waarom die lug blou is. Rayleigh publiseer die tegniek vir die eerste keer in sy 1877-boek The Theory of Sound . ^[16]

Die oorspronklike betekenis van die woord dimensie , in Fourier se Theorie de la Chaleur , was die numeriese waarde van die eksponente van die basiseenhede. Versnelling word byvoorbeeld beskou as die dimensie 1 ten opsigte van die lengte-eenheid, en die dimensie −2 ten opsigte van die eenheid van tyd. ^[17] Dit is effens verander deur Maxwell, wat gesê het dat die afmetings van versnelling T ⁻² L is, in plaas van net die eksponente. ^[18]

Die stelling van Buckingham π beskryf hoe elke fisies betekenisvolle vergelyking met n veranderlikes gelykwaardig herskryf kan word as 'n vergelyking van n - m dimensielose parameters, waar m die rang van die dimensionele matriks is. Verder, en die belangrikste, bied dit 'n metode om hierdie dimensielose parameters uit die gegewe veranderlikes te bereken.

A dimensionele vergelyking kan die dimensies verminder of uitgeskakel deur het nondimensionalization , wat begin met dimensionele analise, en behels skalering hoeveelhede deur kenmerkende eenhede van 'n stelsel of natuurlike eenhede van die natuur. Dit gee insig in die fundamentele eienskappe van die stelsel, soos geïllustreer in die voorbeelde hieronder.

Definisie

Die dimensie van 'n fisiese hoeveelheid kan uitgedruk word as 'n produk van die basiese fisiese dimensies soos lengte , massa en tyd, elk tot 'n rasionele krag verhoog . Die dimensie van 'n fisiese hoeveelheid is meer fundamenteel as 'n skaaleenheid wat gebruik word om die hoeveelheid van die fisiese hoeveelheid uit te druk. Massa is byvoorbeeld 'n dimensie, terwyl die kilogram 'n spesifieke skaaleenheid is wat gekies word om 'n hoeveelheid massa uit te druk. Behalwe vir natuurlike eenhede , is die keuse van skaal kultureel en arbitrêr.

Daar is baie moontlike keuses van basiese fisiese dimensies. Die SI-standaard beveel die gebruik van die volgende afmetings en ooreenstemmende simbole aan: tyd (T), lengte (L), massa (M), elektriese stroom (I), absolute temperatuur (Θ), hoeveelheid stof (N) en ligsterkte (J). Die simbole word volgens konvensie gewoonlik in Romeinse sans serif- lettertipes geskryf. ^[19] Wiskundig word die dimensie van die hoeveelheid Q gegee deur

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {Q} = {\ mathsf {T}} ^ {a} {\ mathsf {L}} ^ {b} {\ mathsf {M}} ^ {c} {\ mathsf {I}} ^ {d} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {e} {\ mathsf {N}} ^ {f} {\ mathsf {J}} ^ {g}}$

waar a , b , c , d , e , f , g die dimensionele eksponente is. Ander fisiese hoeveelhede kan as die basishoeveelhede gedefinieer word, solank dit 'n lineêre onafhanklike basis vorm . 'N Mens kan byvoorbeeld die dimensie (I) van die elektriese stroom van die SI-basis vervang deur 'n dimensie (Q) van elektriese lading , aangesien Q = TI.

As voorbeelde, die dimensie van die fisiese hoeveelheid spoed v is

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} = {\ mathsf {T}} ^ {- 1} {\ mathsf {L}}}$

en die dimensie van die fisiese hoeveelheid krag F is

${\ displaystyle {\ text {dim}} ~ F = {\ text {massa}} \ times {\ text {acceleration}} = {\ text {mass}} \ times {\ frac {\ text {length}} { {\ text {time}} ^ {2}}} = {\ frac {{\ mathsf {L}} {\ mathsf {M}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} = {\ mathsf {T}} ^ {- 2} {\ mathsf {L}} {\ mathsf {M}}}$

Die eenheid wat gekies word om 'n fisiese hoeveelheid en die dimensie daarvan uit te druk, is verwant, maar nie identies nie. Die eenhede van 'n fisiese hoeveelheid word volgens konvensie gedefinieer en hou verband met een of ander standaard; lengte kan eenhede van meter, voet, duim, myl of mikrometer hê; maar elke lengte het altyd 'n dimensie van L, ongeag watter lengte-eenhede gekies word om dit uit te druk. Twee verskillende eenhede van dieselfde fisiese hoeveelheid het omskakelingsfaktore wat dit verband hou. Byvoorbeeld, 1 in = 2,54 cm; in hierdie geval (2,54 cm / in) is die omskakelingsfaktor, wat self dimensieloos is. Die vermenigvuldiging met die omskakelingsfaktor verander dus nie die afmetings van 'n fisiese hoeveelheid nie.

Daar is ook natuurkundiges wat die bestaan ​​van onversoenbare fundamentele dimensies van fisiese hoeveelheid betwyfel het, ^[20] hoewel dit nie die nut van dimensionele analise ongeldig maak nie.

Wiskundige eienskappe

Die dimensies wat gevorm kan word uit 'n bepaalde versameling basiese fisiese dimensies, soos T, L en M, vorm 'n abelse groep : Die identiteit word geskryf as 1; ^{[ aanhaling nodig ]} L ⁰ = 1 , en die inverse van L is 1 / L of L ^-1 . L opgewek om enige rasionele krag p is 'n lid van die groep, met 'n omgekeerde van L ^{- p} of 1 / L ^p . Die werking van die groep is vermenigvuldiging, met die gewone reëls vir die hantering van eksponente ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} ).

