Differensiaal van 'n funksie

Die differensiaal is eers deur 'n intuïtiewe of heuristiese definisie deur Isaac Newton bekendgestel en verder gevoer deur Gottfried Leibniz , wat die differensiële  dy beskou het as 'n oneindig klein (of oneindige ) verandering in die waarde  y van die funksie, wat ooreenstem met 'n oneindige klein verandering  dx in die argument se funksie  x . Daarom word die oombliklike veranderingstempo van y ten opsigte van x , wat die waarde van die afgeleide van die funksie is, aangedui deur die breuk

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}}}$

in wat die Leibniz-notasie vir afgeleides genoem word. Die kwosiënt dy / dx is nie oneindig klein nie; dit is eerder 'n regte getal .

Die gebruik van oneindige diere in hierdie vorm is wyd gekritiseer, byvoorbeeld deur die beroemde pamflet The Analyst van biskop Berkeley. Augustin-Louis Cauchy ( 1823 ) definieer die differensiaal sonder appèl op die atomisme van Leibniz se oneindige diere. ^{[1] [2]} In plaas daarvan het Cauchy na aanleiding van d'Alembert die logiese volgorde van Leibniz en sy opvolgers omgekeer: die afgeleide self het die fundamentele objek geword, gedefinieer as 'n limiet van verskilkwotiënte, en die verskille is dan gedefinieer in terme van Dit. Dit wil sê, 'n mens kon die differensiaal dy definieer deur 'n uitdrukking

${\ displaystyle dy = f '(x) \, dx}$

waarin dy en dx bloot nuwe veranderlikes is wat eindige reële waardes neem, ^[3] nie vaste infinitesimale soos vir Leibniz nie. ^[4]

Volgens Boyer (1959 , p. 12) was Cauchy se benadering 'n beduidende logiese verbetering ten opsigte van die infinitesimale benadering van Leibniz, want in plaas daarvan om die metafisiese begrip van oneindige diere aan te roep, kon die hoeveelhede dy en dx nou presies op dieselfde manier gemanipuleer word as enige ander werklike hoeveelhede op 'n sinvolle manier. Cauchy se algehele konseptuele benadering tot verskille bly die standaard een in moderne analitiese behandelings, ^[5] hoewel die finale woord oor strengheid, 'n ten volle moderne idee van die beperking, was uiteindelik as gevolg van Karl Weierstrass . ^[6]

In fisiese behandelings, soos toegepas op die teorie van termodinamika , is die infinitesimale siening steeds die oorhand. Courant & John (1999 , p. 184) versoen die fisiese gebruik van oneindige simptome met die wiskundige onmoontlikheid daarvan soos volg. Die differensiale stel eindige nie-nul-waardes voor wat kleiner is as die mate van akkuraatheid wat benodig word vir die spesifieke doel waarvoor dit bedoel is. Dus hoef 'fisiese oneindige diere' nie 'n ooreenstemmende wiskundige infinitesimaal aan te spreek om 'n presiese sin te hê nie.

Na aanleiding van die twintigste-eeuse ontwikkelinge in wiskundige analise en differensiële meetkunde , het dit duidelik geword dat die idee van die differensiaal van 'n funksie op verskillende maniere uitgebrei kan word. In werklike analise is dit wensliker om die differensiaal direk te hanteer as die hoofdeel van die toename van 'n funksie. Dit lei direk tot die idee dat die differensiaal van 'n funksie by 'n punt 'n lineêre funksie van 'n inkrement Δ x is . Met hierdie benadering kan die differensiaal (as 'n lineêre kaart) ontwikkel word vir 'n verskeidenheid meer gesofistikeerde ruimtes, wat uiteindelik aanleiding gee tot idees soos die Fréchet- of Gateaux-afgeleide . Net so, in differensiële meetkunde , is die differensiaal van 'n funksie op 'n punt 'n lineêre funksie van 'n raakvector ('n "oneindige klein verplasing"), wat dit as 'n soort eenvorm vertoon: die buiteafgeleide van die funksie. In nie-standaard-calculus word differensiale as oneindige diere beskou, wat self op 'n streng basis kan plaas (sien differensiaal (infinitesimaal) ).

