Buig

Megalitiese kuns uit Newgrange wat 'n vroeë belangstelling in kurwes toon

Belangstelling in kurwes het begin lank voordat dit die wiskundige studie was. Dit kan gesien word in talle voorbeelde van hul dekoratiewe gebruik in kuns en op alledaagse voorwerpe wat dateer uit die prehistoriese tyd. ^[2] Krommes, of ten minste hul grafiese voorstellings, is eenvoudig om te skep, byvoorbeeld met 'n stok op die sand op 'n strand.

Histories, die term lyn is gebruik in plaas van die meer moderne term kurwe . Daarom is die terme reguit en regterlyn gebruik om die hedendaagse lyne van geboë lyne te onderskei. In boek I van die elemente van Euclides word 'n lyn byvoorbeeld gedefinieër as 'n 'breedte lengte' (Def. 2), terwyl 'n reguit lyn gedefinieer word as ''n lyn wat eweredig lê met die punte op sigself' (Def. 4) . Euclid se idee van 'n lyn word miskien verhelder deur die stelling "The extremities of a line are points," (Def. 3). ^[3] Latere kommentators het lyne verder volgens verskillende skemas geklassifiseer. Byvoorbeeld: ^[4]

• Saamgestelde lyne (lyne vorm 'n hoek)
• Saamgestelde lyne
  • Bepaal (lyne wat nie onbepaald strek nie, soos die sirkel)
  • Onbepaald (lyne wat onbepaald strek, soos die reguit lyn en die parabool)

Die kurwes wat geskep is deur 'n kegel te sny ( kegelsnitte ) was onder die kurwes wat in antieke Griekeland bestudeer is.

Die Griekse geometers het baie ander soorte krommes bestudeer. Een rede was hul belangstelling in die oplossing van meetkundige probleme wat nie met behulp van standaard kompas en reguit konstruksie opgelos kon word nie . Hierdie kurwes sluit in:

• Die keëlvormige gedeeltes, wat diep deur Apollonius van Perga bestudeer is
• Die cissoid van Diocles , bestudeer deur Diocles en gebruik as 'n metode om die kubus te verdubbel . ^[5]
• Die conchoid van Nicomedes , bestudeer deur Nicomedes as 'n metode om die kubus te verdubbel en 'n hoek te sny . ^[6]
• Die Archimediese spiraal , bestudeer deur Archimedes as 'n metode om 'n hoek te sny en die sirkel te vierkantig . ^[7]
• Die spiraalvormige gedeeltes , gedeeltes van tori wat deur Perseus as gedeeltes van keëls bestudeer is deur Apollonius bestudeer.

Analitiese meetkunde kon krommes, soos die Folium van Descartes , definieer deur middel van vergelykings in plaas van meetkundige konstruksie.

'N Fundamentele vooruitgang in die teorie van kurwes was die bekendstelling van analitiese meetkunde deur René Descartes in die sewentiende eeu. Hierdeur kon 'n kurwe beskryf word met behulp van 'n vergelyking eerder as 'n uitgebreide meetkundige konstruksie. Hierdeur kon nie net nuwe krommes gedefinieër en bestudeer word nie, maar kon ook 'n formele onderskeid getref word tussen algebraïese krommes wat gedefinieer kan word met behulp van polinoomvergelykings en transendentale kurwes wat nie kan nie. Voorheen is krommes beskryf as 'meetkundig' of 'meganies' volgens hoe dit gegenereer is, of vermoedelik sou wees. ^[2]

Kegelsnedes is in toegepas sterrekunde deur Kepler . Newton werk ook aan 'n vroeë voorbeeld in die berekening van variasies . Oplossings vir afwykingsprobleme, soos die vrae oor brachistochrone en tautochrone , het eienskappe van kurwes op nuwe maniere bekendgestel (in hierdie geval die sikloïed ). Die kettinglyn kry sy naam as die oplossing vir die probleem van 'n hangende ketting, die soort vraag wat deur middel van gereeld toeganklik geword differensiaalrekening .

