Kegelsnit

Die kegelsnitte is al duisende jare lank bestudeer en bied 'n ryk bron van interessante en pragtige resultate in die Euklidiese meetkunde .

Definisie

Die swart grense van die gekleurde streke is kegelsnitte. Die ander helfte van die hiperbool, wat op die ander helfte van die dubbelkegel is, word nie getoon nie.

'N Kegel is die kromme wat verkry word as die snyding van 'n vlak , die snyvlak genoem , met die oppervlak van 'n dubbele keël ('n keël met twee doeke ). Daar word gewoonlik aanvaar dat die kegel 'n regte sirkelvormige kegel is vir die doel om dit maklik te beskryf, maar dit is nie nodig nie; enige dubbele keël met 'n sirkelvormige deursnit is voldoende. Vliegtuie wat deur die hoekpunt van die keël gaan, sny die keël in 'n punt, 'n lyn of 'n paar kruisingslyne. Dit word degenereerde kegels genoem en sommige outeurs beskou dit glad nie as kegels nie. Tensy anders vermeld, sal "kegel" in hierdie artikel verwys na 'n nie-degenereerde kegel.

Daar is drie soorte kegels: die ellips , parabool en hiperbool . Die sirkel is 'n spesiale soort ellips, hoewel Apollonius histories as 'n vierde tipe beskou word. Ellipse ontstaan ​​as die kruising van die keël en die vlak 'n geslote kurwe is . Die sirkel word verkry wanneer die snyvlak parallel is met die vlak van die genererende sirkel van die keël; vir 'n regterkegel beteken dit dat die snyvlak loodreg op die as is. As die snyvlak parallel aan presies een genereringslyn van die keël is, dan is die kegelvormig ongebonde en word dit 'n parabool genoem . In die oorblywende geval is die figuur 'n hiperbool : die vlak sny beide helftes van die keël en lewer twee afsonderlike ongebonde krommes.

Eksentrisiteit, fokus en directrix

Ellips ( e = 1/2), parabool ( e = 1) en hiperbool ( e = 2) met vaste fokus F en directrix ( e = ∞). Die rooi sirkel ( e = 0) is ingesluit as verwysing; dit het nie 'n direkte reeks in die vliegtuig nie.

Alternatiewelik kan 'n kegelsnit slegs in terme van vlakgeometrie gedefinieer word: dit is die lokus van alle punte P waarvan die afstand tot 'n vaste punt F (die fokus genoem ) 'n konstante veelvoud (die eksentrisiteit e ) van die afstand vanaf P is. na 'n vaste lyn L (genaamd die directrix ). Vir 0 < e <1 verkry ons 'n ellips, vir e = 1 ' n parabool en vir e > 1 ' n hiperbool.

'N Sirkel is 'n beperkende geval en word nie gedefinieër deur 'n fokus en direk in die Euklidiese vlak nie. Die eksentrisiteit van 'n sirkel word gedefinieer as nul en die fokus daarvan is die middelpunt van die sirkel, maar die direkstreek daarvan kan slegs as die oneindige lyn in die projektiewe vlak geneem word. ^[2]

Die eksentrisiteit van 'n ellips kan gesien word as 'n maatstaf vir hoe ver die ellips afwyk van sirkelvormig. ^{[3] : 844}

As die hoek tussen die oppervlak van die keël en sy as is ${\ displaystyle \ beta}$ en die hoek tussen die snyvlak en die as is ${\ displaystyle \ alpha,}$die eksentrisiteit is ^[4] ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}.}$

'N Bewys dat bogenoemde kurwes wat deur die fokus-directrix-eienskap gedefinieer word, dieselfde is as die wat verkry word deur vliegtuie wat 'n kegel sny, word vergemaklik deur die gebruik van Dandelin-sfere . ^[5]

Alternatiewelik kan 'n ellips gedefinieer in terme van twee fokuspunte, as die lokus van punte waarvoor die som van die afstande na die twee brandpunte is 2 'n ; terwyl 'n hiperbool die lokus is waarvoor die verskil van afstande 2 a is . (Hier is a die semi-hoofas wat hieronder gedefinieër word.) 'N Parabool kan ook gedefinieër word in terme van sy fokus en latus-rektumlyn (parallel aan die direksie en deur die fokus): dit is die lokus van punte waarvan die afstand tot die fokus plus minus die afstand tot die lyn is gelyk aan 2 a ; plus as die punt tussen die directrix en die latus-rectum is, minus anders.

Kegelvormige parameters

Kegelparameters in die geval van 'n ellips

Benewens die eksentrisiteit ( e ), brandpunte en direkte reks, word verskillende geometriese kenmerke en lengtes geassosieer met 'n keëlvormige gedeelte.

Die skoolhoof as die lyn wat die fokuspunte van 'n ellips of hiperbool, en sy middelpunt is die kurwe se sentrum . 'N Parabool het geen middelpunt nie.

Die lineêre eksentrisiteit ( c ) is die afstand tussen die middelpunt en 'n fokus.

Die latus-rektum is die koord wat parallel is met die direksie en deur 'n fokus gaan; sy halflengte is die semi-latus rektum ( ℓ ).

Die fokusparameter ( p ) is die afstand van 'n fokus na die ooreenstemmende direkteurs.

Die hoofas is die koord tussen die twee hoekpunte: die langste koord van 'n ellips, die kortste koord tussen die takke van 'n hiperbool. Die halflengte is die semi-hoofas ( a ). Wanneer 'n ellips of hiperbool in 'n standaardposisie is soos in die onderstaande vergelykings, met brandpunte op die x -as en die middelpunt aan die oorsprong, het die hoekpunte van die keëlvormige koördinate (- a , 0) en ( a , 0) , met ' n nie-negatief.

Die kleinas is die kortste deursnee van 'n ellips, en sy halflengte is die half-minder as ( b ), dieselfde waarde b as in die standaardvergelyking hieronder. Analoog, vir 'n hiperbool word die parameter b in die standaardvergelyking ook die semi-mineur-as genoem.