Die differensiaal van 'n funksie ƒ ( x ) by 'n punt  x ₀ .

Die differensiaal word soos volg in moderne behandelings van differensiaalrekeninge omskryf. ^[7] Die differensiaal van 'n funksie f ( x ) van 'n enkele reële veranderlike x is die funksie df van twee onafhanklike reële veranderlikes x en Δ x gegee deur

${\ displaystyle df (x, \ Delta x) {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f '(x) \, \ Delta x.}$

Een of albei argumente kan onderdruk word, dit wil sê: een kan df ( x ) of bloot df sien . As y  =  f ( x ), kan die differensiaal ook as dy geskryf word . Aangesien dx ( x , Δ x ) = Δ x , is dit gewoon om dx  = Δ x te skryf , sodat die volgende gelykheid geld:

${\ displaystyle df (x) = f '(x) \, dx}$

Hierdie idee van differensiaal is breedweg van toepassing wanneer 'n lineêre benadering van 'n funksie gesoek word, waarin die waarde van die inkrement Δ x klein genoeg is. Meer presies, as f 'n onderskeibare funksie by x is , dan is die verskil in y -waardes

${\ displaystyle \ Delta y {\ stackrel {\ rm {def}} {=}} f (x + \ Delta x) -f (x)}$

bevredig

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \, Delta x + \ varepsilon = df (x) + \ varepsilon \,}$

waar die fout ε in die benadering voldoen aan ε / Δ x  → 0 as Δ x  → 0. Met ander woorde, een het die benaderde identiteit

${\ displaystyle \ Delta y \ approx dy}$

waarin die fout so klein as wat verlang kan word relatief tot Δ x gemaak kan word deur Δ x te beperk om voldoende klein te wees; met ander woorde,

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta y-dy} {\ Delta x}} \ tot 0}$

as Δ x  → 0. Om hierdie rede staan ​​die differensiaal van 'n funksie bekend as die hoofdeel (lineêre) deel in die toename van 'n funksie: die differensiaal is 'n lineêre funksie van die toename Δ x , en hoewel die fout ε kan nie-lineêr, neig dit vinnig tot nul, aangesien Δ x geneig is tot nul.

Operateur \ Funksie	${\ displaystyle f (x)}$	${\ displaystyle f (x, y, u (x, y), v (x, y))}$
Differensiaal	1: ${\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$	2: ${\ displaystyle d_ {x} f \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} \, dx}$ 3: d f = d e f f x ′ d x + f y ′ d y + f u ′ d u + f v ′ d v {\ displaystyle df \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {def}} {}} {=}} \, f '_ {x} dx + f' _ {y} dy + f '_ {u} du + f '_ {v} dv}
Gedeeltelike afgeleide	${\ displaystyle f '_ {x} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(1)}} {}} {=}} \, {\ frac {df} {dx}}}$	${\ displaystyle f '_ {x} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(2)}} {}} {=}} \, {\ frac {d_ {x} f} {dx}} = {\ frac {\ gedeeltelik f} {\ gedeeltelik x}}}$
Totale afgeleide	${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(1)}} {}} {=}} \, f '_ {x}}$	${\ displaystyle {\ frac {df} {dx}} \, {\ overset {\ underset {\ mathrm {(3)}} {}} {=}} \, f '_ {x} + f' _ { u} {\ frac {du} {dx}} + f '_ {v} {\ frac {dv} {dx}}; (f' _ {y} {\ frac {dy} {dx}} = 0) }$

Na aanleiding van Goursat (1904 , I, §15), vir funksies van meer as een onafhanklike veranderlike,

