• logo

Komplekse nommer

In wiskunde , 'n komplekse getal is 'n getal wat uitgedruk kan word in die vorm 'n + bi , waar 'n en b is reële getalle , en ek is 'n simbool genoem die imaginêre eenheid , en voldoen aan die vergelyking i 2 = -1 . Omdat geen "regte" getal aan hierdie vergelyking voldoen nie, is ek deur René Descartes 'n denkbeeldige nommer genoem . Vir die komplekse getal a + bi word a die genoemwerklike deel enbword die genoemdenkbeeldige deel . Die versameling komplekse getalle word deur een van die simbole aangedui C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \ mathbb {C} of C . Ondanks die historiese benaming "denkbeeldig" word komplekse getalle in die wiskundige wetenskappe net so "werklik" as die reële getalle beskou en is dit fundamenteel in baie aspekte van die wetenskaplike beskrywing van die natuurlike wêreld. [1] [2] [3] [4] [a]

'N Komplekse getal kan visueel voorgestel word as 'n paar getalle ( a ,  b ) wat 'n vektor vorm in 'n diagram genaamd 'n Argand-diagram , wat die komplekse vlak voorstel . Re is die werklike as, Im is die denkbeeldige as, en i is die " denkbeeldige eenheid " wat aan i 2 = -1 voldoen .

Komplekse getalle laat oplossings toe vir alle polinoomvergelykings , selfs die wat geen reële getalle het nie. Meer presies, die fundamentele stelling van algebra beweer dat elke polinoomvergelyking met werklike of komplekse koëffisiënte 'n oplossing het wat 'n komplekse getal is. Byvoorbeeld die vergelyking ( x + 1 ) 2 = - 9 {\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = - 9} {\ displaystyle (x + 1) ^ {2} = - 9}het geen werklike oplossing nie, aangesien die kwadraat van 'n reële getal nie negatief kan wees nie, maar die twee nie-werklike komplekse oplossings −1 + 3 i en −1 - 3 i het .

Optel, aftrek en vermenigvuldig van komplekse getalle kan natuurlik gedefinieer word deur die reël i 2 = −1 te gebruik, gekombineer met die assosiatiewe , kommutatiewe en distributiewe wette. Elke nie-nul komplekse getal het 'n vermenigvuldigende inverse . Dit maak die komplekse getalle 'n veld met die reële getalle as 'n subveld. Die komplekse getalle vorm ook 'n werklike vektorruimte van dimensie twee, met {1, i } as standaardbasis .

Hierdie standaardbasis maak die komplekse getalle 'n Cartesiese vlak , wat die komplekse vlak genoem word . Dit laat 'n geometriese interpretasie van die komplekse getalle en hul bewerkings toe, en andersom, in terme van komplekse getalle, enkele geometriese eienskappe en konstruksies uit te druk. Die reële getalle vorm byvoorbeeld die reële lyn wat geïdentifiseer word aan die horisontale as van die komplekse vlak. Die komplekse getalle van absolute waarde een vorm die eenheidsirkel . Die optel van 'n komplekse getal is 'n vertaling in die komplekse vlak, en die vermenigvuldiging met 'n komplekse getal is 'n ooreenkoms wat op die oorsprong gesentreer is. Die komplekse vervoeging is die refleksiesimmetrie met betrekking tot die werklike as. Die komplekse absolute waarde is 'n Euklidiese norm .

Samevattend vorm die komplekse getalle 'n ryk struktuur wat gelyktydig 'n algebraïese geslote veld is , 'n kommutatiewe algebra oor die reële gebied en 'n Euklidiese vektorruimte van dimensie twee.

Definisie

'N Illustrasie van die komplekse getal z = x + iy op die komplekse vlak . Die werklike deel is x , en die denkbeeldige deel daarvan is y .

'N komplekse getal is 'n aantal van die vorm 'n + bi , waar 'n en b is reële getalle , en ek is 'n onbepaalde bevredig i 2 = -1 . Byvoorbeeld, 2 + 3 i is 'n komplekse getal. [6] [3]

Op hierdie manier word 'n komplekse getal gedefinieer as 'n polinoom met werklike koëffisiënte in die enkele onbepaalde i , waarvoor die verhouding i 2 + 1 = 0 opgelê word. Op grond van hierdie definisie kan komplekse getalle bygevoeg en vermenigvuldig word deur die optelling en vermenigvuldiging vir polinome te gebruik. Die verhouding i 2 + 1 = 0 induseer die gelykhede i 4 k = 1, i 4 k +1 = i , i 4 k +2 = −1, en i 4 k +3 = - i , wat vir alle heelgetalle k hou ; dit laat die reduksie van enige polinoom toe wat voortspruit uit die optelling en vermenigvuldiging van komplekse getalle tot 'n lineêre polinoom in i , weer van die vorm a + bi met werklike koëffisiënte a, b.

Die reële getal a word die reële deel van die komplekse getal a + bi genoem ; die reële getal b word sy denkbeeldige deel genoem . Om te beklemtoon, bevat die denkbeeldige deel nie 'n faktor i nie ; dit wil sê die denkbeeldige deel is b , nie bi nie . [7] [8] [3]

Formeel word die komplekse getalle gedefinieer as die kwosiëntring van die polinoomring in die onbepaalde i , deur die ideaal wat deur die polinoom i 2 + 1 gegenereer word (sien hieronder ). [9]

Notasie

'N Reële getal a kan beskou word as 'n komplekse getal a + 0 i , waarvan die denkbeeldige deel 0. 'n Suiwer denkbeeldige getal bi is 'n komplekse getal 0 + bi , waarvan die reële deel nul is. Soos met polinome is dit algemeen om a vir a + 0 i en bi vir 0 + bi te skryf . Verder, wanneer die denkbeeldige deel negatief is, dit wil sê b = - | b | <0 , is dit algemeen om a - | b | i in plaas van a + (- | b | ) i te skryf ; byvoorbeeld, vir b = −4 kan 3 - 4 i geskryf word in plaas van 3 + (−4) i .

Aangesien die vermenigvuldiging van die onbepaalde i en 'n reële kommutatief is in polinome met werklike koëffisiënte, kan die polinoom a + bi as a + ib geskryf word . Dit is dikwels nuttig vir denkbeeldige dele wat deur uitdrukkings aangedui word, byvoorbeeld as b 'n radikale is. [10]

Die werklike deel van 'n komplekse getal z word aangedui deur Re ( z ) , R e ( Z ) {\ displaystyle {\ mathcal {Re}} (z)} {\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}, of R ( Z ) {\ displaystyle {\ mathfrak {R}} (z)} {\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}; die denkbeeldige deel van 'n komplekse getal z word aangedui deur Im ( z ) , Ek m ( Z ) {\ displaystyle {\ mathcal {Im}} (z)} {\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}, of Ek ( Z ) . {\ displaystyle {\ mathfrak {I}} (z).} {\displaystyle {\mathfrak {I}}(z).}[2] Byvoorbeeld,

Re ⁡ ( 2 + 3 i ) = 2  en  Im ⁡ ( 2 + 3 i ) = 3   . {\ displaystyle \ operatorname {Re} (2 + 3i) = 2 \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {Im} (2 + 3i) = 3 ~.} {\displaystyle \operatorname {Re} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (2+3i)=3~.}

Die versameling van alle komplekse getalle word aangedui deur C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} ( swartbord vetdruk ) of C (regop vetdruk). [2]

In sommige vakgebiede, veral in elektromagnetisme en elektriese ingenieurswese , word j gebruik in plaas van i, aangesien i gereeld gebruik word om elektriese stroom voor te stel . [11] In hierdie gevalle word komplekse getalle geskryf as a + bj , of a + jb .

Visualisering

'N Komplekse getal z , as 'n punt (swart) en sy posisievektor (blou)

'N Komplekse getal z kan dus met 'n geordende paar geïdentifiseer word ( ℜ ( Z ) , ℑ ( Z ) ) {\ displaystyle (\ Re (z), \ Im (z))} {\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}reële getalle, wat weer geïnterpreteer kan word as koördinate van 'n punt in 'n tweedimensionele ruimte. Die mees onmiddellike ruimte is die Euklidiese vlak met geskikte koördinate, wat dan komplekse vlak of Argand-diagram genoem word , [12] [b] [13] vernoem na Jean-Robert Argand . 'N Ander prominente ruimte waarop die koördinate geprojekteer kan word, is die tweedimensionele oppervlak van 'n sfeer, wat dan Riemann-sfeer genoem word .

Cartesiese komplekse vlak

Die definisie van die komplekse getalle wat twee arbitrêre reële waardes behels, dui onmiddellik op die gebruik van Cartesiese koördinate in die komplekse vlak. Die horisontale ( regte ) as word gewoonlik gebruik om die werklike deel te vertoon, met toenemende waardes na regs, en die denkbeeldige deel dui die vertikale ( denkbeeldige ) as aan, met toenemende waardes opwaarts.

'N Gekaarte getal kan gesien word as die gekoördineerde punt of as 'n posisievektor vanaf die oorsprong tot hiertoe. Die koördinaatwaardes van 'n komplekse getal z kan dus in die Cartesiese , reghoekige of algebraïese vorm uitgedruk word.

Opmerklik is dat die bewerkings van optelling en vermenigvuldiging 'n baie natuurlike geometriese karakter aanneem as komplekse getalle as posisievektore beskou word: optelling kom ooreen met vektortelling , terwyl vermenigvuldiging (sien hieronder ) ooreenstem met die vermenigvuldiging van hul groottes en die optel van die hoeke wat hulle maak met die regte as. Op hierdie manier beskou, vermenigvuldig die vermenigvuldiging van 'n komplekse getal met i die rotasie van die posisievektor teen ' n kwart draai ( 90 ° ) om die oorsprong - 'n feit wat algebraies soos volg uitgedruk kan word:

( a + b i ) ⋅ i = a i + b ( i ) 2 = - b + a i . {\ displaystyle (a + bi) \ cdot i = ai + b (i) ^ {2} = - b + ai.} {\displaystyle (a+bi)\cdot i=ai+b(i)^{2}=-b+ai.}

Polêre komplekse vlak

Argument φ en modulus r vind 'n punt in die komplekse vlak.

Modulus en argument

'N Alternatiewe opsie vir koördinate in die ingewikkelde vlak is die polêre koördinaatstelsel wat die afstand van die punt z vanaf die oorsprong ( O ) gebruik, en die hoek wat tussen die positiewe reële as en die lynsegment Oz in 'n antikloksgewyse sin is. Dit lei tot die poolvorm van komplekse getalle.

Die absolute waarde (of modulus of grootte ) van 'n komplekse getal z = x + yi is [14]

r = | Z | = x 2 + y 2 . {\ displaystyle r = | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.} {\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

As z 'n reële getal is (dit wil sê as y = 0 ), dan is r = | x | . Dit wil sê die absolute waarde van 'n reële getal is gelyk aan die absolute waarde daarvan as 'n komplekse getal.

Volgens die stelling van Pythagoras is die absolute waarde van 'n komplekse getal die afstand tot die oorsprong van die punt wat die komplekse getal in die komplekse vlak voorstel .

Die argument van z (in baie toepassings word die "fase" φ genoem ) [13] is die hoek van die radius Oz met die positiewe reële as, en word geskryf as arg z . Soos met die modulus, kan die argument gevind word vanuit die reghoekige vorm x + yi [15] - deur die omgekeerde raaklyn toe te pas op die kwosiënt van denkbeeldige-by-werklike dele. Deur 'n halfhoekidentiteit te gebruik, is 'n enkele tak van die arctan voldoende om die omvang van die arg -funksie te dek , (- π , π ] , en vermy 'n meer subtiele geval-tot-geval-analise

φ = argumenteer ⁡ ( x + y i ) = { 2 arctan ⁡ ( y x 2 + y 2 + x ) as  x > 0  of  y ≠ 0 , π as  x < 0  en  y = 0 , ongedefinieerd as  x = 0  en  y = 0. {\ displaystyle \ varphi = \ arg (x + yi) = {\ begin {cases} 2 \ arctan \ left ({\ dfrac {y} {{\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} + x}} \ regs) en {\ text {if}} x> 0 {\ text {of}} y \ neq 0, \\\ pi & {\ text {if}} x <0 {\ text {en }} y = 0, \\ {\ text {undefined}} en {\ text {if}} x = 0 {\ text {en}} y = 0. \ end {cases}}} {\displaystyle \varphi =\arg(x+yi)={\begin{cases}2\arctan \left({\dfrac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)&{\text{if }}x>0{\text{ or }}y\neq 0,\\\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y=0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}}

Normaalweg, soos hierbo gegee, word die hoofwaarde in die interval gekies (- π , π ] . Waardes in die reeks [0, 2 π ) word verkry deur 2 π by te voeg - as die waarde negatief is. Die waarde van φ word in hierdie artikel in radiale uitgedruk . Dit kan met 'n heelgetal veelvoud van 2 π vermeerder en steeds dieselfde hoek gee, gesien as onderstreep deur die strale van die positiewe reële as en vanaf die oorsprong tot en met z . Daarom word die arg-funksie soms as meerwaardig beskou . Die poolhoek vir die komplekse getal 0 is onbepaald, maar arbitrêre keuse van die poolhoek 0 is algemeen.