Hierdie groep kan beskryf word as 'n vektorruimte oor die rasionale getalle, met byvoorbeeld die dimensionele simbool T ⁱ L ^j M ^{k wat} ooreenstem met die vektor ( i , j , k ) . Wanneer fisiese gemete hoeveelhede (hetsy hulle ewe-of anders-dimensioneel is) vermenigvuldig of gedeel word, word hul dimensie-eenhede eweneens vermenigvuldig of gedeel; dit stem ooreen met optelling of aftrekking in die vektorruimte. Wanneer meetbare groottes tot 'n rasionele mag verhoog word, word dieselfde gedoen aan die dimensionele simbole wat aan daardie groottes gekoppel is; dit stem ooreen met skalêre vermenigvuldiging in die vektorruimte.

'N Basis vir so 'n vektorruimte van dimensionele simbole word 'n stel basishoeveelhede genoem , en alle ander vektore word afgeleide eenhede genoem. Soos in enige vektorruimte, kan 'n mens verskillende basisse kies wat verskillende stelsels eenhede oplewer (bv. Om te kies of die eenheid vir lading van die eenheid vir stroom afgelei word, of andersom).

Die groepsidentiteit, die dimensie van dimensielose hoeveelhede, stem ooreen met die oorsprong in hierdie vektorruimte.

Die versameling eenhede van die fisiese groothede wat by 'n probleem betrokke is, stem ooreen met 'n stel vektore (of 'n matriks). Die nietigheid beskryf 'n aantal (bv. M ) maniere waarop hierdie vektore gekombineer kan word om 'n nulvektor te produseer. Dit stem ooreen met die vervaardiging (uit die metings) van 'n aantal dimensielose hoeveelhede, {π ₁ , ..., π _m }. (In werklikheid strek hierdie maniere heeltemal die nul-subruimte van 'n ander verskillende ruimte, van die magte van die metings.) Elke moontlike manier om die gemete hoeveelhede te vermenigvuldig (en eksponentieer ) om iets met dieselfde eenhede te produseer as 'n afgeleide hoeveelheid X kan uitgedruk word. in die algemene vorm

${\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ pi _ {i}) ^ {k_ {i}} \ ,.}$

Gevolglik kan elke moontlike eweredige vergelyking vir die fisika van die stelsel in die vorm herskryf word

${\ displaystyle f (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ..., \ pi _ {m}) = 0 \ ,.}$

Om hierdie beperking te ken, kan 'n kragtige instrument wees om nuwe insig in die stelsel te verkry.

Meganika

Die dimensie van fisiese hoeveelhede wat belangstel in meganika kan uitgedruk word in terme van die basisafmetings T, L en M - dit vorm 'n 3-dimensionele vektorruimte. Dit is nie die enigste geldige keuse van basisafmetings nie, maar wel die mees gebruikte keuse. 'N Mens kan byvoorbeeld krag, lengte en massa kies as die basisafmetings (soos sommige gedoen het), met gepaardgaande afmetings F, L, M; dit kom ooreen met 'n ander basis, en 'n mens kan tussen hierdie voorstellings omskakel deur 'n basis te verander . Die keuse van die basisreeks dimensies is dus 'n konvensie met die voordeel van verhoogde nut en vertroudheid. Die keuse van basisafmetings is nie heeltemal willekeurig nie, want dit moet 'n basis vorm : hulle moet oor die ruimte strek en lineêr onafhanklik wees .

F, L, M vorm byvoorbeeld 'n stel fundamentele afmetings omdat hulle 'n basis vorm wat gelykstaande is aan T, L, M: die voormalige kan uitgedruk word as [F = LM / T ² ], L, M, terwyl die laasgenoemde kan uitgedruk word as [T = (LM / F) ^1/2 ], L, M.

Aan die ander kant vorm lengte, snelheid en tyd (T, L, V) om twee redes nie 'n stel basisafmetings vir meganika nie:

• Daar is geen manier om massa te verkry - of iets wat daaruit afgelei word nie, soos krag - sonder om 'n ander basisdimensie in te voer (dus strek hulle nie oor die ruimte nie ).
• Snelheid, uitdruklik in terme van lengte en tyd (V = L / T), is oorbodig (die versameling is nie lineêr onafhanklik nie ).

Ander velde fisika en chemie

Afhangend van die veld van fisika, kan dit voordelig wees om die een of ander uitgebreide stel dimensionele simbole te kies. In elektromagnetisme kan dit byvoorbeeld nuttig wees om afmetings van T, L, M en Q te gebruik, waar Q die dimensie van elektriese lading voorstel . In termodinamika word die basisversameling van afmetings dikwels uitgebrei om 'n dimensie vir temperatuur, include, in te sluit. In chemie, die hoeveelheid stof (die aantal molekules gedeel deur die Avogadro-konstante , ≈6.02 × 10 ²³  mol ⁻¹ ) word ook gedefinieer as 'n basisdimensie, N. In die interaksie van relativistiese plasma met sterk laserpulse word 'n dimensielose relativistiese ooreenkomsparameter , gekoppel aan die simmetrie-eienskappe van die botsingslose Vlasov-vergelyking , gekonstrueer uit die plasma-, elektron- en kritieke digthede bykomend tot die elektromagnetiese vektorpotensiaal. Die keuse van die afmetings of selfs die aantal afmetings wat op verskillende terreine van die fisika gebruik moet word, is tot 'n mate arbitrêr, maar die gebruiks konsekwentheid en die gemak van kommunikasie is algemene en noodsaaklike kenmerke.

Polinome en transendentale funksies

Skaalargumente vir transendentale funksies soos eksponensiële , trigonometriese en logaritmiese funksies, of na inhomogene polinome , moet dimensielose groottes wees . (Let wel: hierdie vereiste is ietwat ontspanne in Siano se oriënteringsontleding wat hieronder beskryf word, waarin die vierkant van sekere afmetings groot is.)

Terwyl die meeste wiskundige identiteite oor dimensielose getalle reguit vertaal word in dimensionele hoeveelhede, moet daar met logaritmes van verhoudings omgesien word: die identiteitslog (a / b) = log a - log b, waar die logaritme in enige basis geneem word, hou vir dimensielose getalle a en b, maar dit hou nie vas as a en b dimensioneel is nie, want in hierdie geval is die linkerkant goed gedefinieerd, maar die regterkant nie.