In die agtiende eeu begin die teorie van algebraïese kurwes in die algemeen. Newton het die kubieke kurwes bestudeer , in die algemene beskrywing van die werklike punte in 'ovale'. Die stelling van Bézout se stelling toon 'n aantal aspekte wat nie direk toeganklik was vir die meetkunde van destyds nie, wat te make het met enkele punte en komplekse oplossings.

Sedert die negentiende eeu word kurwe-teorie beskou as die spesiale geval van dimensie een van die teorie van menigvuldige en algebraïese variëteite . Nietemin bly baie vrae spesifiek vir kurwes, soos ruimte-vullingskurwes , Jordan-kurwe-stelling en Hilbert se sestiende probleem .

'N Topologiese kurwe kan deur 'n deurlopende funksie gespesifiseer word ${\ displaystyle \ gamma \ colon I \ rightarrow X}$uit 'n interval I van die reële getalle in 'n topologiese ruimte X . Behoorlik gesproke is die kromme die beeld van${\ displaystyle \ gamma.}$ In sommige kontekste, ${\ displaystyle \ gamma}$ self word 'n kurwe genoem, veral as die beeld nie lyk soos wat gewoonlik 'n kurwe genoem word nie en nie voldoende kenmerk nie ${\ displaystyle \ gamma.}$

Die beeld van die Peano-kurwe of, meer algemeen, 'n ruimte-vulkurwe vul 'n vierkant heeltemal en gee dus geen inligting oor hoe${\ displaystyle \ gamma}$ gedefinieer word.

'N Kromme ${\ displaystyle \ gamma}$is gesluit ^[8] of is 'n lus as${\ displaystyle I = [a, b]}$ en ${\ displaystyle \ gamma (a) = \ gamma (b)}$. 'N Geslote kurwe is dus die beeld van 'n deurlopende kartering van 'n sirkel .

As die domein van 'n topologiese kurwe 'n geslote en begrensde interval is${\ displaystyle I = [a, b]}$word dit 'n pad genoem , ook bekend as topologiese boog (of netboog ).

'N Kromme is eenvoudig as dit die beeld is van 'n interval of 'n sirkel deur 'n inspuitende deurlopende funksie. Met ander woorde, as 'n kurwe deur 'n deurlopende funksie gedefinieer word${\ displaystyle \ gamma}$met 'n interval as domein, is die kromme eenvoudig as en net as twee verskillende punte van die interval verskillende beelde het, behalwe as die punte die eindpunte van die interval is. Intuïtief is 'n eenvoudige kromme 'n kurwe wat 'nie self kruis nie en geen ontbrekende punte het nie'. ^[9]

'N Draakkurwe met 'n positiewe area

'N Eenvoudige geslote kurwe word ook 'n Jordaankurwe genoem . Die stelling van die Jordaankurwe stel dat die versamelingskomplement in 'n vlak van 'n Jordaankurwe uit twee gekoppelde komponente bestaan (dit wil sê die kromme deel die vlak in twee nie-kruisende streke wat albei verbind is).

'N Vlakkurwe is 'n kurwe waarvoor${\ displaystyle X}$is die Euclidiese vlak - dit is die voorbeelde wat die eerste keer gesien is - of in sommige gevalle die projektiewe vlak .'N Ruimtekurwe is 'n kurwe waarvoor${\ displaystyle X}$is minstens driedimensioneel; 'n skewe kurwe is 'n ruimtekurwe wat in geen vlak lê nie. Hierdie definisies van vlak-, ruimte- en skeefkrommes is ook van toepassing op werklike algebraïese krommes , hoewel die bogenoemde definisie van 'n kurwe nie van toepassing is nie ('n regte algebraïese kurwe kan ontkoppel word ).

Die definisie van 'n kurwe bevat figure wat in die gewone gebruik skaars kurwes genoem kan word. Die afbeelding van 'n eenvoudige kromme kan byvoorbeeld 'n vierkant in die vlak bedek ( ruimtevullingskurwe ) en dus 'n positiewe area hê. ^[10] Fraktalkurwes kan eienskappe hê wat vreemd is vir die gesonde verstand. 'N Fraktale kromme kan byvoorbeeld 'n Hausdorff-dimensie hê wat groter is as een (sien Koch-sneeuvlokkie ) en selfs 'n positiewe area. 'N Voorbeeld is die draakkurwe , wat baie ander ongewone eienskappe het.