Die volgende verhoudings geld: ^[6]

• ${\ displaystyle \ \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

Vir kegels in standaardposisie, neem hierdie parameters die volgende waardes in: ${\ displaystyle a, b> 0}$.

kegelsnit	vergelyking	eksentrisiteit ( e )	lineêre eksentrisiteit ( c )	semi-latus rektum ( ℓ )	brandpuntparameter ( p )
sirkel	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle a \,}$	${\ displaystyle \ infty}$
ellips	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}}$
parabool	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,}$	${\ displaystyle 1 \,}$	Nvt	${\ displaystyle 2a \,}$	${\ displaystyle 2a \,}$
hiperbool	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

Standaardvorms in Cartesiese koördinate

Standaardvorms van 'n ellips

Standaardvorms van 'n parabool

Standaardvorms van 'n hiperbool

Na die bekendstelling van Cartesiese koördinate , kan die fokus-directrix-eienskap gebruik word om die vergelykings te produseer wat deur die punte van die kegelsnit bevredig word. ^[7] Deur middel van die verandering van koördinate ( rotasie en translasie van asse ) kan hierdie vergelykings in standaardvorms geplaas word . ^[8] Vir ellipse en hiperbole het 'n standaardvorm die x- as as hoofas en die oorsprong (0,0) as middelpunt. Die hoekpunte is (± a , 0) en die brandpunte (± c , 0) . Definieer b deur die vergelykings c ² = a ² - b ² vir 'n ellips en c ² = a ² + b ² vir 'n hiperbool. Vir 'n sirkel is c = 0 so a ² = b ² . Vir die parabool fokus die standaardvorm op die x -as by die punt ( a , 0) en die riglyn die lyn met vergelyking x = - a . In standaardvorm sal die parabool altyd deur die oorsprong gaan.

Vir 'n reghoekige of gelyksydige hiperbool , waarvan die asimptote loodreg is, is daar 'n alternatiewe standaardvorm waarin die asimptote die koördinaatasse is en die lyn x = y die hoofas is. Die brandpunte het dan koördinate ( c , c ) en (- c , - c ) . ^[9]

• Sirkel: x ² + y ² = a ²
• Ellips: x ²/a ² + y ²/b ² = 1
• Parabool: y ² = 4 byl met a > 0
• Hiperbool: x ²/a ² - y ²/b ² = 1
• Reghoekige hiperbool: ^[10] xy = c ²/2

Die eerste vier van hierdie vorms is simmetries oor beide die x- as en die y- as (vir die sirkel, ellips en hiperbool), of slegs oor die x- as (vir die parabool). Die reghoekige hiperbool is egter simmetries oor die lyne y = x en y = - x .

Hierdie standaardvorms kan parametries geskryf word as:

• Sirkel : ( a cos θ , a sin θ ) ,
• Ellips : ( a cos θ , b sin θ ) ,
• Parabool : ( om ² , 2 om ) ,
• Hyperbola : ( a sec θ , b tan θ ) of (± a cosh u , b sinh u ) ,
• Reghoekige hiperbool :${\ displaystyle (d \, t, {\ frac {d} {t}})}$ waar ${\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}.}$

Algemene Cartesiese vorm

In die Cartesiese koördinaatstelsel is die grafiek van 'n kwadratiese vergelyking in twee veranderlikes altyd 'n kegelsnit (alhoewel dit ontaard kan wees ^[11] ), en alle kegelsnitte ontstaan ​​op hierdie manier. Die algemeenste vergelyking is van die vorm ^[12]

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}$

met alle koëffisiënte reële getalle en A, B, C nie almal nul nie.

Matriksnotasie

Bogenoemde vergelyking kan in matriksnotasie geskryf word as ^[13]

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ regs) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ regs) \ links ({\ begin {matriks} x \\ y \ einde {matriks}} \ regs) + \ links ({\ begin {matriks} D&E \ einde {matriks}} \ regs) \ links ({\ begin {matriks} x \\ y \ end {matrix}} regs) + F = 0.}$

Die algemene vergelyking kan ook geskryf word as

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 1 \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

Hierdie vorm is 'n spesialisasie van die homogene vorm wat gebruik word in die meer algemene opset van projektiewe meetkunde (sien hieronder ).

Diskriminerend

Die keëlvormige gedeeltes wat deur hierdie vergelyking beskryf word, kan volgens die waarde geklassifiseer word ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$, genoem die diskriminant van die vergelyking. ^[14] Dus is die diskriminant - 4Δ waar Δ die matriksdeterminant is ${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ regs |.}$

As die kegel nie-ontaard is , dan: ^[15]

• as B ² - 4 AC <0 , stel die vergelyking 'n ellips voor ;
  • as A = C en B = 0 , stel die vergelyking 'n sirkel voor , wat 'n spesiale geval van 'n ellips is;
• as B ² - 4 AC = 0 , stel die vergelyking 'n parabool voor ;
• as B ² - 4 AC > 0 , stel die vergelyking 'n hiperbool voor ;
  • as A + C = 0 , stel die vergelyking 'n reghoekige hiperbool voor .

In die notasie wat hier gebruik word, is A en B polinome koëffisiënte, in teenstelling met sommige bronne wat die as- en half-as as A en B aandui .

Afwykings

Die diskriminant B ² - 4 AC van kwadratiese vergelyking die keëlsnit se (of anders gestel die determinant AC - B ² /4 van die 2 × 2 matriks) en die hoeveelheid A + C (die spoor van die 2 × 2 matriks) is invariant onder willekeurige rotasies en vertalings van die koördinaat-asse, ^{[15] [16] [17]} soos die determinant van die 3 × 3-matriks hierbo is . ^{[18] : pp. 60–62} Die konstante term F en die som D ² + E ² is slegs wisselvallig onder rotasie. ^{[18] : pp. 60–62}

Eksentrisiteit in terme van koëffisiënte

Wanneer die kegelsnit algebraïes geskryf word as

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0, \,}$

die eksentrisiteit kan geskryf word as 'n funksie van die koëffisiënte van die kwadratiese vergelyking. ^[19] As 4 AC = B ^{2 is, is} die kegelvormige parabool en die eksentrisiteit daarvan gelyk aan 1 (mits dit nie-ontaard is). As ons aanneem dat die vergelyking 'n nie-degenereerde hiperbool of ellips verteenwoordig, word die eksentrisiteit gegee deur

${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}},}$

waar η = 1 as die determinant van die 3 × 3-matriks hierbo negatief is en η = −1 as die determinant positief is.

Dit kan ook getoon word ^{[18] : p. 89} dat die eksentrisiteit 'n positiewe oplossing van die vergelyking is

${\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2} - [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0, }$

waar weer ${\ displaystyle \ Delta = AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}}.}$ Dit het presies een positiewe oplossing - die eksentrisiteit - in die geval van 'n parabool of ellips, terwyl dit in die geval van 'n hiperbool twee positiewe oplossings het, waarvan een die eksentrisiteit is.