Net so, terwyl mens monomiale ( x ⁿ ) van dimensionele hoeveelhede kan evalueer, kan jy nie polinome van gemengde graad met dimensielose koëffisiënte op dimensionele hoeveelhede evalueer nie: vir x ² is die uitdrukking (3 m) ²  = 9 m ² sinvol (as 'n area ), terwyl die uitdrukking (3 m) ²  + 3 m = 9 m ²  + 3 m vir x ²  +  x nie sin het nie.

Polinome van gemengde graad kan egter sinvol wees as die koëffisiënte geskik is vir fisiese groottes wat nie dimensieloos is nie. Byvoorbeeld,

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2}}} \ right) \ cdot t ^ {2} + \ left (500 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}} \ right) \ cdot t.}$

Dit is die hoogte waarop 'n voorwerp styg in tyd  t as die versnelling van swaartekrag 9,8 meter per sekonde per sekonde is en die aanvanklike opwaartse spoed 500 meter per sekonde is. Dit is nie nodig om t binne sekondes te wees nie . Gestel byvoorbeeld t  = 0,01 minute. Dan sou die eerste termyn wees

${\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2} }} \ right) \ cdot (0.01 {\ text {minute}}) ^ {2} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ regs \ links ({\ frac {\ teks {minuut}} {\ teks {tweede}}} \ regs) ^ {2} \ cdot {\ teks {meter}} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ cdot 60 ^ {2} \ cdot {\ text {meter}}. \ end { gerig}}}$

Inlywende eenhede

Die waarde van 'n dimensionele fisiese hoeveelheid Z word geskryf as die produk van 'n eenheid [ Z ] binne die dimensie en 'n dimensielose numeriese faktor, n . ^[21]

${\ displaystyle Z = n \ keer [Z] = n [Z]}$

Wanneer gelykvormige hoeveelhede bygevoeg of afgetrek of vergelyk word, is dit handig om dit in konsekwente eenhede uit te druk sodat die numeriese waardes van hierdie hoeveelhede direk bygevoeg of afgetrek kan word. Maar, in die konsep, is daar geen probleem om hoeveelhede van dieselfde dimensie, uitgedruk in verskillende eenhede, by te voeg nie. Byvoorbeeld, 1 meter wat by 1 voet gevoeg is, is 'n lengte, maar 'n mens kan die lengte nie aflei deur eenvoudig 1 en 1 by te voeg nie. 'N Omskakelingsfaktor , wat 'n verhouding is van ewe groot hoeveelhede en gelyk is aan die dimensielose eenheid, is nodig:

${\ displaystyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0.3048 \ {\ text {m}} \}$ is identies aan ${\ displaystyle 1 = {\ frac {0.3048 \ {\ text {m}}} {1 \ {\ text {ft}}}}. \}$

Die faktor ${\ displaystyle 0.3048 \ {\ frac {\ text {m}} {\ mbox {ft}}}}$is identies aan die dimensielose 1, dus vermenigvuldig met hierdie omskakelingsfaktor verander niks. Wanneer dan twee hoeveelhede soortgelyke dimensies, maar uitgedruk in verskillende eenhede, bygevoeg word, word die toepaslike omskakelingsfaktor, wat in wese die dimensielose 1 is, gebruik om die hoeveelhede in identiese eenhede om te skakel, sodat hul numeriese waardes bygetel of afgetrek kan word.

Slegs op hierdie manier is dit sinvol om te praat van die toevoeging van ewe groot hoeveelhede verskillende eenhede.

Posisie teenoor verplasing

Sommige besprekings van dimensionele analise beskryf alle groottes implisiet as wiskundige vektore. (In wiskunde skalare word beskou as 'n spesiale geval van vektore; ^{[ verwysing benodig ]} . Vektore kan bygevoeg word of afgetrek word van ander vektore, en, onder andere, vermenigvuldig of gedeel deur skalare As 'n vektor is wat gebruik word om 'n posisie te definieer, hierdie veronderstel 'n implisiete verwysingspunt: 'n oorsprong . Alhoewel dit nuttig en dikwels heeltemal voldoende is, sodat baie belangrike foute vasgevang kan word, kan dit sekere aspekte van fisika nie model nie. 'n Strenger benadering vereis dat daar onderskei moet word tussen posisie en verplasing (of tyd versus duur, of absolute temperatuur teenoor temperatuurverandering).

Beskou punte op 'n lyn, elk met 'n posisie ten opsigte van 'n gegewe oorsprong, en afstande tussen hulle. Posisies en verplasings het almal lengte-eenhede, maar die betekenis daarvan is nie uitruilbaar nie:

• die toevoeging van twee verplasings moet 'n nuwe verplasing oplewer (om tien treë te loop, dan kry jy twintig treë vorentoe),
• as u 'n verplasing by 'n posisie voeg, moet dit 'n nuwe posisie oplewer (as u een straat straat loop vanaf 'n kruising, kom u na die volgende kruising),
• om twee posisies af te trek, moet dit verplaas word,
• maar 'n mens mag nie twee posisies byvoeg nie.

Dit illustreer die subtiele onderskeid tussen affiene hoeveelhede (eenhede gemodelleer deur 'n affine ruimte , soos posisie) en vektorgroottes (een wat gemodelleer word deur 'n vektorruimte , soos verplasing).

• Vektorhoeveelhede kan bymekaar gevoeg word, wat 'n nuwe vektorhoeveelheid lewer, en 'n vektorhoeveelheid kan bygevoeg word by 'n geskikte affinehoeveelheid ('n vektorruimte werk op ' n affinale ruimte), wat 'n nuwe affine hoeveelheid lewer.
• Affine hoeveelhede kan nie bygevoeg word nie, maar kan afgetrek word, wat relatiewe hoeveelhede lewer wat vektore is, en hierdie relatiewe verskille kan dan aan mekaar of 'n affine hoeveelheid gevoeg word.