${\ displaystyle y = f (x_ {1}, \ dots, x_ {n}),}$

die gedeeltelike differensiaal van y met betrekking tot een van die veranderlikes  x ₁ is die hoofdeel van die verandering in y as gevolg van 'n verandering  dx ₁ in die een veranderlike. Die gedeeltelike differensiaal is dus

${\ displaystyle {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {1}}} dx_ {1}}$

wat die gedeeltelike afgeleide van y met betrekking tot  x _{1 behels} . Die som van die gedeeltelike verskille ten opsigte van al die onafhanklike veranderlikes is die totale differensiaal

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {1}}} dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {n}}} dx_ {n },}$

wat die hoofdeel is van die verandering in y as gevolg van veranderinge in die onafhanklike veranderlikes  x _i .

Meer presies, in die konteks van multivariabele calculus, na Courant (1937b) , as f 'n onderskeibare funksie is, dan deur die definisie van differensieerbaarheid , die toename

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta y & {} {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} f (x_ {1} + \ Delta x_ {1}, \ dots, x_ {n} + \ Delta x_ {n}) - f (x_ {1}, \ punte, x_ {n}) \\ & {} = {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {1}}} \ Delta x_ { 1} + \ cdots + {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {n}}} \ Delta x_ {n} + \ varepsilon _ {1} \ Delta x_ {1} + \ cdots + \ varepsilon _ { n} \ Delta x_ {n} \ end {belyn}}}$

waar die foutterme ε _i neig tot nul soos die inkremente Δ x _i gesamentlik neig tot nul. Die totale differensiaal word dan noukeurig gedefinieer as 

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {1}}} \ Delta x_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {n}}} \ Delta x_ {n}.}$

Aangesien, met hierdie definisie,

${\ displaystyle dx_ {i} (\ Delta x_ {1}, \ dots, \ Delta x_ {n}) = \ Delta x_ {i},}$

een het

${\ displaystyle dy = {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {1}}} \, dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {n}}} \ , dx_ {n}.}$

Soos in die geval van een veranderlike, geld die benaderde identiteit

${\ displaystyle dy \ approx \ Delta y}$

waarin die totale fout so klein gemaak kan word as wat u wil in verhouding tot ${\ displaystyle {\ sqrt {\ Delta x_ {1} ^ {2} + \ cdots + \ Delta x_ {n} ^ {2}}}}$ deur die aandag te beperk tot voldoende klein inkremente.

Toepassing van die totale differensiaal op foutberaming

By meting word die totale differensiaal gebruik om die fout Δ f van 'n funksie f te bereken op grond van die foute Δ x , Δ y , ... van die parameters x , y ,…. Gestel dat die interval kort genoeg is om die verandering ongeveer lineêr te wees:

Δ f ( x ) = f ' ( x ) × Δ x

en dat alle veranderlikes onafhanklik is, dan vir alle veranderlikes,

${\ displaystyle \ Delta f = f_ {x} \ Delta x + f_ {y} \ Delta y + \ cdots}$

Dit is omdat die afgeleide f _x met betrekking tot die bepaalde parameter x die sensitiwiteit van die funksie f gee vir 'n verandering in x , in die besonder die fout Δ x . Aangesien daar aanvaar word dat hulle onafhanklik is, word die ergste scenario beskryf. Die absolute waardes van die komponentfoute word gebruik, want na eenvoudige berekening kan die afgeleide 'n negatiewe teken hê. Van hierdie beginsel word die foutreëls van somme, vermenigvuldiging, ensovoorts afgelei, byvoorbeeld:

Laat f ( a , b ) = a × b ;

Δ f = f _a Δ a + f _b Δ b ; evaluering van die afgeleides

Δ f = b Δ a + a Δ b ; deel deur f , wat a × b is

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / b

Dit wil sê in vermenigvuldiging is die totale relatiewe fout die som van die relatiewe foute van die parameters.