Die waarde van φ is gelyk aan die resultaat van atan2 :

φ = atan2 ⁡ ( Im ⁡ ( Z ) , Re ⁡ ( Z ) ) . {\ displaystyle \ varphi = \ operatorname {atan2} \ left (\ operatorname {Im} (z), \ operatorname {Re} (z) \ right).} {\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} \left(\operatorname {Im} (z),\operatorname {Re} (z)\right).}

Saam, r en φ gee 'n ander manier te verteenwoordig komplekse getalle, die poolvorm , as die kombinasie van modulus en argument ten volle die posisie van 'n punt op die vliegtuig spesifiseer. Die herwinning van die oorspronklike reghoekige koördinate uit die poolvorm geskied deur die formule genaamd trigonometriese vorm

Z = r ( cos ⁡ φ + i sonde ⁡ φ ) . {\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi).} {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ).}

Met behulp van die formule van Euler kan dit geskryf word as

Z = r e i φ  of  Z = r eksp ⁡ i φ . {\ displaystyle z = re ^ {i \ varphi} {\ text {of}} z = r \ exp i \ varphi.} {\displaystyle z=re^{i\varphi }{\text{ or }}z=r\exp i\varphi .}

Met behulp van die cis- funksie word dit soms afgekort tot

Z = r c i s ⁡ φ . {\ displaystyle z = r \ operatorname {\ mathrm {cis}} \ varphi.} {\displaystyle z=r\operatorname {\mathrm {cis} } \varphi .}

In hoek notasie , wat dikwels gebruik word in elektroniese om 'n stel fasor met amplitude r en fase φ , is dit geskryf as [16]

Z = r ∠ φ . {\ displaystyle z = r \ hoek \ varphi.} {\displaystyle z=r\angle \varphi .}

Komplekse grafieke

'N Kleurwielgrafiek van die uitdrukking ( z 2 - 1) ( z - 2 - i ) 2/z 2 + 2 + 2 i

By die visualisering van ingewikkelde funksies is 'n komplekse invoer en afvoer nodig. Aangesien elke komplekse getal in twee dimensies voorgestel word, is die waarneming van 'n vier-dimensionele ruimte nodig om 'n komplekse funksie visueel te teken , wat slegs in projeksies moontlik is. As gevolg hiervan is ander maniere ontwerp om komplekse funksies te visualiseer.

In domeinkleuring word die afmetings onderskeidelik deur kleur en helderheid voorgestel. Elke punt in die komplekse vlak as domein is versier , gewoonlik met kleur wat die argument van die komplekse getal voorstel, en die helderheid wat die grootte voorstel. Donker kolle dui moduli byna nul aan, helderder kolle is verder weg van die oorsprong, die gradasie kan ononderbroke wees, maar word as eentonig beskou. Die kleure wissel dikwels in stappe van π/3vir 0 tot 2 π van rooi, geel, groen, siaan, blou, na magenta. Hierdie erwe word kleurwielgrafieke genoem . Dit bied 'n eenvoudige manier om die funksies te visualiseer sonder om inligting te verloor. Die prent toon nulle vir ± 1, (2 + i ) en pole by ± √ −2 −2 i .

Riemann-oppervlaktes is 'n ander manier om ingewikkelde funksies te visualiseer. [ verdere verduideliking benodig ] Riemann-oppervlaktes kan beskou word as vervormings van die komplekse vlak; terwyl die horisontale as die werklike en denkbeeldige insette voorstel, verteenwoordig die enkele vertikale as slegs die werklike of denkbeeldige uitvoer. Riemann-oppervlaktes is egter so gebou dat die draai van 180 grade die denkbeeldige uitset toon, en andersom. In teenstelling met domein kleur, kan Riemann oppervlak verteenwoordig multivalued funksies soos √ z .

Geskiedenis

Die oplossing in radikale (sonder trigonometriese funksies ) van 'n algemene kubieke vergelyking bevat die vierkantswortels van negatiewe getalle wanneer al drie die wortels reële getalle is, 'n situasie wat nie reggestel kan word deur factoring te help deur die rasionele worteltoets as die kubiek onherleibaar is nie (die sogenaamde casus irreducibilis ). Hierdie raaisel het die Italiaanse wiskundige Gerolamo Cardano in ongeveer 1545 laat dink aan komplekse getalle, [17] alhoewel sy begrip rudimentêr was.

Werk aan die probleem van algemene polinome het uiteindelik gelei tot die fundamentele stelling van algebra , wat aantoon dat met komplekse getalle 'n oplossing bestaan ​​vir elke polinoomvergelyking van graad een of hoër. Komplekse getalle vorm dus 'n algebraies geslote veld , waar enige polinoomvergelyking 'n wortel het .

Baie wiskundiges het bygedra tot die ontwikkeling van komplekse getalle. Die reëls vir optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en worteltrekking van komplekse getalle is ontwikkel deur die Italiaanse wiskundige Rafael Bombelli . [18] ' n Meer abstrakte formalisme vir die komplekse getalle is verder ontwikkel deur die Ierse wiskundige William Rowan Hamilton , wat hierdie abstraksie uitgebrei het tot die teorie van kwaternieë . [19]

Daar kan miskien gesê word dat die vroegste vlugtige verwysing na vierkantswortels van negatiewe getalle in die werk van die Griekse wiskundige Hero of Alexandria in die 1ste eeu nC voorkom , waar hy in sy Stereometrica , blykbaar verkeerdelik, die volume van 'n onmoontlike frustum van 'n piramide om by die term √ 81 - 144 = 3 i √ 7 uit te kom in sy berekeninge, alhoewel negatiewe groottes nie in die Hellenistiese wiskunde bedink is nie en Hero dit bloot deur sy positiewe vervang het ( √ 144 - 81 = 3 √ 7 ) . [20]

Die impuls om komplekse getalle as 'n onderwerp op sigself te bestudeer, het die eerste keer in die 16de eeu ontstaan ​​toe algebraïese oplossings vir die wortels van kubieke en kwartiese polinome deur Italiaanse wiskundiges ontdek is (sien Niccolò Fontana Tartaglia , Gerolamo Cardano ). Daar is gou besef (maar baie later bewys) [21] dat hierdie formules, selfs al sou 'n mens net in werklike oplossings belangstel, soms die manipulasie van vierkantswortels van negatiewe getalle vereis. As voorbeeld gee Tartaglia se formule vir 'n kubieke vergelyking van die vorm x 3 = px + q [c] die oplossing vir die vergelyking x 3 = x as

1 3 ( ( - 1 ) 1 / 3 + ( - 1 ) - 1 / 3 ) . {\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {3}}} \ links (\ links ({\ sqrt {-1}} \ regs) ^ {1/3} + \ links ({\ sqrt {-1 }} \ right) ^ {- 1/3} \ right).} {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\left(\left({\sqrt {-1}}\right)^{1/3}+\left({\sqrt {-1}}\right)^{-1/3}\right).}

Met die eerste oogopslag lyk dit na onsin. Formele berekeninge met komplekse getalle toon egter aan dat die vergelyking z 3 = i oplossings het - i ,√ 3 + i/2 en - √ 3 + i/2. Deur dit op hulle beurt te vervang deur √ −1 1/3 in Tartaglia se kubieke formule en te vereenvoudig, kry 'n mens 0, 1 en -1 as die oplossings van x 3 - x = 0 . Natuurlik kan hierdie spesifieke vergelyking op sigself opgelos word, maar dit illustreer dat wanneer algemene formules gebruik word om kubieke vergelykings met werklike wortels op te los, [d] die gebruik van komplekse getalle onvermydelik is, soos latere wiskundiges deeglik aantoon . Rafael Bombelli was die eerste om hierdie oënskynlik paradoksale oplossings van kubieke vergelykings eksplisiet aan te spreek en het die reëls vir komplekse rekenkunde ontwikkel om hierdie probleme op te los.

Die term "denkbeeldig" vir hierdie hoeveelhede is in 1637 deur René Descartes geskep , wat die onwerklike aard daarvan beklemtoon het [22]

... soms net denkbeeldig, dit is 'n mens kan soveel voorstel as wat ek in elke vergelyking gesê het, maar soms bestaan ​​daar geen hoeveelheid wat ooreenstem met die wat ons dink nie.
[ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui correspondonde à celle qu'on verbeel jou. ]

'N Verdere bron van verwarring was dat die vergelyking √ −1 2 = √ −1 √ −1 = −1 skynbaar strydig gelyk het met die algebraïese identiteit √ a √ b = √ ab , wat geldig is vir nie-negatiewe reële getalle a en b , en wat ook in komplekse getalberekeninge gebruik is met een van a , b positief en die ander negatief. Die verkeerde gebruik van hierdie identiteit (en die verwante identiteit1/√ a= √1/a) in die geval wanneer beide a en b negatief is, selfs bedwelmde Euler. Hierdie probleem het uiteindelik gelei tot die gebruik van die spesiale simbool i in plaas van √ −1 om teen hierdie fout te waak. [ aanhaling nodig ] Desondanks beskou Euler dit as natuurlik om studente baie vroeër aan ingewikkelde getalle bekend te stel as vandag. In sy elementêre algebra-handboek, Elements of Algebra , stel hy hierdie getalle byna gelyktydig bekend en gebruik dit deurgaans op 'n natuurlike manier.

In die 18de eeu het komplekse getalle groter gebruik gekry, aangesien opgemerk is dat formele manipulasie van komplekse uitdrukkings gebruik kon word om berekeninge wat trigonometriese funksies betref, te vereenvoudig. In 1730 het Abraham de Moivre byvoorbeeld opgemerk dat die ingewikkelde identiteit wat trigonometriese funksies van 'n heelgetal van 'n hoek met magte van trigonometriese funksies van daardie hoek betref, eenvoudig weer tot uitdrukking kon kom deur die volgende bekende formule wat sy naam dra, de Moivre se formule :

( cos ⁡ θ + i sonde ⁡ θ ) n = cos ⁡ n θ + i sonde ⁡ n θ . {\ displaystyle (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) ^ {n} = \ cos n \ theta + i \ sin n \ theta.} {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}

In 1748 het Leonhard Euler verder gegaan en die formule van komplekse analise van Euler verkry : [23]

cos ⁡ θ + i sonde ⁡ θ = e i θ {\ displaystyle \ cos \ theta + i \ sin \ theta = e ^ {i \ theta}} {\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }}

deur komplekse kragreekse formeel te manipuleer en waargeneem dat hierdie formule gebruik kan word om enige trigonometriese identiteit tot baie eenvoudiger eksponensiële identiteite te verminder.

Die idee van 'n komplekse getal as 'n punt in die komplekse vlak ( hierbo ) is die eerste keer in 1799 deur die Deens - Noorse wiskundige Caspar Wessel beskryf, [24] alhoewel daar reeds in 1685 in Wallis se A Treatise of Algebra verwag is . [25]

Wessel se memoires verskyn in die Proceedings of the Copenhagen Academy, maar is grootliks onopgemerk. In 1806 het Jean-Robert Argand onafhanklik 'n pamflet oor komplekse getalle uitgereik en 'n noukeurige bewys gelewer van die fundamentele stelling van algebra . [26] Carl Friedrich Gauss het vroeër 'n in wese topologiese bewys van die stelling in 1797 gepubliseer, maar het destyds sy twyfel uitgespreek oor 'die ware metafisika van die vierkantswortel van −1'. [27] Eers in 1831 het hy hierdie twyfel oorkom en sy verhandeling oor komplekse getalle as punte in die vliegtuig gepubliseer, [28] [29] ( p 638 ) wat die moderne notasie en terminologie grootliks daargestel het.

As 'n mens hierdie onderwerp vroeër uit 'n valse oogpunt oorweeg het en daarom 'n geheimsinnige duisternis gevind het, is dit grotendeels toe te skryf aan lomp terminologie. As 'n mens nie +1, -1, √ −1 positiewe, negatiewe of denkbeeldige (of selfs onmoontlike) eenhede genoem het nie, maar sê, direkte, omgekeerde of laterale eenhede, sou daar skaars van sulke duisternis gepraat kon word. - Gauss (1831) [29] ( p 638 ) [28]

In die begin van die 19de eeu het ander wiskundiges onafhanklik die geometriese voorstelling van die komplekse getalle ontdek: Buée, [30] [31] Mourey , [32] Warren , [33] Français en sy broer, Bellavitis . [34] [35]

Die Engelse wiskundige GH Hardy het opgemerk dat Gauss die eerste wiskundige was wat komplekse getalle op 'n baie selfversekerde en wetenskaplike manier gebruik het, hoewel wiskundiges soos die Noor Niels Henrik Abel en Carl Gustav Jacob Jacobi dit noodwendig gereeld gebruik het voordat Gauss sy verhandeling van 1831 gepubliseer het. [36]

Augustin Louis Cauchy en Bernhard Riemann het saam die fundamentele idees van komplekse analise tot 'n hoë staat van voltooiing gebring, wat in Cauchy se geval omstreeks 1825 begin het.

Die algemene terme wat in die teorie gebruik word, is hoofsaaklik aan die stigters te danke. Argand het cos φ + i sin φ die rigtingsfaktor genoem , en r = √ a 2 + b 2 die modulus ; [e] [38] Cauchy (1821) noem cos φ + i sin φ die gereduseerde vorm (l'expression réduite) [39] en stel blykbaar die term argument bekend ; Gauss gebruik i vir √ −1 , [f] het die term komplekse getal vir a + bi , [g] ingevoer en a 2 + b 2 die norm genoem . [h] Die uitdrukking rigtingskoëffisiënt , dikwels gebruik vir cos φ + i sin φ , is te danke aan Hankel (1867), [40] en absolute waarde, vir modulus, is te wyte aan Weierstrass.

Latere klassieke skrywers oor die algemene teorie sluit in Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrass en vele ander. Belangrike werk (insluitend 'n sistematisering) in komplekse multivariate calculus is begin aan die begin van die 20ste eeu. Belangrike resultate is in 1927 deur Wilhelm Wirtinger behaal.

Verhoudings en bedrywighede

Gelykheid

Komplekse getalle het 'n soortgelyke definisie van gelykheid as reële getalle; twee komplekse getalle a 1 + b 1 i en a 2 + b 2 i is gelyk as en net albei se werklike en denkbeeldige dele gelyk is, dit wil sê as a 1 = a 2 en b 1 = b 2 . Nie-nul-komplekse getalle wat in poolvorm geskryf word , is gelyk as en net as hulle dieselfde grootte het en hul argumente verskil met 'n heelgetal veelvoud van 2 π .