Op die regte manier het posisies dimensie van affinale lengte, terwyl verplasings dimensie van vektorduur het . Om 'n getal aan 'n affine eenheid toe te ken, moet u nie net 'n meeteenheid kies nie, maar ook 'n verwysingspunt , terwyl 'n getal aan 'n vektoreenheid slegs 'n meeteenheid benodig word.

Dus word sommige fisiese groothede beter gemodelleer deur vektorhoeveelhede, terwyl ander geneig is om affinale voorstelling te vereis, en die onderskeid word weerspieël in hul dimensionele analise.

Hierdie onderskeid is veral belangrik in die geval van temperatuur, waarvoor die numeriese waarde van absolute nul in sommige skale nie die oorsprong 0 is nie. Vir absolute nul,

−273,15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459,67 ° F,

waar die simbool ≘ beteken, ooreenstem , aangesien alhoewel hierdie waardes op die onderskeie temperatuurskale ooreenstem, hulle verskillende hoeveelhede op dieselfde manier voorstel as dat die afstande van verskillende beginpunte tot dieselfde eindpunt duidelike hoeveelhede is en in die algemeen nie gelykgestel kan word nie.

Vir temperatuurverskille,

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F (−17 ° C) = 1 ° R.

(Hier verwys ° R na die Rankine-skaal , nie na die Réaumur-skaal nie ). Eenheidsomskakeling vir temperatuurverskille is eenvoudig 'n kwessie van vermenigvuldig met, byvoorbeeld, 1 ° F / 1 K (hoewel die verhouding nie 'n konstante waarde is nie). Maar omdat sommige van hierdie skale oorsprong het wat nie ooreenstem met absolute nul nie, moet die omskakeling van een temperatuurskaal na 'n ander daarvoor rekening hou. As gevolg hiervan kan eenvoudige dimensionele analise tot foute lei as dit dubbelsinnig is of 1 K die absolute temperatuur gelyk is aan -272,15 ° C, of ​​die temperatuurverskil gelyk aan 1 ° C.

Oriëntasie en verwysingsraamwerk

Soortgelyk aan die uitreiking van 'n verwysingspunt is die oriëntasieprobleem: 'n verplasing in 2 of 3 dimensies is nie net 'n lengte nie, maar is 'n lengte saam met 'n rigting . (Hierdie kwessie kom nie in 1 dimensie voor nie, of is eerder gelykstaande aan die onderskeid tussen positief en negatief.) Om tweedimensionele groothede in 'n multidimensionele ruimte te vergelyk of te kombineer, moet u ook 'n oriëntasie hê: dit moet vergelyk word na 'n verwysingsraamwerk .

Dit lei tot die onderstaande uitbreidings , naamlik Huntley se gerigte dimensies en Siano se oriënteringsanalise.

'N Eenvoudige voorbeeld: periode van 'n harmoniese ossillator

Wat is die periode van ossillasie T van 'n massa m verbonde aan 'n ideale lineêre veer met veerkonstante k hangend in sterkte g ? Hierdie periode is die oplossing vir T van 'n dimensielose vergelyking in die veranderlikes T , m , k en g . Die vier hoeveelhede het die volgende afmetings: T [T]; m [M]; k [M / T ² ]; en g [L / T ² ]. Hieruit kan ons slegs een dimensielose produk van kragte van ons gekose veranderlikes vorm,${\ displaystyle G_ {1}}$ = ${\ displaystyle T ^ {2} k / m}$ [T ² · M / T ² / M = 1] , en sit${\ displaystyle G_ {1} = C}$vir sommige dimensielose konstante gee C die dimensielose vergelyking wat gesoek word. Daar word soms na die dimensielose produk van magte van veranderlikes verwys as 'n dimensielose groep veranderlikes; hier beteken die term "groep" eerder "versameling" as wiskundige groep . Hulle word dikwels ook dimensielose getalle genoem .

Let daarop dat die veranderlike g nie in die groep voorkom nie. Dit is maklik om te sien dat dit onmoontlik is om 'n dimensielose produk van kragte te vorm wat g met k , m en T kombineer , want g is die enigste hoeveelheid wat die dimensie L. behels. Dit impliseer dat die g irrelevant is in hierdie probleem . Dimensionele analise kan soms sterk uitsprake lewer oor die irrelevansie van sommige hoeveelhede in die probleem, of die behoefte aan addisionele parameters. As ons genoeg veranderlikes gekies het om die probleem behoorlik te beskryf, kan ons uit hierdie argument aflei dat die massatydperk op die lente onafhanklik is van g : dit is dieselfde op die aarde of die maan. Die vergelyking wat die bestaan ​​van 'n produk van kragte vir ons probleem aantoon, kan op 'n heeltemal ekwivalente manier geskryf word:${\ displaystyle T = \ kappa {\ sqrt {\ tfrac {m} {k}}}}$, vir een of ander dimensielose konstante κ (gelyk aan${\ displaystyle {\ sqrt {C}}}$ van die oorspronklike dimensielose vergelyking).

In die geval waar dimensionele analise 'n veranderlike ( g , hier) verwerp wat 'n mens intuïtief verwag om in 'n fisiese beskrywing van die situasie te behoort, is 'n ander moontlikheid dat die verwerpte veranderlike wel relevant is, maar dat 'n ander relevante veranderlike weggelaat, wat moontlik kan kombineer met die afgekeurde veranderlike om 'n dimensielose hoeveelheid te vorm. Dit is egter nie hier die geval nie.

Wanneer dimensionele analise slegs een dimensielose groep oplewer, soos hier, is daar geen onbekende funksies nie, en die oplossing word gesê dat dit "volledig" is - hoewel dit steeds onbekende dimensielose konstantes, soos κ , kan behels .