Omskakeling na kanonieke vorm

In die geval van 'n ellips of hiperbool, is die vergelyking

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \,}$

kan omgeskakel word na kanonieke vorm in getransformeerde veranderlikes ${\ displaystyle {\ tilde {x}}, {\ tilde {y}}}$soos ^[20]

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {x}} ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {{\ tilde {y}} ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1,}$

of ekwivalent

${\ displaystyle {\ frac {{\ tilde {x}} ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {{\ tilde {y}} ^ {2 }} {- S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1,}$

waar ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ en ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$is die eiewaardes van die matriks${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ regs)}$ - dit wil sê die oplossings van die vergelyking

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0}$

- en ${\ displaystyle S}$is die determinant van die 3 × 3-matriks hierbo , en${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$is weer die determinant van die 2 × 2 matriks. In die geval van 'n ellips word die vierkante van die twee semi-asse in die kanonieke vorm deur die noemers gegee.

Polêre koördinate

Ontwikkeling van die kegelsnit namate die eksentrisiteit e toeneem

In poolkoördinate word ' n kegelsnit met die een fokus op die oorsprong en, indien enige, die ander teen 'n negatiewe waarde (vir 'n ellips) of 'n positiewe waarde (vir 'n hiperbool) op die x- as gegee deur die vergelyking

${\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}},}$

waar e die eksentrisiteit is en l die semi-latus rektum.

Soos hierbo, vir e = 0 , is die grafiek 'n sirkel, vir 0 < e <1 is die grafiek 'n ellips, vir e = 1 ' n parabool en vir e > 1 ' n hiperbool.

Die polêre vorm van die vergelyking van 'n keëlvorm word dikwels in dinamika gebruik ; byvoorbeeld die bepaling van die wentelbane van voorwerpe wat om die son draai. ^[21]

Eiendomme

Net soos twee (afsonderlike) punte 'n lyn bepaal, bepaal vyf punte 'n keëlvormige . Aangesien enige vyf punte in die vlak in 'n algemene lineêre posisie , wat beteken dat daar geen drie kollineêr is nie , is daar 'n unieke keëlvormige deurgang wat nie degenereer nie; dit is waar in sowel die Euklidiese vlak as die uitbreiding daarvan, die werklike projektiewe vlak. Inderdaad, gegewe vyf punte, gaan daar 'n kegeltjie daardeur, maar as drie van die punte kollinêr is, sal die kegeltjie ontaard (verminderbaar omdat dit 'n lyn bevat) en is dit miskien nie uniek nie; sien verdere bespreking .

Vier punte in die vlak in algemene lineêre posisie bepaal 'n unieke keëlvorm wat deur die eerste drie punte beweeg en die vierde punt as middelpunt is. Die kennis van die middelpunt is dus gelykstaande aan die ken van twee punte op die keëlvorm om die kromme te bepaal. ^[22]

Verder word 'n kegel bepaal deur enige kombinasie van k- punte in die algemene posisie waardeur dit gaan en 5 - k lyne wat daaraan raak, vir 0≤ k ≤5. ^[23]

Enige punt in die vlak is op 'n nul-, een of twee raaklyne van 'n kegel. 'N Punt op net een raaklyn is op die kegel. Daar word gesê dat 'n punt op geen raaklyn 'n binnepunt (of binnepunt ) van die kegel is nie, terwyl 'n punt op twee raaklyne 'n buitepunt (of buitenste punt ) is.

Al die kegelsnitte deel 'n weerkaatsingseienskap wat gestel kan word as: Alle spieëls in die vorm van 'n nie-gedegenereerde kegelsnit weerkaats lig wat van die een fokus na of weg van die ander fokus af kom. In die geval van die parabool moet die tweede fokus as oneindig ver beskou word, sodat die ligstrale wat na die tweede fokus gaan of na mekaar gaan parallel is. ^{[24] [25]}

Die stelling van Pascal het betrekking op die kollineariteit van drie punte wat opgestel word uit 'n stel van ses punte op enige nie-degenereerde keëlvormige. Die stelling geld ook vir ontaarde kegels wat uit twee reëls bestaan, maar in daardie geval staan ​​dit as Pappus se stelling bekend .

Nie-ontaarde kegelsnitte is altyd ' glad '. Dit is belangrik vir baie toepassings, soos aerodinamika, waar 'n gladde oppervlak benodig word om laminêre vloei te verseker en om onstuimigheid te voorkom .

Menaechmus en vroeë werke

Daar word geglo dat Menaechmus (oorlede 320 v.C.) die eerste definisie van 'n kegelsnit gegee het as deel van sy oplossing vir die Deliaanse probleem ( duplisering van die kubus ). ^{[26] [27]} Sy werk het nie oorleef nie, nie eers die name wat hy vir hierdie kurwes gebruik het nie, en is slegs bekend deur sekondêre verslae. ^[28] Die destydse definisie verskil van die een wat vandag algemeen gebruik word. Kegels is gekonstrueer deur 'n regte driehoek om een ​​van sy pote te draai, sodat die skuinssy die oppervlak van die keël genereer (so 'n lyn word 'n generatrix genoem ). Drie soorte keëls is bepaal deur hul hoekhoeke (gemeet aan twee keer die hoek wat deur die skuinssy gevorm word en die been wat in die regte driehoek gedraai word). Die kegelsnit is dan bepaal deur een van hierdie keëls te sny met 'n vlak wat loodreg op 'n generatrix getrek is. Die tipe kegel word bepaal deur die tipe kegel, dit wil sê deur die hoek wat aan die hoekpunt van die kegel gevorm word: As die hoek skerp is, dan is die kegel 'n ellips; as die hoek reg is, is die keëlvorm 'n parabool; en as die hoek stomp is, dan is die kegelvormige hiperbool (maar slegs een tak van die kromme). ^[29]

Euclid (fl. 300 BCE) het na bewering vier boeke oor kegels geskryf, maar dit het ook verlore gegaan. ^{[30] Dit} is bekend dat Archimedes (oorlede ongeveer 212 v.G.J.) keëls bestudeer het, nadat hy die gebied bepaal het wat deur 'n parabool en 'n akkoord in die kwadratuur van die parabool begrens is . Sy grootste belangstelling was in terme van die meting van oppervlaktes en die aantal figure wat verband hou met die kegels, en 'n gedeelte van hierdie werk bestaan ​​in sy boek oor die vaste stowwe van rewolusie van kegels, On Conoids en Spheroids . ^[31]