Grofweg gesproke is 'n onderskeibare kurwe 'n kurwe wat gedefinieer word as plaaslik die beeld van 'n inspuitbare onderskeibare funksie${\ displaystyle \ gamma \ colon I \ rightarrow X}$vanaf 'n interval I van die reële getalle in 'n onderskeibare manifold X , dikwels${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Meer presies, 'n onderskeibare kurwe is 'n deelversameling C van X, waar elke punt van C 'n omgewing U het sodat${\ displaystyle C \ cap U}$is diffeomorf met 'n interval van die reële getalle. ^[ Verduideliking ^{nodig ]} Met ander woorde, 'n onderskeibare kurwe is 'n onderskeibare menigte van dimensie een.

Onderskeibare boog

In die Euklidiese meetkunde is 'n boog (simbool: ⌒ ) 'n verbonde deelversameling van 'n onderskeibare kromme.

Boë van die lyne word segmente of strale genoem , afhangend of dit begrens is of nie.

'N Algemene geboë voorbeeld is 'n boog van 'n sirkel , bekend as 'n omsendbrief boog .

In 'n sfeer (of 'n sferoïed ) word 'n boog van 'n groot sirkel (of 'n groot ellips ) 'n groot boog genoem .

Lengte van 'n kurwe

As ${\ displaystyle X = \ mathbb {R} ^ {n}}$ is die ${\ displaystyle n}$-dimensionele Euklidiese ruimte, en as ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ tot \ mathbb {R} ^ {n}}$ is 'n inspuitende en voortdurend onderskeibare funksie, dan is die lengte van ${\ displaystyle \ gamma}$ word gedefinieer as die hoeveelheid

${\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ int _ {a} ^ {b} | \ gamma \, '(t) | ~ \ mathrm {d} {t}.}$

Die lengte van 'n kurwe is onafhanklik van die parametrisering ${\ displaystyle \ gamma}$.

In die besonder, die lengte ${\ displaystyle s}$van die grafiek van 'n deurlopend onderskeibare funksie${\ displaystyle y = f (x)}$ gedefinieer op 'n geslote interval ${\ displaystyle [a, b]}$ is

${\ displaystyle s = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ [f '(x)] ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} {x}.}$

Meer algemeen, as ${\ displaystyle X}$is 'n metrieke ruimte met metrieke${\ displaystyle d}$, dan kan ons die lengte van 'n kurwe definieer ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ tot X}$ deur

${\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ sup \! \ left (\ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {n } d (\ gamma (t_ {i}), \ gamma (t_ {i-1})) ~ {\ Bigg |} ~ n \ in \ mathbb {N} ~ {\ teks {en}} ~ a = t_ {0}$

waar die supremum alles oorgeneem word ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ en alle afskortings ${\ displaystyle t_ {0}$ van ${\ displaystyle [a, b]}$.

'N Regstelbare kurwe is 'n kurwe met eindige lengte. 'N Kromme${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ tot X}$word dit natuurlik genoem (of eenheidsnelheid of met die booglengte geparametreer)${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ in [a, b]}$ sodat ${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$, ons het

${\ displaystyle \ operatorname {Length} \! \ left (\ gamma | _ {[t_ {1}, t_ {2}]} \ right) = t_ {2} -t_ {1}.}$

As ${\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ tot X}$is 'n Lipschitz-deurlopende funksie, dan word dit outomaties reggestel. Daarbenewens kan 'n mens die spoed (of metrieke afgeleide ) van definieer${\ displaystyle \ gamma}$ by ${\ displaystyle t \ in [a, b]}$ as

${\ displaystyle {\ operatorname {Speed} _ {\ gamma}} (t) ~ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} ~ \ limsup _ {[a, b] \ ni s \ to t} {\ frac {d (\ gamma (s), \ gamma (t))} {| st |}}}$

en wys dit dan

${\ displaystyle \ operatorname {Length} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ operatorname {Speed} _ {\ gamma}} (t) ~ \ mathrm {d} {t}.}$

Differensiële meetkunde

Alhoewel die eerste voorbeelde van kurwes waaraan voldoen word, meestal vlak krommes is (dit wil sê in alledaagse woorde, geboë lyne in die tweedimensionele ruimte ), is daar voor die hand liggende voorbeelde soos die heliks wat natuurlik in drie dimensies bestaan. Die behoeftes van meetkunde en ook byvoorbeeld klassieke meganika is om 'n begrip kromme in die ruimte van 'n aantal dimensies te hê. In algemene relatiwiteit , 'n wêreld lyn is 'n kurwe in ruimtetyd .