'N Meer komplekse voorbeeld: energie van 'n vibrerende draad

Beskou die geval van 'n trillende draad van lengte ℓ (L) wat met 'n amplitude A (L) vibreer . Die draad het 'n lineêre digtheid ρ (M / L) en is onder spanning s (LM / T ² ), en ons wil die energie E (L ² M / T ² ) in die draad ken. Laat π ₁ en π ₂ twee dimensielose kragteprodukte van die gekose veranderlikes wees, gegee deur

${\ displaystyle {\ begin {align} \ pi _ {1} & = {\ frac {E} {As}} \\\ pi _ {2} & = {\ frac {\ ell} {A}}. \ einde {belyn}}}$

Die lineêre digtheid van die draad is nie betrokke nie. Die twee groepe wat gevind word, kan as vergelyking in 'n ekwivalente vorm gekombineer word

${\ displaystyle F \ left ({\ frac {E} {As}}, {\ frac {\ ell} {A}} \ right) = 0,}$

waar F een of ander onbekende funksie is, of, gelykstaande aan

${\ displaystyle E = Asf \ left ({\ frac {\ ell} {A}} \ right),}$

waar f 'n ander onbekende funksie is. Hier impliseer die onbekende funksie dat ons oplossing nou onvolledig is, maar dimensionele analise het ons iets gegee wat miskien nie voor die hand liggend was nie: die energie is eweredig aan die eerste krag van die spanning. Blokkeer verder analitiese ontleding, kan ons voortgaan om eksperimente op die vorm vir die onbekende funksie ontdek f . Maar ons eksperimente is eenvoudiger as in die afwesigheid van dimensionele analise. Ons doen niks om te verifieer dat die energie eweredig is aan die spanning nie. Of miskien kan ons raai dat die energie eweredig is aan ℓ , en so aflei dat E = ℓs . Die krag van dimensionele analise as hulpmiddel om te eksperimenteer en die vorming van hipoteses word duidelik.

Die krag van dimensionele analise word duidelik wanneer dit toegepas word op situasies, anders as hierbo gegee, wat ingewikkelder is, die betrokke veranderlikes nie duidelik is nie en die onderliggende vergelykings hopeloos kompleks. Beskou byvoorbeeld 'n klein klippie wat op die bedding van 'n rivier sit. As die rivier vinnig genoeg vloei, verhoog dit die klippie en laat dit saam met die water vloei. Met watter kritieke snelheid sal dit plaasvind? Dit is nie so maklik om die geraamde veranderlikes uit te sorteer soos voorheen nie. Maar dimensionele analise kan 'n kragtige hulpmiddel wees om probleme soos hierdie te verstaan, en is gewoonlik die heel eerste instrument wat toegepas word op komplekse probleme waar die onderliggende vergelykings en beperkings sleg verstaan ​​word. In sulke gevalle kan die antwoord afhang van 'n dimensielose getal soos die Reynolds-getal , wat geïnterpreteer kan word deur dimensionele analise.

'N Derde voorbeeld: vraag versus kapasiteit vir 'n roterende skyf

Dimensionele analise en numeriese eksperimente vir 'n roterende skyf

Beskou die geval van 'n dun, soliede, ewewydige roterende skyf met die asdikte t (L) en die radius R (L). Die skyf het 'n digtheid ρ (M / L ³ ), draai teen 'n hoeksnelheid ω (T ^-1 ) en dit lei tot 'n spanning S (T ^-2 L ^-1 M) in die materiaal. Daar is 'n teoretiese lineêre elastiese oplossing, gegee deur Lame, vir hierdie probleem wanneer die skyf dun is in verhouding tot sy radius, die vlakke van die skyf vry is om aksiaal te beweeg, en daar kan aanvaar word dat die konstitutiewe verhoudings van die vlak geldig is. Namate die skyf dikker word in verhouding tot die radius, breek die platspanning-oplossing af. As die skyf aksiaal op die vrye vlakke vasgehou word, sal 'n vlak van spanning voorkom. As dit egter nie die geval is nie, kan die spanning van die spanning slegs bepaal word deur die oorweging van driedimensionele elastisiteit en is daar geen teoretiese oplossing vir hierdie geval nie. 'N Ingenieur kan dus belangstel om 'n verband tussen die vyf veranderlikes vas te stel. Dimensionele analise vir hierdie geval lei tot die volgende (5 - 3 = 2) nie-dimensionele groepe:

vraag / kapasiteit = ρR ² ω ² / S

dikte / radius of beeldverhouding = t / R

Deur gebruik te maak van numeriese eksperimente met behulp van byvoorbeeld die eindige elementmetode , kan die aard van die verhouding tussen die twee nie-dimensionele groepe verkry word soos in die figuur getoon. Aangesien hierdie probleem slegs twee nie-dimensionele groepe behels, word die volledige prentjie in 'n enkele plot gegee en kan dit gebruik word as 'n ontwerp- / assesseringskaart vir roterende skyfies ^[22]

Huntley se uitbreiding: gerigte afmetings en hoeveelheid materie

Huntley ( Huntley 1967 ) het daarop gewys dat 'n dimensionele analise kragtiger kan word deur nuwe onafhanklike dimensies in die hoeveelhede wat oorweeg word, te ontdek en sodoende die rang te verhoog${\ displaystyle m}$van die dimensionele matriks. Hy het twee benaderings ingestel om dit te doen:

• Die grootte van die komponente van 'n vektor moet as dimensioneel onafhanklik beskou word. In plaas van 'n ongedifferensieerde lengte-dimensie L, kan ons byvoorbeeld hê dat L _{x die} dimensie in die x-rigting voorstel, ensovoorts. Hierdie vereiste spruit uiteindelik uit die vereiste dat elke komponent van 'n fisies betekenisvolle vergelyking (skalaar, vektor of tensor) dimensioneel konsekwent moet wees.
• Massa as maatstaf vir die hoeveelheid materie moet as onafhanklikheid van massa as 'n mate van traagheid beskou word.