Apollonius van Perga

Diagram uit Apollonius ' Conics , in 'n 9de-eeuse Arabiese vertaling

Die grootste vordering met die bestudering van kegels deur die antieke Grieke is te danke aan Apollonius van Perga (oorlede ongeveer 190 v.G.J.), waarvan die agt-volume keëlafdelings of kegels die bestaande kennis saamgevat en sterk uitgebrei het. ^[32] Die studie van Apollonius oor die eienskappe van hierdie krommes het dit moontlik gemaak om aan te toon dat enige vlak wat 'n vaste dubbele kegel sny (twee nappe), ongeag die hoek daarvan, 'n kegelvormige produk volgens die vorige definisie sal lewer, wat lei tot die definisie wat algemeen gebruik word vandag. Sirkels, wat nie volgens die vorige metode konstrueerbaar is nie, is ook op hierdie manier verkrygbaar. Dit kan verklaar waarom Apollonius sirkels as 'n vierde soort kegelsnit beskou het, 'n onderskeid wat nie meer getref word nie. Apollonius het die name ellips , parabool en hiperbool vir hierdie krommes gebruik en die terminologie ontleen aan vroeëre Pythagorese werk oor gebiede. ^[33]

Pappus van Alexandrië (oorlede ongeveer 350 CE) word toegeskryf aan die uiteensetting van die belangrikheid van die konsep van die fokus van 'n kegel, en die uiteensetting van die verwante konsep van 'n directrix , insluitend die geval van die parabool (wat ontbreek in die bekende werke van Apollonius). ^[34]

Al-Kuhi

'N Instrument vir die teken van kegelsnitte is die eerste keer in 1000 CE beskryf deur die Islamitiese wiskundige Al-Kuhi . ^{[35] : 30 [36]}

Omar Khayyám

Apollonius se werk is in Arabies vertaal, en baie van sy werk oorleef slegs deur die Arabiese weergawe. Perse het toepassings van die teorie gevind, veral die Persiese ^[37] wiskundige en digter Omar Khayyám , wat 'n meetkundige metode gevind het om kubieke vergelykings op te los deur kegelsnitte te gebruik. ^{[38] [39]}

Europa

Johannes Kepler brei die teorie van kegels uit deur die " beginsel van kontinuïteit ", 'n voorloper van die begrip limiete. Kepler het die term foci die eerste keer in 1604 gebruik. ^[40]

Girard Desargues en Blaise Pascal het 'n teorie van kegels ontwikkel met behulp van 'n vroeë vorm van projektiewe meetkunde, en dit het daartoe bygedra om 'n impuls te gee vir die bestudering van hierdie nuwe veld. In die besonder het Pascal 'n stelling ontdek wat bekend staan ​​as die hexagrammum mysticum waaruit baie ander eienskappe van kegels afgelei kan word.

René Descartes en Pierre Fermat het albei hul nuut ontdekte analitiese meetkunde toegepas op die studie van kegels. Dit het daartoe gelei dat die meetkundige probleme van kegels verminder tot algebra-probleme. Dit was egter John Wallis in sy verhandeling van Tractatus de sectionibus conicis uit 1655 wat die kegelsnitte die eerste keer gedefinieer het as gevalle van vergelykings van die tweede graad. ^[41] Jan de Witt se Elementa Curvarum Linearum , wat vroeër geskryf is, maar later gepubliseer is, begin met Kepler se kinematiese konstruksie van die kegels en ontwikkel dan die algebraïese vergelykings. Hierdie werk, wat Fermat se metodiek en Descartes se notasie gebruik, word beskryf as die eerste handboek oor die onderwerp. ^[42] De Witt het die term directrix uitgevind . ^[42]

Die paraboloïede vorm van Archeocyathids produseer keëlvormige gedeeltes op rotsvlakke

Kegelvormige gedeeltes is belangrik in die sterrekunde : die wentelbane van twee massiewe voorwerpe wat wissel volgens Newton se wet van universele gravitasie, is keëlvormige gedeeltes as hul gemeenskaplike massamiddelpunt as rus beskou word. As hulle aan mekaar gebind is, sal hulle albei ellipse opspoor; as hulle uitmekaar beweeg, volg hulle albei parabolas of hiperbole. Sien tweelyfprobleem .

Die reflektiewe eienskappe van die kegelsnitte word gebruik in die ontwerp van soekligte, radioteleskope en sommige optiese teleskope. ^{[43] '} n Soeklig gebruik 'n paraboliese spieël as die weerkaatser, met 'n gloeilamp in die fokus; en 'n soortgelyke konstruksie word gebruik vir 'n paraboliese mikrofoon . Die 4,2 meter optiese Herschel-teleskoop op La Palma, op die Kanariese eilande, gebruik 'n primêre paraboliese spieël om lig na 'n sekondêre hiperboliese spieël te weerkaats, wat dit weer weerkaats in 'n fokus agter die eerste spieël.

Die keëlvormige gedeeltes het baie soortgelyke eienskappe in die Euklidiese vlak en die redes hiervoor word duideliker as die kegels vanuit 'n groter meetkunde gesien word. Die Euklidiese vlak kan in die werklike projektiewe vlak ingebed wees en die kegels kan as voorwerpe in hierdie projektiewe meetkunde beskou word. Een manier om dit te doen, is deur homogene koördinate in te stel en 'n kegelsnit te definieer as die stel punte waarvan die koördinate 'n onherleibare kwadratiese vergelyking in drie veranderlikes (of ekwivalent, die nulle van 'n onherleibare kwadratiese vorm ) bevredig . Meer tegnies, die stel punte wat nulle is van 'n kwadratiese vorm (in enige aantal veranderlikes) word 'n kwadraat genoem , en die onherleibare kwadrieke in 'n tweedimensionele projektiewe ruimte (dit wil sê drie veranderlikes) word tradisioneel kegels genoem.

Die Euklidiese vliegtuig R ² is ingesluit in die werklike projektiewe vlak deur aangrensende n lyn by oneindigheid (en sy ooreenstemmende punte op die oneindigheid ) sodat al die lyne van 'n parallel klas ontmoet op hierdie lyn. Aan die ander kant, begin met die werklike projeksievlak, word 'n Euklidiese vlak verkry deur 'n lyn as oneindige lyn te onderskei en dit en al sy punte te verwyder.