Om te illustreer hoe dit afhang van die funksie wat oorweeg word, beskou die geval waar die funksie eerder f ( a , b ) = a ln b is . Dan kan bereken word dat die foutberaming is

Δ f / f = Δ a / a + Δ b / ( b ln b )

met 'n ekstra ' ln b' -faktor wat nie in die geval van 'n eenvoudige produk gevind word nie. Hierdie addisionele faktor is geneig om die fout kleiner te maak, aangesien ln b nie so groot soos 'n blote  b is nie .

Hoër-orde differensiale van 'n funksie y  =  f ( x ) van 'n enkele veranderlike x kan gedefinieer word via: ^[8]

${\ displaystyle d ^ {2} y = d (dy) = d (f '(x) dx) = (df' (x)) dx = f '' (x) \, (dx) ^ {2}, }$

en oor die algemeen

${\ displaystyle d ^ {n} y = f ^ {(n)} (x) \, (dx) ^ {n}.}$

Informeel motiveer dit Leibniz se notasie vir hoër-orde afgeleides

${\ displaystyle f ^ {(n)} (x) = {\ frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}}.}$

Wanneer toegelaat word dat die onafhanklike veranderlike x self van ander veranderlikes afhang, word die uitdrukking ingewikkelder, aangesien dit ook hoër orde-differensiale in x self moet insluit . So, byvoorbeeld,

${\ displaystyle {\ begin {belyn} d ^ {2} y & = f '' (x) \, (dx) ^ {2} + f '(x) d ^ {2} x \\ d ^ {3} y & = f '' (x) \, (dx) ^ {3} + 3f '' (x) dx \, d ^ {2} x + f '(x) d ^ {3} x \ end {belyn }}}$

ensovoorts.

Soortgelyke oorwegings is van toepassing op die definisie van hoërorde-differensiale van funksies van verskillende veranderlikes. As f byvoorbeeld 'n funksie is van twee veranderlikes x en y , dan

${\ displaystyle d ^ {n} f = \ som _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} {\ frac {\ gedeeltelik ^ {n} f} {\ gedeeltelik x ^ { k} \ gedeeltelik y ^ {nk}}} (dx) ^ {k} (dy) ^ {nk},}$

waar ${\ textstyle {\ binom {n} {k}}}$is 'n binomiale koëffisiënt . In meer veranderlikes geld 'n analoë uitdrukking, maar met 'n toepaslike multinomiale uitbreiding eerder as binomiale uitbreiding. ^[9]

Hoër orde-verskille in verskillende veranderlikes word ook ingewikkelder as die onafhanklike veranderlikes van ander veranderlikes afhanklik is. Byvoorbeeld, vir 'n funksie f van x en y wat toegelaat kan word om van hulpveranderlikes af te hang, het 'n mens

${\ displaystyle d ^ {2} f = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} (dx) ^ {2} +2 {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ gedeeltelik x \ gedeeltelik y}} dx \, dy + {\ frac {\ gedeeltelik ^ {2} f} {\ gedeeltelik y ^ {2}}} (dy) ^ {2} \ regs ) + {\ frac {\ gedeeltelik f} {\ gedeeltelik x}} d ^ {2} x + {\ frac {\ gedeeltelik f} {\ gedeeltelik y}} d ^ {2} y.}$

Vanweë hierdie noemenswaardige onwelvoeglikheid is die gebruik van hoërordedifferensiale krities gekritiseer deur Hadamard 1935 , wat tot die gevolgtrekking gekom het:

Enfin, que signifie ou que représente l'égalité

${\ displaystyle d ^ {2} z = r \, dx ^ {2} + 2s \, dx \, dy + t \, dy ^ {2} \ ,?}$

A mon avis, rien du tout.