As ${\ displaystyle X}$is 'n onderskeibare spruitstuk , dan kan ons die begrip differensieerbare kromme in definieer${\ displaystyle X}$. Hierdie algemene idee is genoeg om baie van die toepassings van kurwes in wiskunde te dek. Vanuit 'n plaaslike oogpunt kan 'n mens beskou${\ displaystyle X}$Euklidiese ruimte te wees. Aan die ander kant is dit nuttig om meer algemeen te wees, aangesien dit (byvoorbeeld) moontlik is om die raaklyne te definieer om${\ displaystyle X}$ deur middel van hierdie begrip kurwe.

As ${\ displaystyle X}$is 'n gladde spruitstuk , 'n gladde kurwe in${\ displaystyle X}$is 'n gladde kaart

${\ displaystyle \ gamma \ colon I \ rightarrow X}$.

Dit is 'n basiese begrip. Daar is ook al hoe meer beperkte idees. As${\ displaystyle X}$ is 'n ${\ displaystyle C ^ {k}}$manifold (dws 'n manifold waarvan die kaarte is${\ displaystyle k}$keer deurlopend onderskeibaar ), dan a${\ displaystyle C ^ {k}}$ kurwe in ${\ displaystyle X}$ is so 'n kromme wat slegs aanvaar word ${\ displaystyle C ^ {k}}$ (dws ${\ displaystyle k}$tye deurlopend onderskeibaar). As${\ displaystyle X}$is 'n analitiese spruitstuk (dws oneindig onderskeibaar en kaarte is uitdruklik as kragreekse ), en${\ displaystyle \ gamma}$ is dan 'n analitiese kaart ${\ displaystyle \ gamma}$word gesê dat dit 'n analitiese kurwe is .

Daar word gesê dat 'n onderskeibare kurwe is gereeld as dieafgeleide daarvannooit verdwyn nie. (Met woorde: 'n reëlmatige kurwe vertraag nooit homself tot stilstand nie.) Twee${\ displaystyle C ^ {k}}$ onderskeibare kurwes

${\ displaystyle \ gamma _ {1} \ colon I \ rightarrow X}$ en

${\ displaystyle \ gamma _ {2} \ colon J \ rightarrow X}$

word gesê dat dit ekwivalent is as daar 'n byective is ${\ displaystyle C ^ {k}}$ kaart

${\ displaystyle p \ colon J \ rightarrow I}$

sodanig dat die omgekeerde kaart

${\ displaystyle p ^ {- 1} \ colon I \ rightarrow J}$

is ook ${\ displaystyle C ^ {k}}$, en

${\ displaystyle \ gamma _ {2} (t) = \ gamma _ {1} (p (t))}$

vir alle ${\ displaystyle t}$. Die kaart${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$word 'n herstelmetriasie van genoem${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$; en dit maak 'n ekwivalensieverhouding op die versameling van almal${\ displaystyle C ^ {k}}$ onderskeibare kurwes in ${\ displaystyle X}$. A${\ displaystyle C ^ {k}}$ boog is 'n ekwivalensieklas van${\ displaystyle C ^ {k}}$ kurwes onder die verband van herstelmetrisasie.

Algebraïese kurwes is die kurwes wat in algebraïese meetkunde beskou word . 'N Vlak-algebraïese kromme is die versameling van die punte van die koördinate x , y sodat f ( x , y ) = 0 , waar f 'n polinoom is in twee veranderlikes wat oor een of ander veld F gedefinieer word . Een sê dat die kurwe oor F gedefinieer word . Algebraïese meetkunde van mening normaalweg nie net punte met koördinate in F , maar al die punte met koördinate in 'n algebraïes geslote gebied K .