Bestelling

Anders as die reële getalle, is daar geen natuurlike ordening van die komplekse getalle nie. In die besonder is daar geen lineêre ordening op die komplekse getalle wat verenigbaar is met optelling en vermenigvuldiging nie - die komplekse getalle kan nie die struktuur van 'n geordende veld hê nie. Dit is bv omdat elke nie-triviale som van kwadrate in 'n geordende veld is ≠ 0 , en ek 2 + 1 2 = 0 is 'n nie-triviale som van kwadrate. Daar word dus van nature beskou dat komplekse getalle op 'n tweedimensionele vlak bestaan.

Vervoeg

Geometriese voorstelling van z en sy vervoegde z in die komplekse vlak

Die komplekse vervoeging van die komplekse getal z = x + yi word gegee deur x - yi . Dit word aangedui deur óf z of z * . [41] Hierdie eenvormige bewerking op komplekse getalle kan nie uitgedruk word deur slegs hul basiese bewerkings optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling toe te pas nie.

Geometries is z die "weerkaatsing" van z rondom die werklike as. Om twee keer te konjugeer, gee die oorspronklike komplekse nommer

Z ¯ ¯ = Z , {\ displaystyle {\ overline {\ overline {z}}} = z,} {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z,}

wat maak hierdie aksie 'n Involusie . Die weerkaatsing laat sowel die werklike deel as die grootte van z onveranderd, dit wil sê

Re ⁡ ( Z ¯ ) = Re ⁡ ( Z ) {\ displaystyle \ operatorname {Re} ({\ overline {z}}) = \ operatorname {Re} (z) \ quad} {\displaystyle \operatorname {Re} ({\overline {z}})=\operatorname {Re} (z)\quad } en | Z ¯ | = | Z | . {\ displaystyle \ quad | {\ overline {z}} | = | z |.} {\displaystyle \quad |{\overline {z}}|=|z|.}

Die denkbeeldige deel en die argument van 'n komplekse getal z verander hul teken onder vervoeging

Im ⁡ ( Z ¯ ) = - Im ⁡ ( Z )  en  argumenteer ⁡ Z ¯ ≡ - argumenteer ⁡ Z ( mod 2 π ) . {\ displaystyle \ operatorname {Im} ({\ overline {z}}) = - \ operatorname {Im} (z) \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {arg} {\ overline {z}} \ equiv - \ operatorname {arg} z {\ pmod {2 \ pi}}.} {\displaystyle \operatorname {Im} ({\overline {z}})=-\operatorname {Im} (z)\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {arg} {\overline {z}}\equiv -\operatorname {arg} z{\pmod {2\pi }}.}

Raadpleeg die afdeling oor Polêre vorm vir besonderhede oor argumente en omvang .

Die produk van 'n komplekse getal z = x + yi en sy vervoeging staan ​​bekend as die absolute vierkant . Dit is altyd 'n nie-negatiewe reële getal en is gelyk aan die vierkant van die grootte van elkeen:

Z ⋅ Z ¯ = x 2 + y 2 = | Z | 2 = | Z ¯ | 2 . {\ displaystyle z \ cdot {\ overline {z}} = x ^ {2} + y ^ {2} = | z | ^ {2} = | {\ overline {z}} | ^ {2}.} {\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=x^{2}+y^{2}=|z|^{2}=|{\overline {z}}|^{2}.}

Hierdie eienskap kan gebruik word om 'n breuk met 'n komplekse noemer om te skakel na 'n ekwivalente breuk met 'n werklike noemer deur beide die teller en die noemer van die breuk uit te brei deur die konjugaat van die gegewe noemer. Hierdie proses word soms ' rasionalisering ' van die noemer genoem (alhoewel die noemer in die finale uitdrukking 'n irrasionele reële getal kan wees), omdat dit lyk soos die metode om wortels uit eenvoudige uitdrukkings in 'n noemer te verwyder.

Die werklike en denkbeeldige dele van 'n komplekse getal z kan met behulp van die vervoeging onttrek word:

Re ⁡ ( Z ) = Z + Z ¯ 2 ,  en  Im ⁡ ( Z ) = Z - Z ¯ 2 i . {\ displaystyle \ operatorname {Re} (z) = {\ dfrac {z + {\ overline {z}}} {2}}, \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {Im} (z) = {\ dfrac {z - {\ oorsig {z}}} {2i}}.} {\displaystyle \operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}},\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}.}

Boonop is 'n komplekse getal werklik as en net as dit gelyk is aan sy eie vervoegde.

Vervoeging versprei oor die basiese komplekse rekenkundige bewerkings:

Z ± w ¯ = Z ¯ ± w ¯ , {\ displaystyle {\ overline {z \ pm w}} = {\ overline {z}} \ pm {\ overline {w}},} {\displaystyle {\overline {z\pm w}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}},}
Z ⋅ w ¯ = Z ¯ ⋅ w ¯ , Z / w ¯ = Z ¯ / w ¯ . {\ displaystyle {\ overline {z \ cdot w}} = {\ overline {z}} \ cdot {\ overline {w}}, \ quad {\ overline {z / w}} = {\ overline {z}} / {\ oorsig {w}}.} {\displaystyle {\overline {z\cdot w}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}},\quad {\overline {z/w}}={\overline {z}}/{\overline {w}}.}

Vervoeging word ook gebruik in inversiewe meetkunde , 'n vertakking in meetkunde wat refleksies bestudeer wat meer algemeen is as refleksies rondom 'n lyn. In die netwerkanalise van elektriese stroombane word die komplekse konjugaat gebruik om die ekwivalente impedansie te vind wanneer daar na die maksimum kragoordragstelling gesoek word.

Optel en aftrek

Die byvoeging van twee komplekse getalle kan meetkundig geskied deur 'n parallelogram te konstrueer.

Twee komplekse getalle a en b word die maklikste bygevoeg deur die werklike en denkbeeldige dele van die somers afsonderlik by te voeg. Met ander woorde:

a + b = ( x + y i ) + ( u + v i ) = ( x + u ) + ( y + v ) i . {\ displaystyle a + b = (x + yi) + (u + vi) = (x + u) + (y + v) i.} {\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}

Net so kan aftrekking uitgevoer word as

a - b = ( x + y i ) - ( u + v i ) = ( x - u ) + ( y - v ) i . {\ displaystyle ab = (x + yi) - (u + vi) = (xu) + (yv) i.} {\displaystyle a-b=(x+yi)-(u+vi)=(x-u)+(y-v)i.}

Deur die visualisering van komplekse getalle in die komplekse vlak te gebruik, het die optelling die volgende geometriese interpretasie: die som van twee komplekse getalle a en b , geïnterpreteer as punte in die komplekse vlak, is die punt wat verkry word deur 'n parallelogram uit die drie hoekpunte O te bou , en die punte van die pyle gemerk a en b (mits dit nie op 'n lyn is nie). Anders gestel, die roeping van hierdie punte A , B , onderskeidelik en die vierde punt van die parallelogram X die driehoeke OAB en XBA is kongruent . 'N Visualisering van die aftrekking kan bereik word deur die optelling van die negatiewe subtraan te oorweeg .

Vermenigvuldiging en vierkant

Die reëls van die verspreidingseiendom , die kommutatiewe eienskappe (van optelling en vermenigvuldiging) en die definiërende eienskap i 2 = −1 is van toepassing op komplekse getalle. Dit volg daarop

( x + y i ) ( u + v i ) = ( x u - y v ) + ( x v + y u ) i . {\ displaystyle (x + yi) \, (u + vi) = (xu-yv) + (xv + yu) i.} {\displaystyle (x+yi)\,(u+vi)=(xu-yv)+(xv+yu)i.}

In die besonder,

( x + y i ) 2 = x 2 - y 2 + 2 x y i . {\ displaystyle (x + yi) ^ {2} = x ^ {2} -y ^ {2} + 2xyi.} {\displaystyle (x+yi)^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi.}

Wederkerige en verdeeldheid

Met behulp van die vervoeging kan die resiprook van 'n nie-nul-komplekse getal z = x + yi altyd afgebreek word na

1 Z = Z ¯ Z Z ¯ = Z ¯ | Z | 2 = Z ¯ x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 - y x 2 + y 2 i , {\ displaystyle {\ frac {1} {z}} = {\ frac {\ overline {z}} {z {\ overline {z}}}} = {\ frac {\ overline {z}} {| z | ^ {2}}} = {\ frac {\ oorsig {z}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2} }} - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} i,} {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{z{\overline {z}}}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}={\frac {\overline {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i,}

aangesien nie-nul impliseer dat x 2 + y 2 groter is as nul.

Dit kan gebruik word om 'n verdeling van 'n arbitrêre komplekse getal w = u + vi deur 'n nie-nul komplekse getal z uit te druk

w Z = w ⋅ 1 Z = ( u + v i ) ⋅ ( x x 2 + y 2 - y x 2 + y 2 i ) = ( u x + v y ) + ( v x - u y ) i x 2 + y 2 . {\ displaystyle {\ frac {w} {z}} = w \ cdot {\ frac {1} {z}} = (u + vi) \ cdot \ left ({\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} - {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} i \ right) = {\ frac {(ux + vy) + (vx-uy) i } {x ^ {2} + y ^ {2}}}.} {\displaystyle {\frac {w}{z}}=w\cdot {\frac {1}{z}}=(u+vi)\cdot \left({\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i\right)={\frac {(ux+vy)+(vx-uy)i}{x^{2}+y^{2}}}.}

Vermenigvuldiging en deling in poolvorm

Vermenigvuldiging van 2 + i (blou driehoek) en 3 + i (rooi driehoek). Die rooi driehoek word gedraai om by die hoekpunt van die blou te pas en word gestrek deur √ 5 , die lengte van die skuinssy van die blou driehoek.

Formules vir vermenigvuldiging, deling en eksponentiasie is eenvoudiger in poolvorm as die ooreenstemmende formules in Cartesiese koördinate. Gegee twee komplekse getalle z 1 = r 1 (cos  φ 1 + i  sin  φ 1 ) en z 2 = r 2 (cos  φ 2 + i  sin  φ 2 ) , as gevolg van die trigonometriese identiteite

cos ⁡ a cos ⁡ b - sonde ⁡ a sonde ⁡ b = cos ⁡ ( a + b ) {\ displaystyle \ cos a \ cos b- \ sin a \ sin b = \ cos (a + b)} {\displaystyle \cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b)}
cos ⁡ a sonde ⁡ b + sonde ⁡ a cos ⁡ b = sonde ⁡ ( a + b ) {\ displaystyle \ cos a \ sin b + \ sin a \ cos b = \ sin (a + b)} {\displaystyle \cos a\sin b+\sin a\cos b=\sin(a+b)}

ons kan aflei

Z 1 Z 2 = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( φ 1 + φ 2 ) + i sonde ⁡ ( φ 1 + φ 2 ) ) . {\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = r_ {1} r_ {2} (\ cos (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2}) + i \ sin (\ varphi _ {1} + \ varphi _ {2})).} {\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}

Met ander woorde, die absolute waardes word vermenigvuldig en die argumente word bygevoeg om die polêre vorm van die produk te gee. Vermenigvuldig met i kom byvoorbeeld ooreen met 'n kwart draai linksom, wat i 2 = −1 teruggee . Die prentjie aan die regterkant illustreer die vermenigvuldiging van

( 2 + i ) ( 3 + i ) = 5 + 5 i . {\ displaystyle (2 + i) (3 + i) = 5 + 5i.} {\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}

Aangesien die werklike en denkbeeldige deel van 5 + 5 i gelyk is, is die argument van daardie getal 45 grade, of π / 4 (in radiaal ). Aan die ander kant is dit ook die som van die hoeke aan die oorsprong van die rooi en blou driehoeke, onderskeidelik arctan (1/3) en arctan (1/2). Dus, die formule

π 4 = arctan ⁡ ( 1 2 ) + arctan ⁡ ( 1 3 ) {\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ arctan \ links ({\ frac {1} {2}} \ regs) + \ arctan \ links ({\ frac {1} {3}} \ regs)} {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}

hou. Aangesien die arctan- funksie baie doeltreffend benader kan word, word formules soos hierdie - bekend as Machin-agtige formules - gebruik vir benaderings met 'n hoë presisie van π .

Net so word verdeling gegee deur

Z 1 Z 2 = r 1 r 2 ( cos ⁡ ( φ 1 - φ 2 ) + i sonde ⁡ ( φ 1 - φ 2 ) ) . {\ displaystyle {\ frac {z_ {1}} {z_ {2}}} = {\ frac {r_ {1}} {r_ {2}}} \ links (\ cos (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) + i \ sin (\ varphi _ {1} - \ varphi _ {2}) \ regs.} {\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}

Vierkantswortel

Die vierkantswortels van a + bi (met b ≠ 0 ) is ± ( γ + δ i ) {\ displaystyle \ pm (\ gamma + \ delta i)} \pm (\gamma +\delta i), waar

γ = a + a 2 + b 2 2 {\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {\ frac {a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {2}}}} \gamma ={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}}

en

δ = ( sgn ⁡ b ) - a + a 2 + b 2 2 , {\ displaystyle \ delta = (\ operatorname {sgn} b) {\ sqrt {\ frac {-a + {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {2}}},} {\displaystyle \delta =(\operatorname {sgn} b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{2}}},}

waar sgn die signum- funksie is. Dit kan gesien word deur 'n kwadraat te maak ± ( γ + δ i ) {\ displaystyle \ pm (\ gamma + \ delta i)} \pm (\gamma +\delta i)om ' n + bi te kry . [42] [43] Hier a 2 + b 2 {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}word die modulus van a + bi genoem , en die vierkantswortelteken dui die vierkantswortel met 'n nie-negatiewe reële deel aan, die hoof vierkantswortel genoem ; ook a 2 + b 2 = Z Z ¯ , {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} = {\ sqrt {z {\ overline {z}}}},} {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {z{\overline {z}}}},}waar z = a + bi . [44]

Eksponensiële funksie

Die eksponensiële funksie eksp : C → C ; Z ↦ eksp ⁡ Z {\ displaystyle \ exp \ colon \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}; z \ mapsto \ exp z} {\displaystyle \exp \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;z\mapsto \exp z}kan gedefinieer word vir elke komplekse getal z deur die magreekse

eksp ⁡ Z = ∑ n = 0 ∞ Z n n ! , {\ displaystyle \ exp z = \ som _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}},} {\displaystyle \exp z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}},}

wat 'n oneindige radius van konvergensie het .