Gestel as voorbeeld van die bruikbaarheid van die eerste benadering, wil ons die afstand bereken wat ' n kanonkoeël aflê as dit met 'n vertikale snelheidskomponent afgevuur word${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$ en 'n horisontale snelheidskomponent ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$as ons aanvaar dat dit op 'n plat oppervlak afgevuur word. As ons aanneem dat geen gerigte lengtes gebruik word nie, is die hoeveelhede belangstelling dan${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$, ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$, beide gedimensioneer as T ⁻¹ L, R , die afgelegde afstand, met dimensie L, en g die afwaartse versnelling van swaartekrag, met dimensie T ⁻² L.

Met hierdie vier hoeveelhede kan ons aflei dat die vergelyking vir die reeks R geskryf kan word:

${\ displaystyle R \ propto V _ {\ text {x}} ^ {a} \, V _ {\ text {y}} ^ {b} \, g ^ {c}. \,}$

Of dimensioneel

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} = \ links ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ regs) ^ {a + b} \ links ({\ frac {\ mathsf {L}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ regs) ^ {c} \,}$

waaruit ons dit kan aflei ${\ displaystyle a + b + c = 1}$ en ${\ displaystyle a + b + 2c = 0}$, wat een eksponent onbepaald laat. Dit is te verwagte aangesien ons twee fundamentele dimensies T en L en vier parameters het, met een vergelyking.

As ons egter gerigte lengte-afmetings gebruik, dan ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$sal gedimensioneer word as T ⁻¹ L _x ,${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$as T ⁻¹ L _y , R as L _x en g as T ⁻² L _y . Die dimensionele vergelyking word:

${\ displaystyle {\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}} = \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}}} {\ mathsf {T}}} \ regs) ^ {a} \ links ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {\ mathsf {T}}} \ regs) ^ {b} \ links ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ regs) ^ {c}}$

en ons kan heeltemal oplos soos ${\ displaystyle a = 1}$, ${\ displaystyle b = 1}$ en ${\ displaystyle c = -1}$. Die toename in deduktiewe krag wat verkry word deur die gebruik van gerigte lengte-afmetings is duidelik.

In sy tweede benadering is Huntley van mening dat dit soms nuttig is (bv. In vloeistofmeganika en termodinamika) om te onderskei tussen massa as 'n mate van traagheid (traagheidsmassa) en massa as maatstaf vir die hoeveelheid materie. Hoeveelheid materie word deur Huntley gedefinieer as 'n hoeveelheid (a) eweredig aan traagheidsmassa, maar (b) wat nie traagheidseienskappe impliseer nie. Geen verdere beperkings word by die definisie daarvan gevoeg nie.

Beskou byvoorbeeld die afleiding van die wet van Poiseuille . Ons wil die massasnelheid van 'n viskose vloeistof deur 'n sirkelvormige pyp vind. Sonder om onderskeid te tref tussen traagheid en aansienlike massa, kan ons die toepaslike veranderlikes kies

• ${\ displaystyle {\ dot {m}}}$die massastroomsnelheid met dimensie T ⁻¹ M
• ${\ displaystyle p _ {\ text {x}}}$die drukgradiënt langs die pyp met dimensie T ⁻² L ⁻² M
• ρ die digtheid met dimensie L ⁻³ M
• η die dinamiese vloeistofviskositeit met dimensie T ⁻¹ L ⁻¹ M
• r die radius van die pyp met dimensie L

Daar is drie fundamentele veranderlikes, so die vyf vergelykings hierbo sal twee dimensielose veranderlikes lewer wat ons kan aanvaar ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r}$ en ${\ displaystyle \ pi _ {2} = p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}}$ en ons kan die dimensionele vergelyking as uitdruk

${\ displaystyle C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {\ dot {m}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ regs) ^ {a}}$

waar C en a onbepaalde konstantes is. As ons 'n onderskeid tref tussen traagheidsmassa en dimensie${\ displaystyle M _ {\ text {i}}}$ en hoeveelheid materie met dimensie ${\ displaystyle M _ {\ text {m}}}$, dan sal massavloeitempo en digtheid die hoeveelheid materiaal as die massaparameter gebruik, terwyl die drukgradiënt en viskositeitskoëffisiënt traagheidsmassa sal gebruik. Ons het nou vier fundamentele parameters, en een dimensielose konstante, sodat die dimensionele vergelyking geskryf kan word:

${\ displaystyle C = {\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}}$

waar nou net C 'n onbepaalde konstante is (gelyk aan${\ displaystyle \ pi / 8}$volgens metodes buite dimensionele analise). Hierdie vergelyking kan opgelos word vir die massavloeitempo om die wet van Poiseuille op te lewer .

Huntley se erkenning van hoeveelheid materie as 'n onafhanklike kwantiteitsdimensie is klaarblyklik suksesvol in die probleme waar dit van toepassing is, maar sy definisie van hoeveelheid materie is oop vir interpretasie, aangesien dit nie spesifiek is buite die twee vereistes (a) en (b) nie. gepostuleer daarvoor. Vir 'n gegewe stof, die SI dimensie bedrag van stof , met eenheid mol , bevredig nie Huntley se twee vereistes as 'n maatstaf van die hoeveelheid materie, en kan gebruik word as 'n hoeveelheid materie in enige probleem van dimensionele analise waar konsep Huntley se is van toepassing.

Huntley se konsep van gerigte lengte-afmetings het egter ernstige beperkings:

• Dit handel nie goed met vektorvergelykings waarby die kruisproduk betrokke is nie ,
• dit hanteer ook nie die gebruik van hoeke as fisiese veranderlikes nie.

Dit is ook baie moeilik om die L, L _x , L _y , L _z , simbole toe te ken aan die fisiese veranderlikes wat betrokke is by die probleem van belangstelling. Hy beroep hom op 'n prosedure wat die 'simmetrie' van die fisiese probleem behels. Dit is dikwels baie moeilik om betroubaar toe te pas: dit is onduidelik oor watter dele van die probleem die begrip 'simmetrie' aangeroep word. Is dit die simmetrie van die fisiese liggaam waarop kragte inwerk, of tot die punte, lyne of gebiede waarop kragte toegepas word? Wat as meer as een liggaam betrokke is by verskillende simmetrieë?