As C 'n kromme is wat gedefinieër word deur 'n polinoom f met koëffisiënte in F , word gesê dat die kromme oor F gedefinieer word .

In die geval van 'n kromme wat oor die reële getalle gedefinieër word , beskou 'n mens gewoonlik punte met ingewikkelde koördinate. In hierdie geval is 'n punt met regte koördinate 'n werklike punt , en die versameling van alle reële punte is die werklike deel van die kromme. Dit is dus slegs die werklike deel van 'n algebraïese kurwe wat 'n topologiese kurwe kan wees (dit is nie altyd die geval nie, aangesien die werklike deel van 'n algebraïese kurwe ontkoppel kan word en geïsoleerde punte kan bevat). Die hele kurwe, dit is die versameling van sy komplekse punt, is vanuit die topologiese oogpunt 'n oppervlak. In die besonder word die nie-enkelvoudige, komplekse projektiewe algebraïese kurwes Riemann-oppervlaktes genoem .

Daar word gesê dat die punte van 'n kurwe C met koördinate in 'n veld G rasioneel is bo G en kan aangedui word as C ( G ) . As G die veld van die rasionale getalle is , praat u bloot van rasionale punte . Byvoorbeeld, die laaste stelling van Fermat kan hersaamgestel word as: vir n > 2 , het elke rasionale punt van die Fermat-kurwe van graad n 'n nulkoördinaat .

Algebraïese kurwes kan ook ruimtekrommes wees, of krommes in 'n ruimte van 'n hoër dimensie, sê n . Hulle word gedefinieer as algebraïese variëteite van dimensie een. Dit kan verkry word as die algemene oplossings van ten minste n – 1 polinoomvergelykings in n veranderlikes. As n –1 polinome voldoende is om 'n kromme in 'n ruimte van dimensie n te definieer , word gesê dat die kromme 'n volledige kruising is . Deur veranderlikes te elimineer (met behulp van enige instrument van die eliminasieteorie ), kan 'n algebraïese kurwe op 'n plat algebraïese kurwe geprojekteer word , wat egter nuwe singulariteite kan inbring, soos knoppies of dubbelpunte .

'N Vlakkurwe kan ook voltooi word tot 'n kromme in die projektiewe vlak : as 'n kromme gedefinieër word deur 'n polinoom f van totale graad d , dan vereenvoudig w ^d f ( u / w , v / w ) ' n homogene polinoom g ( u , v , w ) van graad d . Die waardes van u , v , w sodanig dat g ( u , v , w ) = 0 is die homogene koördinate van die punte van die voltooiing van die kurwe in die projektiewe vlak en die punte van die aanvanklike kurwe is dié sodanig dat w is nie nul nie. 'N Voorbeeld is die Fermat-kromme u ⁿ + v ⁿ = w ⁿ , met 'n affine vorm x ⁿ + y ⁿ = 1 . 'N Soortgelyke proses van homogenisering kan vir kurwes in hoër dimensionele ruimtes gedefinieer word.

Behalwe vir lyne , is die eenvoudigste voorbeelde van algebraïese kurwes die kegels , wat nie-enkelvoudige kurwes van graad twee en genus nul is. Elliptiese kurwes , wat nie-enkelvoudige kurwes van die genus een is nie, word in die getalleteorie bestudeer en het belangrike toepassings op kriptografie .

• AS Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• BI Golubov (2001) [1994], "Regstelbare kurwe" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Euklied , kommentaar en vertaling. deur TL Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Boeke
• EH Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

• Bekende kurwes-indeks , Skool vir Wiskunde en Statistiek, Universiteit van St Andrews, Skotland
• Wiskundige kurwes ' n Versameling van 874 tweedimensionele wiskundige kurwes
• Gallery of Space Curves Made from Circles, bevat animasies deur Peter Moses
• Gallery of Bishop Curves and Other Sferical Curves, bevat animasies deur Peter Moses
• Die Encyclopedia of Mathematics-artikel oor lyne .
• Die Manifold Atlas-bladsy op 1-manifolds .