Die waarde op 1 van die eksponensiële funksie is die nommer van Euler

e = eksp ⁡ 1 = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! ≈ 2.71828. {\ displaystyle e = \ exp 1 = \ som _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ ongeveer 2.71828.} {\displaystyle e=\exp 1=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\approx 2.71828.}

As z werklik is, het 'n mens eksp ⁡ Z = e Z . {\ displaystyle \ exp z = e ^ {z}.} {\displaystyle \exp z=e^{z}.} Analitiese voortsetting laat toe om hierdie gelykheid vir elke komplekse waarde van z uit te brei , en om sodoende die komplekse eksponensie met basis e te definieer as

e Z = eksp ⁡ Z . {\ displaystyle e ^ {z} = \ exp z.} {\displaystyle e^{z}=\exp z.}

Funksionele vergelyking

Die eksponensiële funksie voldoen aan die funksionele vergelyking e Z + t = e Z e t . {\ displaystyle e ^ {z + t} = e ^ {z} e ^ {t}.} {\displaystyle e^{z+t}=e^{z}e^{t}.}Dit kan bewys word deur die kragreeksuitbreiding van albei lede te vergelyk, of deur analitiese voortsetting van die beperking van die vergelyking op werklike argumente toe te pas.

Euler se formule

Euler se formule bepaal dat, vir enige reële getal y ,

e i y = cos ⁡ y + i sonde ⁡ y . {\ displaystyle e ^ {iy} = \ cos y + i \ sin y.} {\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y.}

Die funksionele vergelyking impliseer dus dat, as x en y werklik is, dit het

e x + i y = e x ( cos ⁡ y + i sonde ⁡ y ) = e x cos ⁡ y + i e x sonde ⁡ y , {\ displaystyle e ^ {x + iy} = e ^ {x} (\ cos y + i \ sin y) = e ^ {x} \ cos y + ie ^ {x} \ sin y,} {\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y,}

wat die ontbinding van die eksponensiële funksie in sy werklike en denkbeeldige dele is.

Komplekse logaritme

In die werklike geval kan die natuurlike logaritme as die inverse gedefinieer word ln : R + → R ; x ↦ ln ⁡ x {\ displaystyle \ ln \ colon \ mathbb {R} ^ {+} \ to \ mathbb {R}; x \ mapsto \ ln x} {\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}van die eksponensiële funksie. Om dit na die komplekse domein uit te brei, kan u begin met die formule van Euler. Dit impliseer dat, indien 'n komplekse getal Z ∈ C × {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} ^ {\ times}} {\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{\times }}word in poolvorm geskryf

Z = r ( cos ⁡ φ + i sonde ⁡ φ ) {\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)} {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}

met r , φ ∈ R , {\ displaystyle r, \ varphi \ in \ mathbb {R},} {\displaystyle r,\varphi \in \mathbb {R} ,} dan met

ln ⁡ Z = ln ⁡ r + i φ {\ displaystyle \ ln z = \ ln r + i \ varphi} {\displaystyle \ln z=\ln r+i\varphi }

as 'n komplekse logaritme het 'n mens die regte omgekeerde:

eksp ⁡ ln ⁡ Z = eksp ⁡ ( ln ⁡ r + i φ ) = r eksp ⁡ i φ = r ( cos ⁡ φ + i sonde ⁡ φ ) = Z . {\ displaystyle \ exp \ ln z = \ exp (\ ln r + i \ varphi) = r \ exp i \ varphi = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = z.} {\displaystyle \exp \ln z=\exp(\ln r+i\varphi )=r\exp i\varphi =r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=z.}

Omdat cosinus en sinus periodieke funksies is, verander die toevoeging van 'n heelgetal veelvoud van 2 π tot However egter nie z nie . Byvoorbeeld, e iπ = e 3 iπ = −1 , dus is beide iπ en 3 iπ moontlike waardes vir die natuurlike logaritme van −1 .

Daarom moet die ingewikkelde logaritme nie as 'n multivalente funksie gedefinieer word nie

ln ⁡ Z = { ln ⁡ r + i ( φ + 2 π k ) ∣ k ∈ Z } , {\ displaystyle \ ln z = \ left \ {\ ln r + i (\ varphi +2 \ pi k) \ mid k \ in \ mathbb {Z} \ right \},} {\displaystyle \ln z=\left\{\ln r+i(\varphi +2\pi k)\mid k\in \mathbb {Z} \right\},}

'n tak moet gebruik word en die kodenaam beperk word , wat die byektiewe funksie tot gevolg het

ln : C × → R + + i ( - π , π ] . {\ displaystyle \ ln \ colon \; \ mathbb {C} ^ {\ times} \; \ to \; \; \; \ mathbb {R} ^ {+} + \; i \, \ left (- \ pi , \ pi \ reg].} {\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}

As Z ∈ C ∖ ( - R ≥ 0 ) {\ displaystyle z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ left (- \ mathbb {R} _ {\ geq 0} \ right)} {\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}nie 'n positiewe reële getal is nie ('n positiewe of 'n nie-reële getal), word die hoofwaarde van die komplekse logaritme verkry met - π < φ < π . Dit is 'n analitiese funksie buite die negatiewe reële getalle, maar dit kan nie verleng word tot 'n funksie wat kontinu is op enige negatiewe reële getal nie. Z ∈ - R + {\ displaystyle z \ in - \ mathbb {R} ^ {+}} {\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}, waar die hoofwaarde ln z = ln (- z ) + iπ is . [i]

Eksponensiëring

As x > 0 reëel is en z kompleks is, word die eksponensie gedefinieer as

x Z = e Z ln ⁡ x , {\ displaystyle x ^ {z} = e ^ {z \ ln x},} {\displaystyle x^{z}=e^{z\ln x},}

waar ln die natuurlike logaritme aandui.

Dit lyk natuurlik om hierdie formule uit te brei na komplekse waardes van x , maar daar is probleme wat die gevolg is van die feit dat die komplekse logaritme nie regtig 'n funksie is nie, maar 'n multivalente funksie .

Hieruit volg dat as z soos hierbo is, en as t nog 'n komplekse getal is, dan is die eksponensie die funksie met meerwaardes

Z t = { e t ln ⁡ r ( cos ⁡ ( φ t + 2 π k t ) + i sonde ⁡ ( φ t + 2 π k t ) ) } ∣ k ∈ Z } {\ displaystyle z ^ {t} = \ left \ {e ^ {t \ ln r} \, (\ cos (\ varphi t + 2 \ pi kt) + i \ sin (\ varphi t + 2 \ pi kt) ) \} \ middel k \ in \ mathbb {Z} \ regs}} {\displaystyle z^{t}=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+2\pi kt)+i\sin(\varphi t+2\pi kt))\}\mid k\in \mathbb {Z} \right\}}

Integer en fraksionele eksponente

Meetkundige voorstelling van die 2de tot 6de wortels van 'n komplekse getal z , in poolvorm, is iφ  waar r = | z  | en φ = arg z . As z werklik is, is φ = 0 of π . Die hoofwortels word in swart getoon.

As t in die voorafgaande formule 'n heelgetal is, dan is die sinus en die kosinus onafhanklik van k . As die eksponent n dus 'n heelgetal is, dan is z n goed gedefinieerd, en die eksponensiasieformule vereenvoudig die formule van de Moivre :

Z n = ( r ( cos ⁡ φ + i sonde ⁡ φ ) ) n = r n ( cos ⁡ n φ + i sonde ⁡ n φ ) . {\ displaystyle z ^ {n} = (r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)) ^ {n} = r ^ {n} \, (\ cos n \ varphi + i \ sin n \ varphi) .} {\displaystyle z^{n}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}

Die N N ste wortels van 'n komplekse getal z word deur

Z 1 / n = r n ( cos ⁡ ( φ + 2 k π n ) + i sonde ⁡ ( φ + 2 k π n ) ) {\ displaystyle z ^ {1 / n} = {\ sqrt [{n}] {r}} \ links (\ cos \ links ({\ frac {\ varphi + 2k \ pi} {n}} \ regs) + i \ sin \ left ({\ frac {\ varphi + 2k \ pi} {n}} \ right) \ right)} {\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}

vir 0 ≤ k ≤ n - 1 . (Hier r n {\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {r}}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}is die gewone (positiewe) N ste wortel van die positiewe reële getal r .) Omdat sinus en kosinus is periodieke, ander heelgetalwaardes van k nie ander waardes gee.

Terwyl die N ste wortel van 'n positiewe reële getal r is gekies om die wees positiewe reële getal c bevredig c N = r , is daar geen natuurlike manier onderskei een spesifieke komplekse N ste wortel van 'n komplekse getal. Daarom is die n de wortel 'n n- waarde funksie van z . Dit impliseer dat, in teenstelling met die geval van positiewe reële getalle, dit is

( Z n ) 1 / n ≠ Z , {\ displaystyle (z ^ {n}) ^ {1 / n} \ neq z,} {\displaystyle (z^{n})^{1/n}\neq z,}

aangesien die linkerkant uit n waardes bestaan, en die regterkant 'n enkele waarde is.

Eiendomme

Veldstruktuur

Die stel C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} van komplekse getalle is 'n veld . [45] Kortliks beteken dit dat die volgende feite geld: eerstens kan enige twee komplekse getalle bygevoeg word en vermenigvuldig word om 'n ander komplekse getal op te lewer. Tweedens, vir enige komplekse getal z , is die additief inverse - z ook 'n komplekse getal; en derdens, elke nie-nul-komplekse getal het 'n wederkerige komplekse getal. Boonop voldoen hierdie bewerkings aan 'n aantal wette, byvoorbeeld die wet van kommutatiwiteit van optelling en vermenigvuldiging vir twee komplekse getalle z 1 en z 2 :

Z 1 + Z 2 = Z 2 + Z 1 , {\ displaystyle z_ {1} + z_ {2} = z_ {2} + z_ {1},} z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1},
Z 1 Z 2 = Z 2 Z 1 . {\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = z_ {2} z_ {1}.} z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}.

Hierdie twee wette en die ander vereistes op 'n veld kan bewys word deur die formules hierbo te gebruik, met behulp van die feit dat die reële getalle self 'n veld vorm.

Anders as die ware, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} is nie 'n geordende veld nie , dit wil sê dit is nie moontlik om 'n verhouding z 1 < z 2 te definieer wat verenigbaar is met die optelling en vermenigvuldiging nie. In elke geordende veld is die vierkant van enige element noodwendig positief, dus i 2 = −1 sluit die bestaan ​​van 'n ordening op C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}[46]

Wanneer die onderliggende veld vir 'n wiskundige onderwerp of konstruksie die veld van komplekse getalle is, word die naam van die onderwerp gewoonlik gewysig om dit te weerspieël. Byvoorbeeld: komplekse analise , komplekse matriks , komplekse polinoom en komplekse Lie-algebra .

Oplossings van polinoomvergelykings

Gegee enige komplekse getalle (genoem koëffisiënte ) a 0 , ...,  a n , die vergelyking

a n Z n + ⋯ + a 1 Z + a 0 = 0 {\ displaystyle a_ {n} z ^ {n} + \ dotsb + a_ {1} z + a_ {0} = 0} a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0

het ten minste een komplekse oplossing z , met dien verstande dat ten minste een van die hoër koëffisiënte a 1 , ...,  a n nie-nul is. [47] Dit is die stelling van die fundamentele stelling van algebra , van Carl Friedrich Gauss en Jean le Rond d'Alembert . As gevolg van hierdie feit, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} word 'n algebraïese geslote veld genoem . Hierdie eienskap geld nie vir die veld van rasionale getalle nie V {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} (die polinoom x 2 - 2 het nie 'n rasionale wortel nie, aangesien √ 2 nie 'n rasionale getal is nie) en ook nie die reële getalle nie R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} (die polinoom x 2 + a het nie 'n werklike wortel vir a > 0 nie , aangesien die kwadraat van x positief is vir enige reële getal x ).

Daar is verskillende bewyse van hierdie stelling deur analitiese metodes soos die stelling van Liouville , of topologiese stellings soos die kronkelende getal , of 'n bewys wat die Galois-teorie kombineer en die feit dat enige werklike polinoom van 'n vreemde graad ten minste een werklike wortel het.

As gevolg van hierdie feit, stellings wat hou vir enige algebraïes geslote gebied van toepassing is op C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}Byvoorbeeld, enige nie-leë komplekse vierkantige matriks het ten minste een (komplekse) eiewaarde .

Algebraïese karakterisering

Die veld C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} het die volgende drie eienskappe:

  • Eerstens het dit eienskap 0. Dit beteken dat 1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0 vir enige aantal somme (wat almal gelyk is).
  • Tweedens, die transendensie-graad verby V {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} , die hoofveld van C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,}is die kardinaliteit van die kontinuum .
  • Derdens is dit algebraies gesluit (sien hierbo).