Kruising op oneindigheid

In 'n projeksieruimte oor enige delingsring, maar veral oor die reële of komplekse getalle, is alle nie-ontaarde kegels ekwivalent, en in die projektiewe meetkunde word daar dus net van 'n keëlvorm gepraat sonder om 'n tipe te spesifiseer. Daar is 'n projektiewe transformasie wat enige nie-degenereerde kegelvormige kaart aan enige ander nie-degenereerde kegelvorm sal toewys. ^[44]

Die drie soorte kegelsnitte verskyn weer in die affine vlak wat verkry word deur 'n lyn van die projektiewe ruimte te kies om die oneindige lyn te wees. Die drie soorte word dan bepaal deur hoe hierdie lyn by oneindigheid die kegel in die projektiewe ruimte sny. In die ooreenstemmende affinale ruimte verkry 'n mens 'n ellips as die kegel nie die lyn by die oneindige sny nie, 'n parabool as die kegel die lyn in die oneindige sny in een dubbelpunt wat ooreenstem met die as, en 'n hiperbool as die kegel die lyn sny by oneindigheid in twee punte wat ooreenstem met die asimptote. ^[45]

Homogene koördinate

In homogene koördinate kan ' n keëlvormige gedeelte voorgestel word as:

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}$

Of in matriks notasie

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ regs) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0.}$

Die 3 × 3-matriks hierbo word die matriks van die kegelsnit genoem .

Sommige outeurs skryf die algemene homogene vergelyking as

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,}$

(of 'n variasie hiervan) sodat die matriks van die kegelsnit die eenvoudiger vorm het,

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ regs),}$

maar hierdie notasie word nie in hierdie artikel gebruik nie. ^[46]

As die determinant van die matriks van die kegelsnit nul is, is die kegelsnit ontaard .

Aangesien al ses koëffisiënte met dieselfde nie-nul skalaar vermenigvuldig word, word 'n vergelyking met dieselfde stel nulle opgelewer, kan 'n mens kegels beskou, voorgestel deur ( A , B , C , D , E , F ) as punte in die vyf-dimensionele projektiewe ruimte ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

Projektiewe definisie van 'n sirkel

Metriese konsepte van die Euklidiese meetkunde (begrippe wat handel oor die meting van lengtes en hoeke) kan nie onmiddellik uitgebrei word na die werklike projeksievlak nie. ^[47] Hulle moet in hierdie nuwe meetkunde herdefinieer (en veralgemeen word). Dit kan gedoen word vir arbitrêre projeksievlakke , maar om die werklike projeksievlak as die uitgebreide Euklidiese vlak te verkry, moet daar spesifieke keuses gemaak word. ^[48]

Bevestig 'n arbitrêre lyn in 'n projektiewe vlak waarna die absolute lyn sal verwys . Kies twee duidelike punte op die absolute lyn en verwys daarna as absolute punte . Verskeie metriese begrippe kan gedefinieer word aan die hand van hierdie keuses. Byvoorbeeld, gegewe 'n lyn met die punte A en B , die middelpunt van lynstuk AB word gedefinieer as die punt C wat die projektiewe harmoniese konjugaat van die snypunt van AB en die absolute lyn, met betrekking tot 'n en B .

'N Kegel in 'n projektiewe vlak wat die twee absolute punte bevat, word 'n sirkel genoem . Aangesien vyf punte 'n kegel bepaal, word 'n sirkel (wat ontaard kan word) deur drie punte bepaal. Om die uitgebreide Euklidiese vlak te verkry, word die absolute lyn gekies om die lyn in oneindigheid van die Euklidiese vlak te wees, en die absolute punte is twee spesiale punte op die lyn wat die sirkelpunte by oneindigheid genoem word . Lyne wat twee punte met werklike koördinate bevat, gaan nie oneindig deur die sirkelpunte nie, dus in die Euklidiese vlak word 'n sirkel onder hierdie definisie bepaal deur drie punte wat nie kollineêr is nie . ^{[49] : 72}

Daar is genoem dat sirkels in die Euclidiese vlak nie gedefinieer kan word deur die fokus-directrix-eienskap nie. As 'n mens egter die lyn by oneindigheid sou beskou as die direksie, sal die sirkel die fokus-direksie-eienskap hê deur die eksentrisiteit op e = 0 te neem , maar dit word steeds nie deur die eienskap gedefinieer nie. ^{[50] 'n} Mens moet in hierdie situasie oppas om die definisie van eksentrisiteit korrek te gebruik as die verhouding van die afstand van 'n punt op die sirkel tot die fokus (lengte van 'n radius) tot die afstand van daardie punt tot die direksie (hierdie afstand is oneindig) wat die beperkingswaarde van nul gee.

Steiner se projektiewe kegeldefinisie

Definisie van die Steiner-generasie van 'n kegelsnit

Jakob Steiner gee in 1867 ' n sintetiese (koördinaatvrye) benadering om die kegelsnitte in 'n projektiewe vlak te definieer .

• Gegee twee potlode ${\ displaystyle B (U), B (V)}$ lyne op twee punte ${\ displaystyle U, V}$ (alle lyne bevat ${\ displaystyle U}$ en ${\ displaystyle V}$resp.) en 'n projektiewe maar nie perspektiewe kartering nie${\ displaystyle \ pi}$ van ${\ displaystyle B (U)}$ op ${\ displaystyle B (V)}$. Dan vorm die snypunte van ooreenstemmende lyne 'n nie-degenereerde projektiewe kegelsnit. ^{[51] [52] [53] [54]}

A perspektief kartering${\ displaystyle \ pi}$ van 'n potlood ${\ displaystyle B (U)}$ op 'n potlood ${\ displaystyle B (V)}$is 'n binding (1-1 ooreenstemming) sodat ooreenstemmende lyne op 'n vaste lyn kruis${\ displaystyle a}$, wat die as van die perspektiwiteit genoem word${\ displaystyle \ pi}$.

'N Projektiewe kartering is 'n eindige volgorde van perspektiefaanwysings.

Aangesien 'n projektiewe kartering in 'n projektiewe vlak oor 'n veld ( pappiese vlak ) uniek bepaal word deur die beelde van drie lyne voor te skryf, ^[55] vir die Steiner-generasie van 'n keëlvormige gedeelte, behalwe twee punte${\ displaystyle U, V}$slegs die beelde van drie reëls moet gegee word. Hierdie 5 items (2 punte, 3 reëls) bepaal die keëlvormige gedeelte uniek.