Beskou die bolvormige borrel wat aan 'n silindriese buis geheg is, waar 'n mens die vloeitempo van lug wil hê as 'n funksie van die drukverskil in die twee dele. Wat is die verlengde afmetings van Huntley van die viskositeit van die lug wat in die gekoppelde dele is? Wat is die verlengde afmetings van die druk van die twee dele? Is dit dieselfde of anders? Hierdie probleme is verantwoordelik vir die beperkte toepassing van Huntley se gerigte lengte-afmetings op werklike probleme.

Siano se uitbreiding: oriënteringsanalise

Hoeke word volgens konvensie as dimensielose hoeveelhede beskou. Beskou as voorbeeld weer die projektielprobleem waarin 'n puntmassa vanaf die oorsprong ( x , y ) = (0, 0) geloods word met 'n snelheid v en hoek θ bo die x -as, met die swaartekrag langs die negatiewe y- as. Dit is wenslik om die reeks R te vind , waarop die massa terugkeer na die x- as. Konvensionele analise lewer die dimensielose veranderlike π = R g / v ² , maar bied geen insig in die verband tussen R en θ nie .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) het voorgestel dat die gerigte afmetings van Huntley vervang word deur oriënterende simbole 1 _x  1 _y  1 _z te gebruik om _{vektorrigtings} aan te dui, en 'n oriënteringlose simbool 1 ₀ . Dus word Huntley se L _x L1 _x met L wat die dimensie van lengte spesifiseer en 1 _x die oriëntasie. Siano toon verder aan dat die oriëntasiesimbole 'n eie algebra het. Saam met die vereiste dat 1 _i ⁻¹ = 1 _i , is die volgende vermenigvuldigingstabel vir die oriëntasiesimbole:

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccc} & \ mathbf {1_ {0}} & \ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {y}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {z}}} \\\ hline \ mathbf {1_ {0}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z }} \\\ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} \\\ mathbf {1_ {\ text {y}}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} \\\ mathbf {1 _ {\ text {z}}} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} \ end {array}}}$

Let daarop dat die oriëntasiesimbole 'n groep vorm (die Klein viergroep of 'Viergruppe'). In hierdie stelsel het skalare altyd dieselfde oriëntasie as die identiteitselement, onafhanklik van die 'simmetrie van die probleem'. Fisiese groottes wat vektore is, het die verwagte oriëntasie: 'n krag of 'n snelheid in die z-rigting het die oriëntasie van 1 _z . Beskou 'n hoek θ wat in die z-vlak lê vir hoeke . Vorm 'n regte driehoek in die z-vlak met θ een van die skerp hoeke. Die kant van die regte driehoek langs die hoek het dan 1 _x oriëntasie en die teenoorgestelde kant het 1 _y . Aangesien (met behulp van ~ om oriënteringsekwivalensie aan te dui) tan ( θ ) = θ  + ... ~ 1 _y / 1 _{x kom} ons tot die gevolgtrekking dat 'n hoek in die xy-vlak 'n oriëntasie moet hê 1 _y / 1 _x = 1 _z , nie onredelik nie. Analoog redenasie dwing die gevolgtrekking dat sin ( θ ) oriëntasie 1 _{z het} terwyl cos ( θ ) oriëntasie 1 _{0 het} . Dit is verskillend, dus kan 'n mens tot die gevolgtrekking kom (korrek), byvoorbeeld, dat daar geen oplossings is vir fisiese vergelykings wat die vorm a cos ( θ ) + b sin ( θ ) het nie , waar a en b ware skalare is. Let daarop dat 'n uitdrukking soos${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ pi / 2) = \ cos (\ theta)}$ is nie dimensioneel inkonsekwent nie, want dit is 'n spesiale geval van die som van hoeke-formule en moet korrek geskryf word:

${\ displaystyle \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z}} + b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) = \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z} }) \ cos (b \, 1 _ {\ teks {z}} \ regs) + \ sin \ links (b \, 1 _ {\ teks {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ teks {z} } \ regs),}$

wat vir ${\ displaystyle a = \ theta}$ en ${\ displaystyle b = \ pi / 2}$ opbrengste ${\ displaystyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}} + [\ pi / 2] \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z}} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$. Siano onderskei tussen geometriese hoeke, wat 'n oriëntasie in die 3-dimensionele ruimte het, en fasehoeke geassosieer met tydgebaseerde ossillasies, wat geen ruimtelike oriëntasie het nie, dws die oriëntasie van 'n fasehoek is${\ displaystyle 1_ {0}}$.

Die toewysing van oriëntasiesimbole aan fisiese groottes en die vereiste dat fisiese vergelykings oriënterend homogeen moet wees, kan op 'n manier gebruik word wat soortgelyk is aan dimensionele analise om 'n bietjie meer inligting oor aanvaarbare oplossings vir fisiese probleme te verkry. In hierdie benadering stel 'n mens die dimensionele vergelyking op en los dit so ver as wat jy kan. As die laagste krag van 'n fisiese veranderlike breuk is, word albei kante van die oplossing tot 'n krag verhoog sodat alle magte integraal is. Dit plaas dit in 'normale vorm'. Die oriënterende vergelyking word dan opgelos om 'n meer beperkende voorwaarde te gee vir die onbekende magte van die oriënteringssimbole, en kom tot 'n oplossing wat vollediger is as die oplossing wat dimensionele analise gee. Dikwels is die bygevoegde inligting dat een van die magte van 'n sekere veranderlike ewe of onewe is.