Daar kan aangetoon word dat enige veld met hierdie eienskappe isomorf is (as veld) tot C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}Byvoorbeeld, die algebraïese sluiting van die veld V bl {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}van die p -adiese getal voldoen ook aan hierdie drie eienskappe, dus is hierdie twee velde isomorf (as velde, maar nie as topologiese velde nie). [48] Ook C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} is isomorf vir die veld van die komplekse Puiseux-reeks . Om 'n isomorfisme te spesifiseer, vereis egter die aksioom van keuse . 'N Ander gevolg van hierdie algebraïese karakterisering is dat C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} bevat baie behoorlike subvelde wat isomorf is C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} .

Karakterisering as 'n topologiese veld

Die voorafgaande karakterisering van C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} beskryf slegs die algebraïese aspekte van C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}Dit wil sê, die eienskappe van nabyheid en kontinuïteit , wat van belang is in gebiede soos analise en topologie , word nie behandel nie. Die volgende beskrywing van C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} as 'n topologiese veld (dit wil sê 'n veld wat toegerus is met 'n topologie , wat die begrip konvergensie toelaat) neem wel die topologiese eienskappe in ag. C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} bevat 'n deelversameling P (naamlik die stel positiewe reële getalle) van nie-nul elemente wat aan die volgende drie voorwaardes voldoen:

  • P word gesluit onder optel, vermenigvuldig en inverses neem.
  • As x en y is duidelike elemente van P , dan óf x - y of y - x is in P .
  • As S 'n onbeduidende deelversameling van P is , dan is S + P = x + P vir sommige x in C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}

Verder, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} het 'n onbeduidende onvolwasse outomorfisme x ↦ x * (naamlik die komplekse vervoeging), sodat x x * in P is vir enige nul x in C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}

Enige veld F met hierdie eienskappe kan toegerus word met 'n topologie deur die versamelings B ( x ,  p ) = {  y | te neem p - ( y - x ) ( y - x ) * ∈ P  }  as basis , waar x oor die veld en p oor P wissel . Met hierdie topologie is F isomorf as 'n topologiese veld vir C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .}

Die enigste verbind plaaslik kompakte topologiese velde is R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} en C . {\ displaystyle \ mathbb {C}.} {\displaystyle \mathbb {C} .} Dit gee 'n ander karakterisering van C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} as 'n topologiese veld, aangesien C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} kan onderskei word van R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} omdat die nie-nul-komplekse getalle verbind is , terwyl die nie-nul reële getalle nie is nie. [49]

Formele konstruksie

Konstruksie soos geordende pare

William Rowan Hamilton het die benadering bekendgestel om die stel te definieer C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} van komplekse getalle [50] as die versameling ℝ 2 van geordende pare ( a ,  b ) reële getalle, waarin die volgende reëls vir optelling en vermenigvuldiging opgelê word: [45]

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) ( a , b ) ⋅ ( c , d ) = ( a c - b d , b c + a d ) . {\ displaystyle {\ begin {belyn} (a, b) + (c, d) & = (a + c, b + d) \\ (a, b) \ cdot (c, d) & = (ac- bd, bc + advertensie). \ end {align}}} {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)\cdot (c,d)&=(ac-bd,bc+ad).\end{aligned}}

Dit is dan net 'n kwessie van notasie om ( a ,  b ) as a + bi uit te druk .

Konstruksie as kwosiëntveld

Alhoewel hierdie konstruksie op lae vlak die struktuur van die komplekse getalle akkuraat beskryf, onthul die volgende ekwivalente definisie die algebraïese aard van C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} meer onmiddellik. Hierdie karakterisering berus op die idee van velde en polinome. 'N Veld is 'n versameling met optel-, aftrek-, vermenigvuldigings- en delingsbewerkings wat optree soos bekend uit byvoorbeeld rasionale getalle. Byvoorbeeld die verspreidingswet

( x + y ) Z = x Z + y Z {\ displaystyle (x + y) z = xz + yz} (x+y)z=xz+yz

moet vir enige drie elemente x , y en z van 'n veld hou. Die stel R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} reële getalle vorm wel 'n veld. 'N Polinoom p ( X ) met werklike koëffisiënte is 'n uitdrukking van die vorm

a n X n + ⋯ + a 1 X + a 0 , {\ displaystyle a_ {n} X ^ {n} + \ dotsb + a_ {1} X + a_ {0},} {\displaystyle a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}

waar die a 0 , ...,  a n reële getalle is. Die gewone toevoeging en vermenigvuldiging van polinome gee die versameling R [ X ] {\ displaystyle \ mathbb {R} [X]} {\displaystyle \mathbb {R} [X]}van al sulke polinome met 'n ringstruktuur . Hierdie ring word die polinoomring oor die werklike getalle genoem.

Die stel komplekse getalle word gedefinieer as die kwosiëntring R [ x ] / ( X 2 + 1 ) . {\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (X ^ {2} +1).} {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).}[51] Hierdie uitbreiding veld bevat twee vierkantswortels van -1 , naamlik (die cosets van) X en - X , onderskeidelik. (Die cosets van) 1 en X vorm 'n basis van ℝ [ X ] / ( X 2 + 1) as 'n werklike vektorruimte , wat beteken dat elke element van die uitbreidingsveld uniek as 'n lineêre kombinasie in hierdie twee elemente geskryf kan word. . Net so kan elemente van die uitbreidingsveld as geordende pare ( a ,  b ) reële getalle geskryf word. Die kwosiënt ring is 'n veld, omdat X 2 + 1 is onverminderbare oor R , {\ displaystyle \ mathbb {R},} {\displaystyle \mathbb {R} ,}die ideaal wat dit genereer, is dus maksimaal .

Die formules vir optel en vermenigvuldig in die ring R [ x ] , {\ displaystyle \ mathbb {R} [x],} {\displaystyle \mathbb {R} [x],}modulo die verhouding X 2 = −1 , stem ooreen met die formules vir optelling en vermenigvuldiging van komplekse getalle gedefinieer as geordende pare. Dus die twee definisies van die veld C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} is isomorfiese (as velde).

Aanvaar dit C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} is algebraïes toe, aangesien dit 'n algebraïese uitbreiding van ℝ in hierdie benadering is, C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} is dus die algebraïese sluiting van R . {\ displaystyle \ mathbb {R}.} {\displaystyle \mathbb {R} .}

Matriksvoorstelling van komplekse getalle

Komplekse getalle a + bi kan ook voorgestel word deur 2 × 2 matrikse wat die vorm het:

( a - b b a ) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & -b \\ b & \; \; a \ end {pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}

Hier is die inskrywings a en b reële getalle. Aangesien die som en die produk van twee sulke matrikse weer van hierdie vorm is, vorm hierdie matrikse 'n subring van die 2 × 2 matrikse.

'N Eenvoudige berekening toon dat die kaart:

a + i b ↦ ( a - b b a ) {\ displaystyle a + ib \ mapsto {\ begin {pmatrix} a & -b \\ b & \; \; a \ end {pmatrix}}} {\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}

is 'n ring-isomorfisme vanaf die veld van komplekse getalle tot die ring van hierdie matrikse. Hierdie isomorfisme assosieer die kwadraat van die absolute waarde van 'n komplekse getal met die determinant van die ooreenstemmende matriks, en die vervoeging van 'n komplekse getal met die transponering van die matriks.

Die meetkundige beskrywing van die vermenigvuldiging van komplekse getalle kan ook uitgedruk word in terme van rotasiematrikse deur hierdie ooreenstemming tussen komplekse getalle en sulke matrikse te gebruik. Die werking van die matriks op 'n vektor ( x , y ) stem ooreen met die vermenigvuldiging van x + iy met a + ib . In die besonder, as die determinant 1 is , is daar 'n reële getal t sodat die matriks die vorm het:

( r cos ⁡ t - r sonde ⁡ t r sonde ⁡ t r cos ⁡ t ) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} r \ cos t & -r \ sin t \\ r \ sin t & \; \; r \ cos t \ end {pmatrix}}} {\displaystyle {\begin{pmatrix}r\cos t&-r\sin t\\r\sin t&\;\;r\cos t\end{pmatrix}}}

In hierdie geval is die werking van die matriks op vektore en die vermenigvuldiging met die komplekse getal cos ⁡ t + i sonde ⁡ t {\ displaystyle \ cos t + i \ sin t} {\displaystyle \cos t+i\sin t}is albei die draai van die hoek t .

Komplekse analise

Kleurwielgrafiek van sin (1 / z ) . Swart dele binne verwys na getalle met groot absolute waardes.

Die bestudering van funksies van 'n komplekse veranderlike staan ​​bekend as komplekse analise en het 'n geweldige praktiese gebruik in toegepaste wiskunde sowel as in ander vertakkings van wiskunde. Die mees natuurlike bewyse vir stellings in werklike analise of selfs getalleteorie gebruik dikwels tegnieke uit komplekse analises (sien ' n voorbeeld van die priemgetalstelling ). In teenstelling met werklike funksies, wat gewoonlik as tweedimensionele grafieke voorgestel word, het ingewikkelde funksies vierdimensionele grafieke en kan dit nuttig geïllustreer word deur 'n driedimensionele grafiek te kleurkodeer om vier dimensies voor te stel, of deur die komplekse funksie se dinamiese transformasie van die komplekse vlak.

Komplekse eksponensiële en verwante funksies

Die begrippe van samelopende reekse en deurlopende funksies in (regte) analise het natuurlike analoë in komplekse analises. Daar word gesê dat 'n reeks komplekse getalle konvergeer as en net as die werklike en denkbeeldige dele dit wel doen. Dit is gelykstaande aan die (ε, δ) -definisie van limiete , waar die absolute waarde van reële getalle vervang word deur die een van komplekse getalle. Vanuit 'n meer abstrakte oogpunt, ℂ , met die maatstaf

d ⁡ ( Z 1 , Z 2 ) = | Z 1 - Z 2 | {\ displaystyle \ operatorname {d} (z_ {1}, z_ {2}) = | z_ {1} -z_ {2} |} {\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}

is 'n volledige metrieke ruimte , wat veral die driehoekongelykheid insluit

| Z 1 + Z 2 | ≤ | Z 1 | + | Z 2 | {\ displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ leq | z_ {1} | + | z_ {2} |} |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|

vir enige twee komplekse getalle z 1 en z 2 .

Soos in werklike analise, word hierdie begrip konvergensie gebruik om 'n aantal elementêre funksies te konstrueer : die eksponensiële funksie exp z , ook geskryf e z , word gedefinieer as die oneindige reeks

eksp ⁡ Z : = 1 + Z + Z 2 2 ⋅ 1 + Z 3 3 ⋅ 2 ⋅ 1 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ Z n n ! . {\ displaystyle \ exp z: = 1 + z + {\ frac {z ^ {2}} {2 \ cdot 1}} + {\ frac {z ^ {3}} {3 \ cdot 2 \ cdot 1}} + \ cdots = \ som _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.} {\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}

Die reeks wat die werklike trigonometriese funksies sinus en cosinus definieer , sowel as die hiperboliese funksies sinh en cosh, word ook sonder ingewikkelde argumente oorgedra. Vir die ander trigonometriese en hiperboliese funksies, soos raaklyn , is dinge effens ingewikkelder, aangesien die definiërende reekse nie vir alle komplekse waardes konvergeer nie. Daarom moet 'n mens dit definieer in terme van sinus, cosinus en eksponensiaal, of, ekwivalent, deur die analitiese voortsetting te gebruik .

Euler se formule lui:

eksp ⁡ ( i φ ) = cos ⁡ φ + i sonde ⁡ φ {\ displaystyle \ exp (i \ varphi) = \ cos \ varphi + i \ sin \ varphi} {\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }

in die besonder vir enige reële getal φ

eksp ⁡ ( i π ) = - 1 {\ displaystyle \ exp (i \ pi) = - 1} {\displaystyle \exp(i\pi )=-1}

Anders as in die situasie van reële getalle, is daar 'n oneindigheid van komplekse oplossings z van die vergelyking

eksp ⁡ Z = w {\ displaystyle \ exp z = w} {\displaystyle \exp z=w}

vir enige komplekse getal w ≠ 0 . Dit bewys kan word dat so 'n oplossing Z - genoem komplekse logaritme van w - bevredig

Meld ⁡ w = ln ⁡ | w | + i argumenteer ⁡ w , {\ displaystyle \ log w = \ ln | w | + i \ arg w,} {\displaystyle \log w=\ln |w|+i\arg w,}

waar arg is die argument hierbo gedefinieer , en in die (regte) natuurlike logaritme . Aangesien arg 'n meerwaardige funksie is , slegs uniek tot 'n veelvoud van 2 π , is log ook meervoudig. Die hoofwaarde van log word dikwels geneem deur die denkbeeldige deel tot die interval te beperk (- π , π ] .

Komplekse eksponensiasie z ω word gedefinieer as

Z ω = eksp ⁡ ( ω Meld ⁡ Z ) , {\ displaystyle z ^ {\ omega} = \ exp (\ omega \ log z),} {\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \log z),}

en is meerwaardig, behalwe as ω 'n heelgetal is. Vir ω = 1 / N , vir een of ander natuurlike getal n is dit herstel die nie-uniekheid van N ste wortels hierbo genoem.

Komplekse getalle, in teenstelling met reële getalle, voldoen in die algemeen nie aan die onveranderde krag- en logaritme-identiteite nie, veral nie as dit naïef as eenwaardige funksies behandel word nie; sien mislukking van mag en logaritme-identiteite . Hulle bevredig hulle byvoorbeeld nie

a b c = ( a b ) c . {\ displaystyle a ^ {bc} = \ left (a ^ {b} \ right) ^ {c}.} {\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}

Beide kante van die vergelyking word meerwaardig gemaak deur die definisie van komplekse eksponensiasie wat hier gegee word, en die waardes aan die linkerkant is 'n subversameling van die waardes aan die regterkant.