Lynkegels

Volgens die beginsel van dualiteit in 'n projektiewe vlak is die dubbele van elke punt 'n lyn en word die dubbele van 'n plek van punte ('n stel punte wat aan 'n sekere toestand voldoen) 'n koevert van lyne genoem. Met behulp van Steiner se definisie van 'n kegelsnoer (hierdie punt van die punt word nou 'n puntkegel genoem ) as die ontmoeting van ooreenstemmende strale van twee verwante potlode, is dit maklik om die ooreenstemmende omhulsel te dubbel en te verkry, bestaande uit die verbindings van ooreenstemmende punte van twee verwante reekse (punte op 'n lyn) op verskillende basisse (die lyne waarop die punte is). So 'n koevert word 'n lynkegel (of dubbele kegel ) genoem.

In die regte projeksievlak het 'n puntkegel die eienskap dat elke lyn dit in twee punte ontmoet (wat kan saamval of kompleks kan wees) en enige stel punte met hierdie eienskap is 'n puntkegel. Dit volg tweevoudig dat 'n lynkegel twee van sy lyne deur elke punt het en dat enige omhulsel lyne met hierdie eienskap 'n lynkegel is. Op elke punt van 'n puntkegel is daar 'n unieke raaklyn, en tweeledig is daar op elke lyn van 'n lynkegel 'n unieke punt wat 'n kontakpunt genoem word . 'N Belangrike stelling stel dat die raaklyne van 'n puntkegel 'n lynkegel vorm, en tweeledig die raakpunte van 'n lynkegel 'n puntkegel vorm. ^{[56] : 48–49}

Von Staudt se definisie

Karl Georg Christian von Staudt definieer 'n kegel as die punt wat gegee word deur al die absolute punte van 'n polariteit wat absolute punte het. Von Staudt het hierdie definisie in Geometrie der Lage (1847) bekendgestel as deel van sy poging om alle metriese begrippe uit die projektiewe meetkunde te verwyder.

A polariteit , π , van 'n projektiewe vlak, P , is 'n involutory (dit wil sê, van orde twee) bijeksie tussen die punte en die lyne van P wat bewaar die voorkoms verhouding . Dus het 'n polariteit 'n punt Q met 'n lyn q en na aanleiding van Gergonne word q die pool van Q genoem en Q die pool van q . ^{[57] '} n Absolute punt ( lyn ) van 'n polariteit is een wat met sy pool (pool) invallend is. ^[58]

'N von Staudt-keël in die werklike projektiewe vlak is gelykstaande aan 'n Steiner-keël . ^[59]

Konstruksies

Geen deurlopende boog van 'n kegel kan met reguit en kompas gekonstrueer word nie. Daar is egter verskeie reguit-en-kompas-konstruksies vir enige aantal individuele punte op 'n boog.

Een daarvan is gebaseer op die omgekeerde van die stelling van Pascal, naamlik dat as die snypunte van die teenoorgestelde sye van 'n seshoek lynlyn is, dan lê die ses hoekpunte op 'n kegel. Spesifiek, gegewe vyf punte, A , B , C , D , E en 'n lyn wat deur E beweeg , byvoorbeeld EG , kan 'n punt F wat op hierdie lyn lê en op die kegelvormige punt bepaal word wat deur die vyf punte bepaal word. Laat AB ontmoet DE in L , BC ontmoet EG in M en laat CD ontmoet LM by N . Dan AN vergader EG by die verlangde punt F . ^{[60] : 52–53} Deur die lyn deur E te varieer , kan soveel addisionele punte op die keëlvormige konstruksie gebou word.

Parallelogrammetode vir die konstruksie van 'n ellips

'N Ander metode, gebaseer op die konstruksie van Steiner, en wat nuttig is in ingenieurswese-toepassings, is die parallelogrammetode , waar 'n kegel punt vir punt opgebou word deur sekere ewe gespasieerde punte op 'n horisontale en 'n vertikale lyn te verbind. ^[61] Spesifiek om die ellips met vergelyking te konstrueerx ²/a ² + y ²/b ²= 1 , konstrueer eers die reghoek ABCD met hoekpunte A ( a , 0), B ( a , 2 b ), C (- a , 2 b ) en D (- a , 0) . Verdeel die sy BC in n gelyke segmente en gebruik parallelle projeksie, met betrekking tot die diagonale AC , om gelyke segmente aan kant AB te vorm (die lengtes van hierdie segmente isb/akeer die lengte van die segmente op BC ). Merk die linkerkantpunte van die segmente aan die kant BC, met A ₁ tot A _n wat by B begin en in die rigting van C gaan . Aan die kant AB benoem die boonste eindpunte D ₁ tot D _n wat by A begin en na B gaan . Die snypunte, AA _i ∩ DD _i vir 1 ≤ i ≤ n , is punte van die ellips tussen A en P (0, b ) . Die etikettering assosieer die lyne van die potlood tot by A met die lyne van die potlood deur D projektief, maar nie perspektief nie. Die gesoekte kegelspel word verkry deur hierdie konstruksie, aangesien drie punte A , D en P en twee raaklyne (die vertikale lyne by A en D ) die kegelvormig bepaal. As 'n ander deursnee (en sy gekonjugeerde deursnee) gebruik word in plaas van die hoof- en kleinas van die ellips, word 'n parallelogram wat nie 'n reghoek is nie, in die konstruksie gebruik, met die naam van die metode. Die assosiasie van die lyne van die potlode kan verleng word om ander punte op die ellips te verkry. Die konstruksies vir hiperbole ^[62] en parabolas ^[63] is soortgelyk.

Nog 'n algemene metode gebruik die polariteitseienskap om die raaklynomhulsel van 'n kegel ('n lynkegel) te konstrueer. ^[64]

In die komplekse vlak C ² is ellipse en hiperbole nie onderskeidend nie: 'n hiperbool kan beskou word as 'n ellips met 'n denkbeeldige aslengte. Byvoorbeeld die ellips${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ word 'n hiperbool onder die vervanging ${\ displaystyle y = iw,}$ meetkundig 'n komplekse rotasie wat oplewer ${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}$. Daar is dus 'n tweerigtingklassifikasie: ellips / hiperbool en parabool. As u die krommes uitbrei na die komplekse projeksievlak, stem dit ooreen met die kruising van die lyn by oneindigheid in twee afsonderlike punte (wat ooreenstem met twee asimptote) of in 1 dubbelpunt (wat ooreenstem met die as van 'n parabool); dus is die werklike hiperbool 'n meer suggestiewe werklike beeld vir die komplekse ellips / hiperbool, aangesien dit ook 2 (regte) kruisings met die lyn op oneindig het.

Verdere eenwording vind plaas in die komplekse projeksievlak CP ² : die nie-degenereerde kegels kan nie van mekaar onderskei word nie, aangesien enige een deur 'n projektiewe lineêre transformasie na enige ander geneem kan word .

Dit kan bewys dat in CP ² , twee kegelsnedes het vier punte in gemeen (as 'n mens is verantwoordelik vir veelheid ), so daar is tussen 1 en 4 kruising punte. Die kruisingsmoontlikhede is: vier onderskeibare punte, twee enkelvoudige punte en een dubbelpunt, twee dubbelpunte, een enkelvoudige punt en een met veelvoud 3, een punt met veelheid 4. As enige snypunt veelvoud> 1 het, word die twee krommes gesê te wees raaklyn . As daar minstens 3 'n kruispunt van veelvoud is, word gesê dat die twee krommes osculeer . As daar net een kruispunt is, wat veelvoud 4 het, word gesê dat die twee krommes superskakelend is . ^[65]

Verder sny elke reguit lyn elke kegelsnit twee keer. As die snypunt dubbel is, is die lyn 'n raaklyn . As u die lyn by oneindig kruis, het elke keëlafdeling twee punte by oneindigheid. As hierdie punte werklik is, is die kromme 'n hiperbool ; as dit denkbeeldige vervoegdes is, is dit 'n ellips ; as daar net een dubbelpunt is, is dit 'n parabool . As die punte by oneindigheid die sikliese punte (1, i , 0) en (1, - i , 0) is , is die keëlvormige gedeelte 'n sirkel . As die koëffisiënte van 'n keëlvormige reële reël is, is die punte by oneindigheid reëel of kompleks gekonjugeerd .

Wat as 'n ontaarde geval van 'n keëlvormig beskou moet word, hang af van die definisie wat gebruik word en die geometriese instelling van die keëlvormige gedeelte. Daar is 'n paar outeurs wat 'n keëlvorm definieer as 'n tweedimensionele nie-gedegenereerde vierhoek. Met hierdie terminologie bestaan ​​daar geen ontaarde kegels nie (slegs ontaarde kwadrieke), maar ons sal die meer tradisionele terminologie gebruik en die definisie vermy.

In die Euclidiese vlak, met behulp van die geometriese definisie, ontstaan ​​'n ontaarde geval wanneer die snyvlak deur die punt van die keël gaan. Die ontaarde kegelvormige vorm is óf: 'n punt wanneer die vlak die kegel slegs aan die top kruis; 'n reguit lyn , wanneer die vlak aan die kegel raak (dit bevat presies een kragopwekker van die kegel); of 'n paar kruisingslyne (twee kragopwekkers). ^[66] Dit stem ooreen met die beperkende vorms van 'n ellips, parabool en 'n hiperbool.

As 'n kegel in die Euclidiese vlak gedefinieër word deur die nulle van 'n kwadratiese vergelyking (dit wil sê as 'n kwadraat), dan is die degenereerde kegels: die leë versameling , 'n punt of 'n paar lyne wat parallel kan wees, mekaar sny op 'n punt, of saamval. Die leë stelkas kan ooreenstem met 'n paar komplekse gekonjugeerde parallelle lyne soos met die vergelyking${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0,}$of na 'n denkbeeldige ellips , soos met die vergelyking${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.}$'N Denkbeeldige ellips bevredig nie die algemene definisie van 'n degenerasie nie , en word dus normaalweg nie as ontaard beskou nie. ^[67] Die geval met twee lyne kom voor wanneer die kwadratiese uitdrukking faktoreer in twee lineêre faktore, waarvan die nulle 'n lyn gee. In die geval dat die faktore dieselfde is, val die ooreenstemmende lyne saam en verwys ons na die lyn as 'n dubbele lyn ('n lyn met veelvoud 2) en dit is die vorige geval van 'n raaklynvlak.

Aangesien parallelle lyne mekaar op 'n punt op die lyn by oneindig ontmoet, kan die parallelle lyngeval van die Euklidiese vlak as kruisende lyne gesien word. Aangesien die kruispunt egter die punt van die keël is, ontaard die keël self tot 'n silinder , dws met die toppunt op oneindig. Ander afdelings word in hierdie geval silindriese afdelings genoem . ^[68] Die nie-ontaarde silindriese snitte is ellipse (of sirkels).

As ons vanuit die perspektief van die komplekse projeksievlak kyk, kan die ontaarde gevalle van 'n werklike kwadraat (dws die kwadratiese vergelyking werklike koëffisiënte het) beskou word as 'n paar lyne, wat moontlik saamval. Die leë versameling kan die oneindige lyn wees as 'n dubbele lyn, 'n (regte) punt is die snyding van twee komplekse vervoegde lyne en die ander gevalle soos voorheen genoem.

Om die gedegenereerde gevalle te onderskei van die nie-gedegenereerde gevalle (insluitend die leë versameling met laasgenoemde) met behulp van matriksnotasie, laat β die determinant van die 3 × 3-matriks van die kegelsnit wees - dit wil sê β = ( AC - B ²/4) F + BED - CD ² - AE ²/4; en laat α = B ² - 4 AC die onderskeidende persoon wees. Dan is die kegelsnit nie-degenereer as en slegs as β ≠ 0 . As β = 0, het ons 'n punt as α <0 , twee ewewydige lyne (moontlik saamval) as α = 0 , of twee snylyne as α > 0 . ^[69]

'N Kegelvormige (nie-degenereerde) kegel word volledig bepaal deur vyf punte in die algemene posisie (geen drie kollineer ) in 'n vlak en die stelsel van kegels wat deur 'n vaste stel van vier punte gaan (weer in 'n vlak en geen drie kollien) word genoem 'n potlood van kegels . ^{[70] : 64} Die vier algemene punte word die basispunte van die potlood genoem. Deur enige ander punt as 'n basispunt gaan daar 'n enkele kegel van die potlood. Hierdie konsep veralgemeen 'n potlood van sirkels . ^{[71] : 127}

Die oplossings vir 'n stelsel van twee tweedegraadse vergelykings in twee veranderlikes kan gesien word as die koördinate van die snypunte van twee generiese kegelsnitte. In die besonder kan twee kegels geen, twee of vier moontlike samevallende kruispunte besit nie. 'N Doeltreffende metode om hierdie oplossings op te spoor, benut die homogene matriksvoorstelling van kegelsnitte , dws 'n 3 × 3 simmetriese matriks wat van ses parameters afhang.