As voorbeeld, vir die projektielprobleem, gebruik oriënterende simbole, θ , wat in die xy-vlak is dus dimensie 1 _z en die reikwydte van die projektiel R sal die vorm hê:

${\ displaystyle R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c} {\ text {wat beteken}} {\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ mathrm {x}} \ sim \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ text {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ regs) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ regs) ^ {b} \, 1 _ {\ mathsf {z}} ^ {c}. \,}$

Dimensionele homogeniteit sal nou korrek a = −1 en b = 2 lewer , en oriënterende homogeniteit vereis dat${\ displaystyle 1_ {x} / (1_ {y} ^ {a} 1_ {z} ^ {c}) = 1_ {z} ^ {c + 1} = 1}$. Met ander woorde, dat c 'n vreemde heelgetal moet wees. In werklikheid is die vereiste funksie van theta sin ( θ ) cos ( θ ), wat 'n reeks is wat bestaan ​​uit vreemde kragte van θ .

Daar word gesien dat die Taylor-reeks van sin ( θ ) en cos ( θ ) oriënterend homogeen is met behulp van die bogenoemde vermenigvuldigingstabel, terwyl uitdrukkings soos cos ( θ ) + sin ( θ ) en exp ( θ ) nie is nie, en is (korrek) ) onfisies geag.

Siano se oriënteringsanalise is verenigbaar met die konvensionele opvatting van hoekgroottes as dimensieloos, en binne oriënteringsanalise kan die radiaan steeds as 'n dimensielose eenheid beskou word. Die oriënteringsanalise van 'n hoeveelheidsvergelyking word afsonderlik van die gewone dimensionele analise uitgevoer, wat inligting oplewer wat die dimensionele analise aanvul.

Konstante

Die dimensielose konstantes wat ontstaan ​​in die behaalde resultate, soos die C in die Poiseuille's Law-probleem en die ${\ displaystyle \ kappa}$in die lenteprobleme wat hierbo bespreek is, kom uit 'n meer gedetailleerde ontleding van die onderliggende fisika en ontstaan ​​dikwels uit die integrasie van 'n differensiaalvergelyking. Dimensionele analise op sigself het weinig te sê oor hierdie konstantes, maar dit is nuttig om te weet dat hulle baie dikwels 'n groot orde-eenheid het. Met hierdie waarneming kan 'n mens soms ' agterkant van die koevert ' berekenings maak oor die verskynsel van belangstelling, en dus eksperimente doeltreffender kan ontwerp om dit te meet, of om te oordeel of dit belangrik is, ens.

Formalismes

Paradoksaal genoeg kan dimensionele analise 'n nuttige hulpmiddel wees, selfs al is al die parameters in die onderliggende teorie dimensieloos, bv. Roostermodelle soos die Ising-model kan gebruik word om fase-oorgange en kritiese verskynsels te bestudeer. Sulke modelle kan suiwer dimensieloos geformuleer word. Soos ons die kritieke punt nader en nader benader, word die afstand waaroor die veranderlikes in die roostermodel gekorreleer word (die sogenaamde korrelasielengte,${\ displaystyle \ xi}$) word al hoe groter. Die korrelasielengte is nou die relevante lengteskaal wat verband hou met kritieke verskynsels, dus kan 'n mens op "dimensionele gronde" dink dat die nie-analitiese deel van die vrye energie per traliewerk moet wees${\ displaystyle \ sim 1 / \ xi ^ {d}}$ waar ${\ displaystyle d}$ is die dimensie van die rooster.

Sommige natuurkundiges, byvoorbeeld MJ Duff , ^{[20] [23]} het aangevoer dat die wette van fisika inherent dimensieloos is. Die feit dat ons onversoenbare dimensies aan lengte, tyd en massa toegeken het, is volgens hierdie standpunt slegs 'n kwessie van konvensie, omdat dit voor die koms van die moderne fisika geen manier was om massa in verband te bring nie, lengte, en tyd tot mekaar. Die drie onafhanklike dimensionele konstantes: c , ħ en G , in die fundamentele vergelykings van fisika, moet dan gesien word as bloot omskakelingsfaktore om massa, tyd en lengte in mekaar om te skakel.

Net soos in die geval van kritieke eienskappe van roostermodelle, kan 'n mens die resultate van dimensionele analise in die toepaslike skaallimiet herstel; dimensionele analise in meganika kan afgelei word deur die konstantes ħ , c en G weer in te voeg (maar ons kan dit nou as dimensieloos beskou) en eis dat 'n nie-enkelverband tussen hoeveelhede in die limiet bestaan${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$, ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ en ${\ displaystyle G \ rightarrow 0}$. By probleme met 'n gravitasieveld moet laasgenoemde limiet sodanig geneem word dat die veld eindig bly.

Hierna volg tabelle van algemeen voorkomende uitdrukkings in fisika, wat verband hou met die dimensies van energie, momentum en krag. ^{[24] [25] [26]}

SI-eenhede

Energie, E T −2 L 2 M	Uitdrukking	Nomenklatuur
Meganies	${\ displaystyle Fd}$	F = krag , d = afstand
	${\ displaystyle S / t \ ​​equiv Pt}$	S = aksie , t = tyd, P = krag
	${\ displaystyle mv ^ {2} \ equiv pv \ equiv p ^ {2} / m}$	m = massa , v = snelheid , p = momentum
	${\ displaystyle I \ omega ^ {2} \ equiv L \ omega \ equiv L ^ {2} / I}$	L = hoekmomentum , I = traagheidsmoment , ω = hoeksnelheid
Ideale gasse	${\ displaystyle pV \ equiv NT}$	p = druk, volume , T = temperatuur N = hoeveelheid stof
Golwe	${\ displaystyle IAt \ equiv SAt}$	I = golfintensiteit , S = Poynting-vektor
Elektromagnetiese	${\ displaystyle q \ phi}$	q = elektriese lading , ϕ = elektriese potensiaal (vir veranderinge is dit spanning )
	${\ displaystyle \ varepsilon E ^ {2} V \ equiv B ^ {2} V / \ mu}$	E = elektriese veld , B = magnetiese veld , ε = permittiwiteit , μ = deurlaatbaarheid , V = 3d volume
	${\ displaystyle pE \ equiv mB \ equiv IAB}$	p = elektriese dipoolmoment , m = magnetiese moment, A = oppervlakte (begrens deur 'n stroomlus), I = elektriese stroom in lus