Holomorfe funksies

'N Funksie f  : ℂ → ℂ word holomorf genoem as dit aan die Cauchy – Riemann-vergelykings voldoen . Enige ℝ-lineêre kaart ℂ → ℂ kan byvoorbeeld in die vorm geskryf word

f ( Z ) = a Z + b Z ¯ {\ displaystyle f (z) = az + b {\ oorlyn {z}}} f(z)=az+b{\overline {z}}

met komplekse koëffisiënte a en b . Hierdie kaart is holomorf as en net as b = 0 . Die tweede somer b Z ¯ {\ displaystyle b {\ overline {z}}} b{\overline {z}}is werklik-onderskeibaar, maar voldoen nie aan die Cauchy-Riemann-vergelykings nie .

Komplekse analise toon enkele kenmerke wat nie in werklike analise sigbaar is nie. Byvoorbeeld, enige twee holomorfiese funksies f en g wat ooreenstem met 'n willekeurige klein oop subgroep van agree stem noodwendig oral saam. Meromorfe funksies , funksies wat plaaslik as f ( z ) / ( z - z 0 ) n met 'n holomorfiese funksie f geskryf kan word , deel steeds enkele van die kenmerke van holomorfe funksies. Ander funksies het wesenlike enkelhede , soos sin (1 / z ) by z = 0 .

Aansoeke

Komplekse getalle kan op baie wetenskaplike gebiede toegepas word, insluitend seinverwerking , beheerteorie , elektromagnetisme , vloeistofdinamika , kwantummeganika , kartografie en vibrasie-analise . Sommige van hierdie toepassings word hieronder beskryf.

Meetkunde

Vorms

Drie nie-kollinêre punte u , v , w {\ displaystyle u, v, w} u,v,win die vlak die vorm van die driehoek bepaal { u , v , w } {\ displaystyle \ {u, v, w \}} {\displaystyle \{u,v,w\}}. As u die punte in die komplekse vlak opspoor, kan hierdie vorm van 'n driehoek deur komplekse rekenkunde as uitgedruk word

S ( u , v , w ) = u - w u - v . {\ displaystyle S (u, v, w) = {\ frac {uw} {uv}}.} {\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}

Die vorm S {\ displaystyle S} Svan 'n driehoek sal dieselfde bly wanneer die komplekse vlak getransformeer word deur translasie of verwyding (deur 'n affine transformasie ), wat ooreenstem met die intuïtiewe begrip van vorm, en die ooreenkoms beskryf . Dus elke driehoek { u , v , w } {\ displaystyle \ {u, v, w \}} {\displaystyle \{u,v,w\}}is in 'n soortgelyke klas van driehoeke met dieselfde vorm. [52]

Fraktale meetkunde

Die Mandelbrot-stel met die regte en denkbeeldige as gemerk.

Die Mandelbrot-stel is 'n gewilde voorbeeld van 'n fraktaal wat op die komplekse vlak gevorm word. Dit word gedefinieer deur elke ligging te beplan c {\ displaystyle c} c waar die volgorde herhaal word f c ( Z ) = Z 2 + c {\ displaystyle f_ {c} (z) = z ^ {2} + c} {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}nie afwyk wanneer herhaalde oneindig. Net so het Julia-stelle dieselfde reëls, behalwe waar c {\ displaystyle c} c bly konstant.

Driehoeke

Elke driehoek het 'n unieke Steiner-inellips - 'n ellips in die driehoek en raaklyn aan die middelpunte van die drie sye van die driehoek. Die fokuspunte van die Steiner-inellips van 'n driehoek kan volgens Marden se stelling soos volg gevind word : [53] [54] Dui die hoekpunte van die driehoek in die komplekse vlak aan as a = x A + y A i , b = x B + y B i , en c = x C + y C i . Skryf die kubieke vergelyking neer ( x - a ) ( x - b ) ( x - c ) = 0 {\ displaystyle (xa) (xb) (xc) = 0} (x-a)(x-b)(x-c)=0, neem die afgeleide daarvan en stel die (kwadratiese) afgeleide gelyk aan nul. Die stelling van Marden sê dat die oplossings van hierdie vergelyking die komplekse getalle is wat die ligging van die twee fokuspunte van die Steiner-inellips aandui.

Algebraïese getalleteorie

Konstruksie van 'n gewone vyfhoek met reguit en kompas .

Soos hierbo genoem, het enige nie-konstante polinoomvergelyking (in komplekse koëffisiënte) 'n oplossing in ℂ . A fortiori is dieselfde waar as die vergelyking rasionele koëffisiënte het. Die wortels van sulke vergelykings word algebraïese getalle genoem - dit is 'n vernaamste voorwerp vir studie in algebraïese getalleteorie . In vergelyking met ℚ , het die algebraïese sluiting van ℚ , wat ook algebraïese getalle bevat, ℂ die voordeel dat dit maklik verstaanbaar is in meetkundige terme. Op hierdie manier kan algebraïese metodes gebruik word om meetkundige vrae te bestudeer en andersom. Met algebraïese metodes, wat meer spesifiek die masjinerie van veldteorie toepas op die getalveld wat wortels van eenheid bevat , kan aangetoon word dat dit nie moontlik is om 'n gewone nonagon te konstrueer deur slegs kompas en reguit te gebruik nie - 'n suiwer geometriese probleem.

Nog 'n voorbeeld is Gaussiese heelgetalle , dit wil sê getalle van die vorm x + iy , waar x en y heelgetalle is, wat gebruik kan word om somme van vierkante te klassifiseer .

Analitiese getalleteorie

Analitiese getalleteorie bestudeer getalle, dikwels heelgetalle of rasionele, deur gebruik te maak van die feit dat dit as komplekse getalle beskou kan word waarin analitiese metodes gebruik kan word. Dit word gedoen deur getalleteoretiese inligting in komplekse waardefunksies te kodeer. Die Riemann zeta-funksie ζ ( s ) hou byvoorbeeld verband met die verspreiding van priemgetalle .

Onbehoorlike integrale

In toegepaste velde word komplekse getalle dikwels gebruik om sekere werklike onbehoorlike integrale te bereken deur middel van ingewikkelde waardes. Daar is verskillende metodes om dit te doen; sien metodes van kontoerintegrasie .

Dinamiese vergelykings

In differensiaalvergelykings is dit algemeen om eers alle komplekse wortels r van die kenmerkende vergelyking van 'n lineêre differensiaalvergelyking of vergelykingstelsel te vind en dan die stelsel op te los in terme van basisfunksies van die vorm f ( t ) = e rt . In verskilvergelykings word die komplekse wortels r van die kenmerkende vergelyking van die verskilvergelykingstelsel gebruik om die stelsel op te los in terme van basisfunksies van die vorm f ( t ) = r t .

In toegepaste wiskunde

Beheerteorie

In die beheerteorie word stelsels dikwels van die tyddomein na die frekwensiedomein getransformeer met behulp van die Laplace-transform . Die nulle en pole van die stelsel word dan in die komplekse vlak geanaliseer . Die wortellokus , Nyquist-plot en Nichols-plottegnieke maak gebruik van die komplekse vlak.

In die root locus-metode is dit belangrik of nulle en pole in die linker- of regterhalfvlak is, dit wil sê 'n werklike deel groter of minder is as nul. As 'n lineêre, tyd-invariante (LTI) stelsel pole het wat dit is

  • in die regte helftevlak sal dit onstabiel wees ,
  • alles in die linker helftevlak sal dit stabiel wees ,
  • op die denkbeeldige as, sal dit marginale stabiliteit hê .

As 'n stelsel nulle in die regte helftevlak het, is dit 'n nie- minimum fasestelsel .

Seinontleding

Komplekse getalle word gebruik in seinontleding en ander velde vir 'n maklike beskrywing vir periodieke variërende seine. Vir gegewe werklike funksies wat werklike fisiese hoeveelhede voorstel, dikwels in terme van sinusse en kosinusse, word ooreenstemmende komplekse funksies beskou waarvan die werklike dele die oorspronklike hoeveelhede is. Vir 'n sinusgolf van 'n gegewe frekwensie , is die absolute waarde | z | van die ooreenstemmende z is die amplitude en die argument arg z is die fase .

As Fourier-analise gebruik word om 'n gegewe reële waarde sein as 'n som van periodieke funksies te skryf, word hierdie periodieke funksies dikwels as komplekse waardefunksies van die vorm geskryf.

x ( t ) = Re ⁡ { X ( t ) } {\ displaystyle x (t) = \ operatorname {Re} \ {X (t) \}} {\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}

en

X ( t ) = A e i ω t = a e i ϕ e i ω t = a e i ( ω t + ϕ ) {\ displaystyle X (t) = Ae ^ {i \ omega t} = ae ^ {i \ phi} e ^ {i \ omega t} = ae ^ {i (\ omega t + \ phi)}} {\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}

waar ω die hoekfrekwensie voorstel en die komplekse getal A die fase en amplitude kodeer soos hierbo uiteengesit.

Hierdie gebruik is ook uitgebrei na digitale seinverwerking en digitale beeldverwerking , wat digitale weergawes van Fourier analise (en benut wavelet analise) te stuur, compress , herstel, en anders verwerk digitale klank seine, foto's, en video seine.

'N Ander voorbeeld, relevant vir die twee sybande van amplitudemodulasie van AM-radio, is:

cos ⁡ ( ( ω + α ) t ) + cos ⁡ ( ( ω - α ) t ) = Re ⁡ ( e i ( ω + α ) t + e i ( ω - α ) t ) = Re ⁡ ( ( e i α t + e - i α t ) ⋅ e i ω t ) = Re ⁡ ( 2 cos ⁡ ( α t ) ⋅ e i ω t ) = 2 cos ⁡ ( α t ) ⋅ Re ⁡ ( e i ω t ) = 2 cos ⁡ ( α t ) ⋅ cos ⁡ ( ω t ) . {\ displaystyle {\ begin {belyn} \ cos ((\ omega + \ alpha) t) + \ cos \ links ((\ omega - \ alpha) t \ regs) & = \ operatorname {Re} \ links (e ^ {i (\ omega + \ alpha) t} + e ^ {i (\ omega - \ alpha) t} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ left (\ left (e ^ {i \ alpha t } + e ^ {- i \ alpha t} \ right) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ right) \\ & = \ operatorname {Re} \ left (2 \ cos (\ alpha t) \ cdot e ^ {i \ omega t} \ regs) \\ & = 2 \ cos (\ alpha t) \ cdot \ operatorname {Re} \ links (e ^ {i \ omega t} \ regs) \\ & = 2 \ cos (\ alfa t) \ cdot \ cos \ links (\ omega t \ regs). \ einde {gerig}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}

In fisika

Elektromagnetisme en elektriese ingenieurswese

In die elektriese ingenieurswese word die Fourier-transform gebruik om verskillende spannings en strome te ontleed . Die behandeling van weerstande , kondensators en induktore kan dan verenig word deur denkbeeldige, frekwensie-afhanklike weerstande vir laasgenoemde twee in te voer en al drie in 'n enkele komplekse getal, die impedansie, te kombineer . Hierdie benadering word fasorrekening genoem .

In elektriese ingenieurswese word die denkbeeldige eenheid aangedui deur j , om verwarring met I te voorkom , wat gewoonlik gebruik word om elektriese stroom aan te dui , of, meer spesifiek, i , wat gewoonlik gebruik word om oombliklike elektriese stroom aan te dui.

Aangesien die spanning in 'n WS- stroombaan ossillerend is, kan dit voorgestel word as

V ( t ) = V 0 e j ω t = V 0 ( cos ⁡ ω t + j sonde ⁡ ω t ) , {\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {j \ omega t} = V_ {0} \ left (\ cos \ omega t + j \ sin \ omega t \ right),} {\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}

Om die meetbare hoeveelheid te verkry, word die werklike deel geneem:

v ( t ) = Re ⁡ ( V ) = Re ⁡ [ V 0 e j ω t ] = V 0 cos ⁡ ω t . {\ displaystyle v (t) = \ operatorname {Re} (V) = \ operatorname {Re} \ left [V_ {0} e ^ {j \ omega t} \ right] = V_ {0} \ cos \ omega t .} {\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}

Die komplekswaarde V ( t ) word die analitiese voorstelling van die reële waarde, meetbare sein v ( t ) genoem . [55]

Vloeistofdinamika

In vloeistofdinamika word komplekse funksies gebruik om potensiële vloei in twee dimensies te beskryf .

Kwantummeganika

Die kompleksgetalveld is intrinsiek aan die wiskundige formulerings van kwantummeganika , waar komplekse Hilbert-ruimtes die konteks bied vir een so 'n formulering wat gerieflik en miskien die mees standaard is. Die oorspronklike basisformules van die kwantummeganika - die Schrödinger-vergelyking en Heisenberg se matriksmeganika - maak gebruik van komplekse getalle.

Relatiwiteit

In spesiale en algemene relatiwiteit word sommige formules vir die maatstaf oor ruimtetyd eenvoudiger as 'n mens die tydkomponent van die ruimtetydkontinuum as denkbeeldig beskou. (Hierdie benadering is nie meer standaard in die klassieke relatiwiteit nie, maar word op 'n wesenlike manier in die kwantumveldteorie gebruik .) Komplekse getalle is noodsaaklik vir spinors , wat 'n veralgemening is van die tensore wat in relativiteit gebruik word.

Veralgemenings en verwante begrippe

Cayley Q8 kwaterniumgrafiek wat siklusse van vermenigvuldiging met i , j en k toon

Die proses om die veld uit te brei R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} van reals tot C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} staan ​​bekend as die Cayley – Dickson-konstruksie . Dit kan verder na hoër dimensies gedra word, wat die kwartiere oplewer H {\ displaystyle \ mathbb {H}} \mathbb {H} en okttonies O {\ displaystyle \ mathbb {O}} \mathbb {O} wat (as 'n werklike vektorruimte) onderskeidelik dimensie 4 en 8 het. In hierdie konteks word die komplekse getalle die binaries genoem . [56]

Net soos deur die konstruksie op die vaste eiendom die bestellingseiendom verlore gaan, verdwyn eiendomme wat bekend is uit reële en komplekse getalle by elke uitbreiding. Die wagte, elkeen verloor Kommutatiwiteit, dit is, ' x · y ≠ y · x vir 'n paar wagte, elkeen x ,  y , en die vermeerdering van Oktoniese , bykomend tot nie kommutatiewe, versuim assosiatiewe te wees: ( x · y ) · z ≠ x · ( y · z ) vir sommige okttonies x ,  y ,  z .