Dit is: ten slotte, wat word bedoel, of voorgestel, deur die gelykheid [...]? Myns insiens hoegenaamd niks nie. Ondanks hierdie skeptisisme, het hoërordedifferensiale wel 'n belangrike instrument in die ontleding na vore gekom. ^[10]

In hierdie konteks, die N de orde differensiaal van die funksie f toegepas op 'n inkrement Δ x word gedefinieer deur

${\ displaystyle d ^ {n} f (x, \ Delta x) = \ links. {\ frac {d ^ {n}} {dt ^ {n}}} f (x + t \ Delta x) \ regs | _ {t = 0}}$

of 'n ekwivalente uitdrukking, soos

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {\ Delta _ {t \ Delta x} ^ {n} f} {t ^ {n}}}}$

waar ${\ displaystyle \ Delta _ {t \ Delta x} ^ {n} f}$is ' n negende voorwaartse verskil met toename t Δ x .

Hierdie definisie is ook sinvol as f 'n funksie is van verskeie veranderlikes (vir eenvoud hier as 'n vektorargument). Toe die N ste ewenaar gedefinieer op hierdie manier is 'n homogene funksie van graad N in die vektor inkrement Δ x . Verder word die Taylor-reeks van f op die punt x gegee deur

${\ displaystyle f (x + \ Delta x) \ sim f (x) + df (x, \ Delta x) + {\ frac {1} {2}} d ^ {2} f (x, \ Delta x) + \ cdots + {\ frac {1} {n!}} d ^ {n} f (x, \ Delta x) + \ cdots}$

Die afgeleide Gateaux-afgeleide veralgemeen hierdie oorwegings tot oneindige dimensionele ruimtes.

'N Aantal eienskappe van die differensiaal volg reguit op die ooreenstemmende eienskappe van die afgeleide, gedeeltelike afgeleide en totale afgeleide. Dit sluit in: ^[11]

• Lineariteit : vir konstantes a en b en onderskeibare funksies f en g ,

${\ displaystyle d (af + bg) = a \, df + b \, dg.}$

• Produkreël : vir twee onderskeibare funksies f en g ,

${\ displaystyle d (fg) = f \, dg + g \, df.}$

'N Bewerking d met hierdie twee eienskappe staan ​​in abstrakte algebra bekend as 'n afleiding . Hulle impliseer die Magsreël

${\ displaystyle d (f ^ {n}) = nf ^ {n-1} df}$

Daarbenewens hou verskillende vorme van die kettingreël 'n toenemende vlak van algemeenheid in: ^[12]

• As y  =  f ( u ) 'n onderskeibare funksie van die veranderlike u is en u  =  g ( x ) 'n onderskeibare funksie van x is , dan

${\ displaystyle dy = f '(u) \, du = f' (g (x)) g '(x) \, dx.}$

• As y = f ( x ₁ , ..., x _n ) en al die veranderlikes  x ₁ , ...,  x _N afhang van 'n ander veranderlike  t , dan deur die kettingreël vir parsiële afgeleides , 'n mens

${\ displaystyle {\ begin {align} dy & = {\ frac {dy} {dt}} dt \\ & = {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {1}}} dx_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {n}}} dx_ {n} \\ & = {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {1}}} {\ frac {dx_ {1 }} {dt}} \, dt + \ cdots + {\ frac {\ gedeeltelik y} {\ gedeeltelik x_ {n}}} {\ frac {dx_ {n}} {dt}} \, dt. \ einde {gerig }}}$

Heuristies kan die kettingreël vir verskeie veranderlikes self verstaan ​​word deur deur beide kante van hierdie vergelyking te deel deur die oneindige klein hoeveelheid dt .

• Meer algemene analoë uitdrukkings geld, waarin die tussenveranderlikes x _i van meer as een veranderlike afhang.

'N Konsekwente begrip van differensiaal kan ontwikkel word vir 'n funksie f  : R ⁿ → R ^m tussen twee Euklidiese ruimtes . Laat x , Δ x  ∈  R ⁿ 'n paar Euklidiese vektore wees . Die toename in die funksie f is

${\ displaystyle \ Delta f = f (\ mathbf {x} + \ Delta \ mathbf {x}) -f (\ mathbf {x}).}$

As daar 'n m  ×  n matriks A bestaan sodat

${\ displaystyle \ Delta f = A \ Delta \ mathbf {x} + \ | \ Delta \ mathbf {x} \ | {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}$

waarin die vektor ε  → 0 as Δ x  → 0, dan f per definisie onderskeibaar is by die punt x . Die matriks A staan ​​soms bekend as die Jacobiaanse matriks , en die lineêre transformasie wat verband hou met die inkrement Δ x  ∈  R ⁿ die vektor A Δ x  ∈  R ^m staan ​​in hierdie algemene omgewing bekend as die differensiaal df ( x ) van f by die punt x . Dit is presies die Fréchet-afgeleide , en dieselfde konstruksie kan gemaak word om te werk vir 'n funksie tussen enige Banach-ruimtes .

'N Ander vrugbare standpunt is om die differensiaal direk te definieer as 'n soort rigtingafgeleide :

${\ displaystyle df (\ mathbf {x}, \ mathbf {h}) = \ lim _ {t \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {h}) -f (\ mathbf {x})} {t}} = \ left. {\ frac {d} {dt}} f (\ mathbf {x} + t \ mathbf {h}) \ right | _ {t = 0},}$

wat die benadering is wat reeds gebruik word vir die definisie van hoërordedifferensiale (en is byna die definisie wat deur Cauchy uiteengesit word). As t tyd en x- posisie voorstel, stel h 'n snelheid voor in plaas van 'n verplasing soos ons dit tot dusver beskou het. Dit lewer nog 'n verfyning van die begrip differensiaal: dat dit 'n lineêre funksie van 'n kinematiese snelheid moet wees. Die versameling van alle snelhede deur 'n gegewe punt van die ruimte staan ​​bekend as die raaklyn , en dus gee df 'n lineêre funksie op die raaklyn: 'n differensiële vorm . Met hierdie interpretasie staan ​​die differensiaal van f bekend as die uitwendige afgeleide , en het dit 'n wye toepassing in differensiële meetkunde, omdat die begrip snelhede en die raaklyn ruimte sinvol is op enige onderskeibare spruitstuk . As die uitvoerwaarde van f ook 'n posisie (in 'n Euclidiese ruimte) voorstel, dan bevestig 'n dimensionele analise dat die uitvoerwaarde van df 'n snelheid moet wees. As 'n mens die differensiaal op hierdie manier behandel, staan ​​dit bekend as die voorwaartse aanslag, omdat dit snelhede van 'n bronruimte in 'n teikenruimte 'stoot'.

Alhoewel die begrip 'infinitesimale inkrement dx ' nie goed gedefinieër is in moderne wiskundige analise nie , bestaan ​​daar 'n verskeidenheid tegnieke om die infinitesimale differensiaal te definieer sodat die differensiaal van 'n funksie op 'n manier hanteer kan word wat nie bots met die Leibniz-notasie nie. . Dit sluit in:

• Definiëring van die differensiaal as 'n soort differensiaalvorm , spesifiek die buiteafgeleide van 'n funksie. Die infinitesimale inkremente word dan met vektore in die raakruimte op 'n punt geïdentifiseer . Hierdie benadering is gewild in differensiële meetkunde en verwante velde, omdat dit maklik veralgemeen tot afbeeldings tussen verskillende spruitstukke .
• Differensiale as nilpotente elemente van kommutatiewe ringe . Hierdie benadering is gewild in algebraïese meetkunde . ^[13]
• Differensiale in gladde modelle van versamelingsteorie. Hierdie benadering staan ​​bekend as sintetiese differensiële meetkunde of gladde infinitesimale analise en is nou verwant aan die algebraïese geometriese benadering, behalwe dat idees uit die topos-teorie gebruik word om die meganismes waardeur nilpotente oneindige diere bekendgestel word, te verberg . ^[14]
• Differensiale as oneindige figure in hiperreële getallestelsels, wat verlengings is van die reële getalle wat oneindige en oneindige groot getalle bevat. Dit is die benadering van nie-standaardanalise wat deur Abraham Robinson gebaan is . ^[15]

Differensiale kan effektief gebruik word in numeriese analises om die verspreiding van eksperimentele foute in 'n berekening te bestudeer, en dus die algehele numeriese stabiliteit van 'n probleem ( Courant 1937a ). Veronderstel dat die veranderlike x die resultaat van 'n eksperiment voorstel en y die resultaat is van 'n numeriese berekening toegepas op x . Die vraag is tot watter mate foute in die meting van x die uitkoms van die berekening van y beïnvloed . As die x binne Δ x van die ware waarde bekend is, gee Taylor se stelling die volgende skatting van die fout Δ y in die berekening van y :

${\ displaystyle \ Delta y = f '(x) \ Delta x + {\ frac {(\ Delta x) ^ {2}} {2}} f' '(\ xi)}$

waar ξ = x + θ Δ x vir sommige 0 < θ <1 . As Δ x klein is, is die tweede orde term weglaatbaar, sodat Δ y vir praktiese doeleindes goed benader word deur dy = f ' ( x ) Δ x .

Die differensiaal is dikwels nuttig om 'n differensiaalvergelyking te herskryf

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x)}$

In die vorm

${\ displaystyle dy = g (x) \, dx,}$

veral as 'n mens die veranderlikes wil skei .

• Boyer, Carl B. (1959), The history of the calculus and its conceptual development , New York: Dover Publications , MR  0124178.
• Cauchy, Augustin-Louis (1823), Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal , geargiveer uit die oorspronklike op 2009-05-04 , opgespoor 19/08/2009.
• Courant, Richard (1937a), Differensiaal- en integrale calculus. Vol. I , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (gepubliseer in 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR  1009558.
• Courant, Richard (1937b), Differensiaal- en integrale calculus. Vol. II , Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (gepubliseer in 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR  1009559.
• Courant, Richard ; John, Fritz (1999), Inleiding tot calculus en analise Volume 1 , Klassieke wiskunde, Berlyn, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65058-X, MR  1746554
• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 42 : 293–323, ISSN  0012-9593 , MR  1509268.
• Goursat, Édouard (1904), ' n Kursus in wiskundige analise: Vol 1: Afgeleides en differensiale, bepaalde integrale, uitbreiding in reekse, toepassings op meetkunde , ER Hedrick, New York: Dover Publications (gepubliseer 1959), MR  0106155.
• Hadamard, Jacques (1935), "La notion de différentiel dans l'enseignement", Mathematical Gazette , XIX (236): 341–342, JSTOR  3606323.
• Hardy, Godfrey Harold (1908), A Course of Pure Mathematics , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09227-2.
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974), Funksionele analise en semi-groepe , Providence, RI: American Mathematical Society , MR  0423094.
• Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2de uitg.), MIT Press , ISBN 978-0-262-59020-4.
• Kline, Morris (1977), "Chapter 13: Differentials and the law of the mean", Calculus: An intuitive and physical approach , John Wiley and Sons.
• Kline, Morris (1972), Wiskundige denke van antieke tot moderne tye (3de uitg.), Oxford University Press (gepubliseer 1990), ISBN 978-0-19-506136-9
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach (2e uitg.).
• Kock, Anders (2006), Synthetic Differential Geometry (PDF) (2de uitg.), Cambridge University Press.
• Moerdijk, I .; Reyes, GE (1991), Modelle vir gladde oneindige analise , Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Nie-standaardanalise , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3.
• Tolstov, GP (2001) [1994], "Differential" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.

• Differensiaal van 'n funksie by Wolfram-demonstrasieprojek