Die prosedure om die snypunte op te spoor volg hierdie stappe, waar die kegels deur matrikse voorgestel word: ^[72]

• gegee die twee kegels ${\ displaystyle C_ {1}}$ en ${\ displaystyle C_ {2}}$, beskou die kegelpotlood wat deur hul lineêre kombinasie gegee word ${\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.}$
• identifiseer die homogene parameters ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}$wat ooreenstem met die ontaarde kegel van die potlood. Dit kan gedoen word deur die voorwaarde te stel dat${\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0}$ en oplos vir ${\ displaystyle \ lambda}$ en ${\ displaystyle \ mu}$. Dit blyk die oplossings van 'n derdegraadse vergelyking te wees.
• gegewe die ontaarde kegelvormige ${\ displaystyle C_ {0}}$, identifiseer die twee lyne, wat moontlik saamgeval kan word.
• sny elke geïdentifiseerde lyn met een van die twee oorspronklike keëls; hierdie stap kan doeltreffend gedoen word deur die dubbele kegelvormige voorstelling van${\ displaystyle C_ {0}}$
• die snypunte sal die oplossings vir die aanvanklike vergelykingstelsel voorstel.

Kegels kan oor ander velde gedefinieer word (dit wil sê in ander pappiese meetkunde ). Daar moet egter versigtig wees wanneer die veld karakteristiek 2 het, aangesien sommige formules nie gebruik kan word nie. Byvoorbeeld, die matriksvoorstellings wat hierbo gebruik word , verdeel deur 2.

Die veralgemening van 'n nie-ontaarde kegel in 'n projektiewe vlak is 'n ovaal . 'N Ovaal is 'n puntstel met die volgende eienskappe wat deur kegels gehou word: 1) enige lyn sny 'n ovaal in geen, een of twee punte, 2) op enige punt van die ovaal bestaan ​​'n unieke raaklyn.

Veralgemening van die fokus-eienskappe van kegels in die geval waar daar meer as twee brandpunte is, produseer versamelings genaamd algemene kegels .

Die klassifikasie in ellipties, parabolies en hiperbolies is wydverspreid in wiskunde en verdeel 'n veld dikwels in skerp onderskeie subvelde. Die klassifikasie ontstaan ​​meestal as gevolg van die aanwesigheid van 'n kwadratiese vorm (in twee veranderlikes stem dit ooreen met die gepaardgaande diskriminant ), maar kan ook ooreenstem met eksentrisiteit.

Kwadratiese vormklassifikasies:

Kwadratiese vorms

Kwadratiese vorms bo die reëls word geklassifiseer volgens die traagheidswet van Sylvester , naamlik volgens hul positiewe indeks, nul-indeks en negatiewe indeks: 'n kwadratiese vorm in n veranderlikes kan omgeskakel word na 'n diagonale vorm , soos ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2},}$waar die aantal +1 koëffisiënte, k, die positiewe indeks is, die aantal −1 koëffisiënte, ℓ , die negatiewe indeks is, en die oorblywende veranderlikes die nulindeks m is, so ${\ displaystyle k + \ ell + m = n.}$ In twee veranderlikes word die nie-nul kwadratiese vorms geklassifiseer as:

• ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ - positief-definitief (die negatiewe is ook ingesluit), wat ooreenstem met ellipse,
• ${\ displaystyle x ^ {2}}$ - ontaard, ooreenstemmend met parabolas, en
• ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ - onbepaald, wat ooreenstem met hiperbole.

In twee veranderlikes word kwadratiese vorme geklassifiseer deur diskriminant, analoog aan kegels, maar in hoër dimensies is die nuttiger klassifikasie as definitief, (almal positief of negatief), ontaard, (sommige nulle) of onbepaald (mengsel van positief en negatief, maar geen nulle nie). Hierdie klassifikasie lê ten grondslag van baie wat volg.

Kromming

Die Gaussiese kromming van 'n oppervlak beskryf die infinitesimale meetkunde, en kan op elke punt óf positief wees - elliptiese meetkunde , nul - Euklidiese meetkunde (plat, parabool), of negatief - hiperboliese meetkunde ; oneindig, tot tweede orde lyk die oppervlak soos die grafiek van ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ (of 0), of ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$. Inderdaad, deur die uniformiseringsstelling kan daar van elke oppervlak gesien word dat dit wêreldwyd (op elke punt) positief gebuig, plat of negatief geboë is. In hoër dimensies is die Riemann-krommingstensor 'n ingewikkelder voorwerp, maar manifolds met konstante deursnee-kromming is interessante voorwerpe van studie en het opvallend verskillende eienskappe, soos bespreek in deursnee-kromming .

Tweede orde PDE's

Gedeeltelike differensiaalvergelykings (PDE's) van die tweede orde word op elke punt geklassifiseer as ellipties, parabolies of hiperbolies, aangesien hul tweede orde terme ooreenstem met 'n elliptiese, paraboliese of hiperboliese kwadratiese vorm. Die gedrag en teorie van hierdie verskillende soorte PDE's is opvallend verskillend - verteenwoordigende voorbeelde is dat die Poisson-vergelyking ellipties is, die hittevergelyking parabolies is en die golfvergelyking hiperbolies.

Eksentrisiteitsklassifikasies sluit in:

Möbius transformasies

Reële Möbius-transformasies (elemente van PSL 2 ( R ) of sy tweevoudige omslag, SL 2 ( R ) ) word dienooreenkomstig as ellipties, parabolies of hiperbolies geklassifiseer , aangesien hul halfspoor ${\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1,}$${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1,}$ of ${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1,}$ weerspieël die klassifikasie volgens eksentrisiteit.

Afwyking-tot-gemiddelde verhouding

Die variansie-tot-gemiddelde-verhouding klassifiseer verskeie belangrike families van diskrete waarskynlikheidsverdelings : die konstante verdeling as sirkelvormig (eksentrisiteit 0), binomiaalverdelings as ellipties, Poissonverdelings as paraboliese en negatiewe binomiaalverdelings as hiperbolies. Dit word uiteengesit by kumulante van enkele diskrete waarskynlikheidsverdelings .

• Circumconic en inconic
• Conic Sections Rebellion , betogings deur Yale-universiteitstudente
• Direkteurskring
• Elliptiese koördinaatstelsel
• Gelyke stel
• Nege-punt keëlvormige
• Paraboliese koördinate
• Kwadratiese funksie