Reals, komplekse getalle, wagte, elkeen en Oktoniese is almal genormeerde afdeling algebras oor R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} Volgens Hurwitz se stelling is hulle die enigste; die sedenions , die volgende stap in die Cayley – Dickson-konstruksie, het nie die struktuur nie.

Die Cayley – Dickson-konstruksie hou nou verband met die gereelde voorstelling van C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,} beskou as 'n R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} - algebra ('n ℝ -vektorruimte met 'n vermenigvuldiging), ten opsigte van die basis (1,  i ) . Dit beteken die volgende: die R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} -lynêre kaart

C → C Z ↦ w Z {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {C} & \ rightarrow \ mathbb {C} \\ z & \ mapsto wz \ end {align}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}

vir sommige vaste komplekse getalle kan w deur 'n 2 × 2 matriks voorgestel word (sodra 'n basis gekies is). Met betrekking tot die basis (1,  i ) is hierdie matriks

( Re ⁡ ( w ) - Im ⁡ ( w ) Im ⁡ ( w ) Re ⁡ ( w ) ) , {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ operatorname {Re} (w) & - \ operatorname {Im} (w) \\\ operatorname {Im} (w) & \ operatorname {Re} (w) \ end {pmatrix }},} {\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}

dit wil sê die een wat in die afdeling oor matriksvoorstelling van komplekse getalle hierbo genoem word. Alhoewel dit 'n lineêre voorstelling is van C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} in die reëlmatrikse van 2 × 2 is dit nie die enigste nie. Enige matriks

J = ( bl q r - bl ) , bl 2 + q r + 1 = 0 {\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} p & q \\ r & -p \ end {pmatrix}}, \ quad p ^ {2} + qr + 1 = 0} J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0

het die eienskap dat sy vierkante is die negatiewe van die identiteitsmatriks: J 2 = - I . Dan

{ Z = a Ek + b J : a , b ∈ R } {\ displaystyle \ {z = aI + bJ: a, b \ in \ mathbb {R} \}} {\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}

is ook isomorf vir die veld C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,} en gee 'n alternatiewe komplekse struktuur op R 2 . {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}.} {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}Dit word veralgemeen deur die idee van 'n lineêre komplekse struktuur .

Hiperkomplekse getalle veralgemeen ook R , {\ displaystyle \ mathbb {R},} {\displaystyle \mathbb {R} ,} C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,} H , {\ displaystyle \ mathbb {H},} {\displaystyle \mathbb {H} ,} en O . {\ displaystyle \ mathbb {O}.} {\displaystyle \mathbb {O} .}Hierdie begrip bevat byvoorbeeld die split-komplekse getalle , wat elemente van die ring is R [ x ] / ( x 2 - 1 ) {\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} -1)} {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)} (in plaas van R [ x ] / ( x 2 + 1 ) {\ displaystyle \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1)} {\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}vir komplekse getalle). In hierdie ring het die vergelyking a 2 = 1 vier oplossings.

Die veld R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} is die voltooiing van V , {\ displaystyle \ mathbb {Q},} {\displaystyle \mathbb {Q} ,}die veld van rasionale getalle , met betrekking tot die gewone absolute waarde- maatstaf . Ander keuses van maatstawwe op V {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} lei na die lande V bl {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}van p -adiese getalle (vir enige priemgetal p ), wat dus analoog is aan ℝ . Daar is geen ander maniere om te voltooi nie V {\ displaystyle \ mathbb {Q}} \mathbb {Q} as R {\ displaystyle \ mathbb {R}} \mathbb {R} en V bl , {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p},} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}deur die stelling van Ostrowski . Die algebraïese sluitings V bl ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}}} {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}} van V bl {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} dra steeds 'n norm, maar (anders as C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb {C} ) is nie volledig ten opsigte daarvan nie. Die voltooiing C bl {\ displaystyle \ mathbb {C} _ {p}} {\mathbb {C}}_{p} van V bl ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q} _ {p}}}} {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}blyk algebraïes toe te wees. Na analogie word die veld p- adiese komplekse getalle genoem.

Die velde R , {\ displaystyle \ mathbb {R},} {\displaystyle \mathbb {R} ,} V bl , {\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p},} {\displaystyle \mathbb {Q} _{p},} en hul eindige velduitbreidings, insluitend C , {\ displaystyle \ mathbb {C},} {\displaystyle \mathbb {C} ,}word plaaslike velde genoem .

Sien ook

  • Algebraïese oppervlak
  • Sirkelbeweging met behulp van komplekse getalle
  • Komplekse basisstelsel
  • Komplekse meetkunde
  • Dubbel-komplekse getal
  • Eisenstein heelgetal
  • Euler se identiteit
  • Geometriese algebra (wat die komplekse vlak as die tweedimensionele spinor- subruimte insluit G 2 + {\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {2} ^ {+}} {\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}})
  • Wortel van eenheid
  • Eenheidskompleks nommer

Aantekeninge

  1. ^ "Komplekse getalle, soveel as reals, en miskien selfs meer, vind 'n eenheid met die natuur wat opmerklik is. Dit is asof die natuur self net so beïndruk is deur die omvang en konsekwentheid van die komplekse getallestelsel as wat ons self is, en het die presiese werking van haar wêreld op sy kleinste skaal aan hierdie getalle toevertrou. ' - R. Penrose (2016, p. 73) [5]
  2. ^ "Die vliegtuig R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}} \R^2 waarvan die punte geïdentifiseer word met die elemente van C {\ displaystyle \ mathbb {C}} \mathbb{C} word die komplekse vlak genoem "..." Die volledige geometriese interpretasie van komplekse getalle en bewerkings daarop verskyn die eerste keer in die werk van C. Wessel (1799). Die geometriese voorstelling van komplekse getalle, soms ook die "Argand-diagram" genoem, is in gebruik geneem nadat die publikasies in 1806 en 1814 van JR Argand gepubliseer is, wat die bevindinge van Wessel grootliks onafhanklik herontdek het. - ( Solomentsev 2001 )
  3. ^ In moderne notasie is die oplossing van Tartaglia gebaseer op die uitbreiding van die kubus van die som van twee kubuswortels: ( u 3 + v 3 ) 3 = 3 u v 3 ( u 3 + v 3 ) + u + v {\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ right) ^ {3} = 3 {\ sqrt [{3}] {uv }} \ links ({\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}} \ regs) + u + v} \left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right)^3 = 3 \sqrt[3]{uv} \left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right) + u + v Met x = u 3 + v 3 {\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {u}} + {\ sqrt [{3}] {v}}} x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}, bl = 3 u v 3 {\ displaystyle p = 3 {\ sqrt [{3}] {uv}}} p = 3 \sqrt[3]{uv}, q = u + v {\ displaystyle q = u + v} q = u + v, u en v kan uitgedruk word in terme van p en q as u = q / 2 + ( q / 2 ) 2 - ( bl / 3 ) 3 {\ displaystyle u = q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}} u = q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3} en v = q / 2 - ( q / 2 ) 2 - ( bl / 3 ) 3 {\ displaystyle v = q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}} v = q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}, onderskeidelik. Daarom, x = q / 2 + ( q / 2 ) 2 - ( bl / 3 ) 3 3 + q / 2 - ( q / 2 ) 2 - ( bl / 3 ) 3 3 {\ displaystyle x = {\ sqrt [{3}] {q / 2 + {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}} + {\ sqrt [ {3}] {q / 2 - {\ sqrt {(q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}}}}}} x = \sqrt[3]{q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}} + \sqrt[3]{q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}}. Wanneer ( q / 2 ) 2 - ( bl / 3 ) 3 {\ displaystyle (q / 2) ^ {2} - (p / 3) ^ {3}} (q/2)^2-(p/3)^3 negatief is (casus irreducibilis), moet die tweede kubuswortel as die komplekse vervoeging van die eerste beskou word.
  4. ^ Daar is bewys dat denkbeeldige getalle noodwendig in die kubieke formule moet verskyn wanneer die vergelyking drie werklike, verskillende wortels het deur Pierre Laurent Wantzel in 1843, Vincenzo Mollame in 1890, Otto Hölder in 1891 en Adolf Kneser in 1892. Paolo Ruffini het ook 'n onvolledige bewys in 1799 gelewer. - S. Confalonieri (2015) [21]
  5. ^ Argand (1814) [37] ( p. 204 ) definieer die modulus van 'n komplekse getal, maar hy noem dit nie:
    "Dans ce qui suit, les accens, indifféremment placés, seront employés pour indiquer la grandeur absolue des quantités qu ' ils affektief; ainsi, si a = m + n - 1 {\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}, m {\ displaystyle m} m et n {\ displaystyle n} n étant réels, on devra entender que a ′ {\ displaystyle a_ {'}} {\displaystyle a_{'}} ou a ′ = m 2 + n 2 {\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}. "
    [Hierna word aksentmerke, waar hulle ook al geplaas word, gebruik om die absolute grootte aan te dui van die hoeveelhede waaraan hulle toegeken is; dus as a = m + n - 1 {\ displaystyle a = m + n {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a=m+n{\sqrt {-1}}}, m {\ displaystyle m} m en n {\ displaystyle n} n om eg te wees, moet 'n mens dit verstaan a ′ {\ displaystyle a_ {'}} {\displaystyle a_{'}} of a ′ = m 2 + n 2 {\ displaystyle a '= {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a'={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}.]
    Argand [37] ( p 208 ) definieer en benoem die module en die rigtingsfaktor van 'n komplekse getal: "... a = m 2 + n 2 {\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}pourrait être appelé le module de a + b - 1 {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}, et représenterait la grandeur absolue de la ligne a + b - 1 {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}, tandis que l'autre facteur, dont le module est l'unité, en représentait la direction. "
    [... a = m 2 + n 2 {\ displaystyle a = {\ sqrt {m ^ {2} + n ^ {2}}}} {\displaystyle a={\sqrt {m^{2}+n^{2}}}}kan die module van genoem word a + b - 1 {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}}en sal die absolute grootte van die lyn voorstel a + b - 1 , {\ displaystyle a + b {\ sqrt {-1}} \ ,,} {\displaystyle a+b{\sqrt {-1}}\,,} (Let op dat Argand komplekse getalle as vektore voorstel.) Terwyl die ander faktor [naamlik, a a 2 + b 2 + b a 2 + b 2 - 1 {\ displaystyle {\ tfrac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} + {\ tfrac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} }} {\ sqrt {-1}}} {\displaystyle {\tfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+{\tfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}{\sqrt {-1}}}], waarvan die module eenheid is [1], sal die rigting daarvan voorstel.] [37]
  6. ^ Gauss (1831) [29] ( p 96 ) skryf
    "Quemadmodum scilicet arithmetica sublimior in quaestionibus hactenus pertractatis inter solo Numeros integros Reales versatur, ita theoremata circa residuele biquadratica Tunc tantum in summa simplicitate AC genuina venustate pompeus, quando kampus arithmeticae advertensie quantitates imaginarias extensie, ita ut absque restrictie ipsius obiectum constituant numeri formae a + bi , denotantibus i , pro more quantitatem imaginariam √ −1 , atque a, b onbepaalde omnes numeros reales integros inter - ∞ {\ displaystyle \ infty} \infty et + ∞ {\ displaystyle \ infty} \infty . "
    [Natuurlik, net soos die hoër rekenkunde tot dusver slegs onder werklike heelgetalle in probleme ondersoek is, skyn stellings met betrekking tot bikadratiese residue dan in die grootste eenvoud en opregte skoonheid, wanneer die veld van rekenkunde uitgebrei word tot denkbeeldige hoeveelhede, sodat , sonder beperking daarop, getalle van die vorm a + bi - i wat volgens konvensie die denkbeeldige hoeveelheid √ −1 aandui , en die veranderlikes a, b [wat aandui] alle reële heelgetalle tussen - ∞ {\ displaystyle - \ infty} -\infty en + ∞ {\ displaystyle + \ infty} +\infty - vorm 'n voorwerp.] [29]
  7. ^ Gauss (1831) [29] ( p 96 )
    "Tales numeros vocabimus numeros integros complexos, ita quidem, ut reales complexis non opponantur, sed tamquam species sub his contineri censeantur."
    [Ons noem sulke getalle [naamlik getalle van die vorm a + bi ] "komplekse heelgetalle", sodat reële [getalle] nie beskou word as die teenoorgestelde van komplekse [getalle] nie, maar [as] 'n tipe [getal wat ] is so te sê daarin vervat.] [29]
  8. ^ Gauss (1831) [29] ( p 98 )
    "Productum Numeri complexi per numerum ipsi conjunctum utriusque normam vocamus. Pro normale itaque Numeri realis, ipsius quadratum habendum est."
    [Ons noem 'n 'norm' die produk van 'n komplekse getal [bv. a + ib ] met sy vervoegde [ a - ib ]. Daarom moet die vierkant van 'n reële getal as sy norm beskou word.] [29]
  9. ^ Vir 'n ander omgekeerde funksie van die komplekse eksponensiële funksie (en nie die bostaande gedefinieerde hoofwaarde nie), kan die vertakkings by enige ander straal deur die oorsprong geneem word.

Verwysings

  1. ^ Vir 'n uitgebreide weergawe van die geskiedenis van 'denkbeeldige' getalle, van aanvanklike skeptisisme tot uiteindelike aanvaarding, sien Bourbaki, Nicolas (1998). "Grondslae van wiskunde § Logika: versamelingsteorie". Elemente van die geskiedenis van wiskunde . Springer. bl. 18–24.
  2. ^ a b c "Omvattende lys van algebrasimbole" . Wiskunde kluis . 25 Maart 2020 . Besoek op 12 Augustus 2020 .
  3. ^ a b c "Komplekse getalle" . www.mathsisfun.com . Besoek op 12 Augustus 2020 .
  4. ^ "Komplekse getalle" . Briljante Wiskunde en Wetenskap Wiki . Besoek op 12 Augustus 2020 .
  5. ^ Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: 'n volledige gids tot die wette van die heelal (heruitgawe red.). Willekeurige huis. pp. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8.
  6. ^ Axler, Sheldon (2010). Kollege-algebra . Wiley. bl. 262 . ISBN 9780470470770.
  7. ^ Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Schiller, JJ; Spellman, D. (14 April 2009). Komplekse veranderlikes . Schaum's Outline Series (2de uitg.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.
  8. ^ Aufmann, Richard N .; Barker, Vernon C .; Nation, Richard D. (2007). "Hoofstuk P" . College Algebra and Trigonometry (6 uitg.). Cengage-leer. bl. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.
  9. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  10. ^ Kyk ( Ahlfors 1979 ).
  11. ^ Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Komplekse veranderlikes en toepassings (6de uitg.). New York: McGraw-Hill. bl. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. In elektriese ingenieurswese word die letter j gebruik in plaas van i .
  12. ^ Pedoe, Dan (1988). Meetkunde: 'n omvattende kursus . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  13. ^ a b Weisstein, Eric W. "Komplekse nommer" . mathworld.wolfram.com . Besoek op 12 Augustus 2020 .
  14. ^ Sien ( Apostol 1981 ), bladsy 18.
  15. ^ Kasana, HS (2005). "Hoofstuk 1" . Komplekse veranderlikes: teorie en toepassings (2de uitg.). PHI Learning Pvt. Bpk. Bl. 14. ISBN 978-81-203-2641-5.
  16. ^ Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). "Hoofstuk 9" . Elektriese stroombane (8ste uitgawe). Prentice-saal. bl. 338. ISBN 978-0-13-198925-2.
  17. ^ Kline, Morris. 'N Geskiedenis van wiskundige denke, volume 1 . bl. 253.
  18. ^ Katz, Victor J. (2004). "9.1.4". 'N Geskiedenis van wiskunde, kort weergawe . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  19. ^ Hamilton, Wm. (1844). "Oor 'n nuwe soort denkbeeldige hoeveelhede wat verband hou met 'n teorie van kwaternieë" . Verrigtinge van die Royal Irish Academy . 2 : 424–434.
  20. ^ Nahin, Paul J. (2007). An Imaginary Tale: The Story of √ −1 . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-12798-9. Gegearchiveer vanaf die oorspronklike op 12 Oktober 2012 . Besoek op 20 April 2011 .
  21. ^ a b Confalonieri, Sara (2015). Die onbereikbare poging om die Casus Irreducibilis vir kubieke vergelykings te vermy: De Regula Aliza van Gerolamo Cardano . Springer. bl. 15–16 (aantekening 26). ISBN 978-3658092757.
  22. ^ Descartes, René (1954) [1637]. La Géométrie | Die meetkunde van René Descartes met 'n faksimilee van die eerste uitgawe . Dover-publikasies . ISBN 978-0-486-60068-0. Besoek op 20 April 2011 .
  23. ^ Euler, Leonard (1748). Introductio in Analysin Infinitorum [ Inleiding tot die analise van die oneindige ] (in Latyn). vol. 1. Luzern, Switserland: Marc Michel Bosquet & Co. bl. 104. |volume=het ekstra teks ( hulp )
  24. ^ Wessel, Caspar (1799). "Om Directionens analytiske Betegning, et Forsog, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Oplosning" [Oor die analitiese voorstelling van rigting, is 'n poging veral toegepas op die bepaling van vlakke en bolvormige veelhoeke]. Nye Samling af det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter [Nuwe versameling van die geskrifte van die Royal Danish Science Society] (in Deens). 5 : 469–518.
  25. ^ Wallis, John (1685). 'N verhandeling van Algebra, sowel histories as Praktiese ... . Londen, Engeland: gedruk deur John Playford vir Richard Davis. bl. 264–273.
  26. ^ Argand (1806). Essai sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques [ Opstel oor die manier om komplekse hoeveelhede deur geometriese konstruksies voor te stel ] (in Frans). Parys, Frankryk: Madame Veuve Blanc.
  27. ^ Gauss, Carl Friedrich (1799) "Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse." [Nuwe bewys van die stelling dat enige rasionele integrale algebraïese funksie van 'n enkele veranderlike tot werklike faktore van die eerste of tweede graad opgelos kan word.] Ph.D. proefskrif, Universiteit van Helmstedt, (Duitsland). (in Latyn)
  28. ^ a b Ewald, William B. (1996). Van Kant tot Hilbert: 'n Bronboek in die fondamente van wiskunde . 1 . Oxford University Press. bl. 313. ISBN 9780198505358. Besoek op 18 Maart 2020 .
  29. ^ a b c d e f g h Gauss, CF (1831). "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda" [Teorie van biquadratic residue. Tweede memoir.]. Kommentaar Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores (in Latyn). 7 : 89–148.
  30. ^ Adrien Quentin Buée (1745–1845): MacTutor
  31. ^ Buée (1806). "Mémoire sur les quantités imaginaires" [Memoir oor denkbeeldige hoeveelhede]. Filosofiese transaksies van die Royal Society of London (in Frans). 96 : 23–88. doi : 10.1098 / rstl.1806.0003 . S2CID  110394048 .
  32. ^ Mourey, CV (1861). La vraies théore des quantités négatives et des quantités prétendues imaginaires [ Die ware teorie van negatiewe hoeveelhede en vermeende denkbeeldige hoeveelhede ] (in Frans). Parys, Frankryk: Mallet-Bachelier. 1861 herdruk van die oorspronklike uit 1828.
  33. ^ Sien:
     • Warren, John (1828). 'N Verhandeling oor die geometriese voorstelling van die vierkante wortels van negatiewe hoeveelhede . Cambridge, Engeland: Cambridge University Press.
     • Warren, John (1829). "Oorweging van die besware teen die geometriese voorstelling van die vierkantswortels van negatiewe hoeveelhede . Filosofiese transaksies van die Royal Society of London . 119 : 241–254. doi : 10.1098 / rstl.1829.0022 . S2CID  186211638 .
     • Warren, John (1829). "Oor die geometriese voorstelling van die magte van hoeveelhede, waarvan die indekse die vierkantswortels van negatiewe getalle behels" . Filosofiese transaksies van die Royal Society of London . 119 : 339–359. doi : 10.1098 / rstl.1829.0031 . S2CID  125699726 .
  34. ^ Français, JF (1813). "Nouveaux principes de géométrie de position, and interpretation géométrique des symboles imaginaires" [Nuwe beginsels van die meetkunde van posisie en geometriese interpretasie van komplekse [getals] simbole]. Annales des mathématiques pures et appliquées (in Frans). 4 : 61–71.
  35. ^ Caparrini, Sandro (2000). "Oor die algemene oorsprong van sommige werke oor die geometriese interpretasie van komplekse getalle" . In Kim Williams (red.). Twee kulture . Birkhäuser. bl. 139. ISBN 978-3-7643-7186-9.
  36. ^ Hardy, GH; Wright, EM (2000) [1938]. 'N Inleiding tot die teorie van getalle . OUP Oxford . bl. 189 (vierde uitgawe). ISBN 978-0-19-921986-5.
  37. ^ a b c Argand (1814). "Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise" [Besinning oor die nuwe teorie van komplekse getalle, gevolg deur 'n toepassing op die bewys van 'n stelling van analise]. Annales de mathématiques pures et appliquées (in Frans). 5 : 197–209.
  38. ^ Jeff Miller (21 September 1999). "MODULUS" . Die vroegste bekende gebruike van sommige van die woorde van wiskunde (M) . Op 3 Oktober 1999 vanaf die oorspronklike argief.CS1 maint: ongeskikte URL ( skakel )
  39. ^ Cauchy, Augustin Louis (1821). Cours d'analyse de l'École royale polytechnique (in Frans). vol. 1. Parys, Frankryk: L'Imprimerie Royale. bl. 183. |volume=het ekstra teks ( hulp )
  40. ^ Hankel, Hermann (1867). Vorlesungen über die complexen Zahlen und ihre Functionen [ Lesings oor die komplekse getalle en hul funksies ] (in Duits). vol. 1. Leipzig, [Duitsland]: Leopold Voss. bl. 71. |volume=het ekstra teks ( hulp )Van bl. 71: "Wir werden den Factor ( cos φ + i sin φ) haüfig den Richtungscoefficienten nennen." (Ons noem die faktor (cos φ + i sin often) dikwels die "rigtingskoëffisiënt".)
  41. ^ Vir die voormalige notasie, sien ( Apostol 1981 ), bladsye 15–16.
  42. ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handboek van wiskundige funksies met formules, grafieke en wiskundige tabelle . Courier Dover-publikasies. bl. 17. ISBN 978-0-486-61272-0. Op 23 April 2016 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 16 Februarie 2016 ., Afdeling 3.7.26, p. 17 Gearchiveer op 10 September 2009 by die Wayback Machine
  43. ^ Cooke, Roger (2008). Klassieke algebra: die aard, oorsprong en gebruike . John Wiley en Sons. bl. 59. ISBN 978-0-470-25952-8. Op 24 April 2016 vanaf die oorspronklike argief . Besoek op 16 Februarie 2016 ., Uittreksel: bladsy 59 Gearchiveer op 23 April 2016 by die Wayback Machine
  44. ^ Sien ( Ahlfors 1979 ), bladsy 3.
  45. ^ a b Kyk ( Apostol 1981 ), bladsye 15–16.
  46. ^ Sien ( Apostol 1981 ), bladsy 25.
  47. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  48. ^ Marker, David (1996). "Inleiding tot die modelteorie van velde" . In Marker, D .; Messmer, M .; Pillay, A. (reds.). Modelteorie van velde . Lesingnotas in logika. 5 . Berlyn: Springer-Verlag. pp. 1–37. ISBN 978-3-540-60741-0. MR  1477154 .
  49. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.4)
  50. ^ Corry, Leo (2015). 'N Kort geskiedenis van getalle . Oxford University Press. bl. 215–16.
  51. ^ ( Bourbaki 1998 , §VIII.1)
  52. ^ Lester, JA (1994). "Driehoeke I: vorms". Aequationes Mathematicae . 52 : 30–54. doi : 10.1007 / BF01818325 . S2CID  121095307 .
  53. ^ Kalman, Dan (2008a). "'N Elementêre bewys van Marden se stelling" . Amerikaanse wiskundige maandelikse . 115 (4): 330–38. doi : 10.1080 / 00029890.2008.11920532 . ISSN  0002-9890 . S2CID  13222698 . Gegearchiveer vanaf die oorspronklike op 8 Maart 2012 . Besoek op 1 Januarie 2012 .
  54. ^ Kalman, Dan (2008b). "Die wonderlikste stelling in wiskunde" . Tydskrif vir Aanlyn Wiskunde en die toepassings daarvan . Gearchiveer vanaf die oorspronklike op 8 Februarie 2012 . Besoek op 1 Januarie 2012 .
  55. ^ Grant, IS; Phillips, WR (2008). Elektromagnetisme (2 uitg.). Manchester Fisika-reeks. ISBN 978-0-471-92712-9.
  56. ^ McCrimmon, Kevin (2004). A Taste of Jordan Algebras . Universitext. Springer. bl. 64. ISBN 0-387-95447-3. MNR2014924

Werke aangehaal

  • Ahlfors, Lars (1979). Komplekse analise (3de uitg.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Apostol, Tom (1981). Wiskundige analise . Addison-Wesley.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Komplekse nommer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Verdere leeswerk

  • Penrose, Roger (2005). Die pad na die werklikheid: 'n volledige gids tot die wette van die heelal . Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.
  • Derbyshire, John (2006). Onbekende hoeveelheid: 'n werklike en denkbeeldige geskiedenis van algebra . Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
  • Needham, Tristan (1997). Visuele komplekse analise . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.

Wiskundig

  • Ahlfors, Lars (1979). Komplekse analise (3de uitg.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
  • Conway, John B. (1986). Funksies van een komplekse veranderlike . Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
  • Joshi, Kapil D. (1989). Grondslae van Diskrete Wiskunde . New York: John Wiley & Sons . ISBN 978-0-470-21152-6.
  • Pedoe, Dan (1988). Meetkunde: 'n omvattende kursus . Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
  • Pers, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Afdeling 5.5 Komplekse rekenkunde" . Numeriese resepte: die kuns van wetenskaplike rekenaars (3de uitg.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
  • Solomentsev, ED (2001) [1994], "Komplekse nommer" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

Historiese

  • Bourbaki, Nicolas (1998). "Grondslae van wiskunde § logika: versamelingsteorie". Elemente van die geskiedenis van wiskunde . Springer.
  • Burton, David M. (1995). The History of Mathematics (3de uitg.). New York: McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-009465-9.
  • Katz, Victor J. (2004). 'N Geskiedenis van wiskunde, kort weergawe . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-16193-2.
  • Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of - 1 {\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt {-1}}} \scriptstyle {\sqrt {-1}}. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1. - 'n Sagte inleiding tot die geskiedenis van komplekse getalle en die begin van komplekse analise.
  • Ebbinghaus, HD; Hermes, H .; Hirzebruch, F .; Koecher, M .; Mainzer, K .; Neukirch, J .; Prestel, A .; Remmert, R. (1991). Getalle (hardeband uitg.). Springer. ISBN 978-0-387-97497-2. - 'n Gevorderde perspektief op die historiese ontwikkeling van die begrip getal.
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Complex_number" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP