Hoeksnelheid

Deeltjie in twee dimensies

Die hoeksnelheid van die deeltjie by P met betrekking tot die oorsprong O word bepaal deur die loodregte komponent van die snelheidsvektor v .

In die eenvoudigste geval van sirkelbeweging in radius ${\ displaystyle r}$, met posisie gegee deur die hoekverplasing ${\ displaystyle \ phi (t)}$ vanaf die x-as is die wentelhoeksnelheid die tempo van die verandering van die hoek ten opsigte van tyd: ${\ textstyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}}}$. As${\ displaystyle \ phi}$word in radiale gemeet , is die booglengte vanaf die positiewe x-as rondom die sirkel tot die deeltjie${\ displaystyle \ ell = r \ phi}$, en die lineêre snelheid is ${\ textstyle v (t) = {\ frac {d \ ell} {dt}} = r \ omega (t)}$, sodat ${\ textstyle \ omega = {\ frac {v} {r}}}$.

In die algemene geval van 'n deeltjie wat in die vlak beweeg, is die wentelhoeksnelheid die snelheid waarmee die posisievektor ten opsigte van 'n gekose oorsprong die hoek 'uitveeg'. Die diagram toon die posisievektor${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ van die oorsprong af ${\ displaystyle O}$ aan 'n deeltjie ${\ displaystyle P}$, met sy poolkoördinate ${\ displaystyle (r, \ phi)}$. (Alle veranderlikes is funksies van tyd${\ displaystyle t}$.) Die deeltjie het lineêre snelheidsverdeling as ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ |} + \ mathbf {v} _ {\ perp}}$, met die radiale komponent ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ |}}$ parallel aan die radius, en die kruis-radiale (of tangensiële) komponent ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}}$loodreg op die radius. As daar geen radiale komponent is nie, beweeg die deeltjie rondom die oorsprong in 'n sirkel; maar as daar geen dwarsradiale komponent is nie, beweeg dit in 'n reguit lyn vanaf die oorsprong. Aangesien radiale beweging die hoek onveranderd laat, dra slegs die kruisradiale komponent van lineêre snelheid by tot die hoeksnelheid.

Die hoeksnelheid ω is die tempo van verandering van die hoekposisie ten opsigte van tyd, wat uit die dwarsradiale snelheid bereken kan word as:

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}.}$

Hier is die kruis-radiale spoed ${\ displaystyle v _ {\ perp}}$ is die getekende grootte van ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}}$, positief vir antikloksgewys, negatief vir kloksgewys. Neem polêre koördinate vir die lineêre snelheid${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ gee omvang ${\ displaystyle v}$ (lineêre spoed) en hoek ${\ displaystyle \ theta}$relatief tot die radiusvektor; in hierdie terme,${\ displaystyle v _ {\ perp} = v \ sin (\ theta)}$, sodat

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}}.}$

Hierdie formules kan afgelei word deur te doen ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (r \ cos (\ varphi), r \ sin (\ varphi))}$, wees ${\ displaystyle r}$ 'n funksie van die afstand tot die oorsprong met betrekking tot tyd, en ${\ displaystyle \ varphi}$'n funksie van die hoek tussen die vektor en die x-as. Dan${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = ({\ dot {r}} \ cos (\ varphi) -r {\ dot {\ varphi}} \ sin (\ varphi), {\ dot {r}} \ sin (\ varphi) + r {\ dot {\ varphi}} \ cos (\ varphi))}$. Wat gelyk is aan${\ displaystyle {\ dot {r}} (\ cos (\ varphi), \ sin (\ varphi)) + r {\ dot {\ varphi}} (- \ sin (\ varphi), \ cos (\ varphi) ) = {\ dot {r}} {\ hat {r}} + r {\ dot {\ varphi}} {\ hat {\ varphi}}}$. (Sien Eenheidsvektor in silindriese koördinate). Weet${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {v}}$, kom ons tot die gevolgtrekking dat die radiale komponent van die snelheid gegee word deur ${\ displaystyle {\ dot {r}}}$, omdat ${\ displaystyle {\ hat {r}}}$is 'n radiale eenheidsvektor; en die loodregte komponent word gegee deur${\ displaystyle r {\ dot {\ varphi}}}$ omdat ${\ displaystyle {\ hat {\ varphi}}}$ is 'n loodregte eenheidsvektor.

In twee dimensies is hoeksnelheid 'n getal met plus- of minteken wat oriëntasie aandui, maar nie in 'n rigting wys nie. Die teken word gewoonlik as positief beskou as die radiusvektor linksom draai, en negatief indien dit kloksgewys draai. Hoeksnelheid kan dan 'n pseudoskalaar genoem word , 'n numeriese hoeveelheid wat teken verander onder 'n pariteitsinversie , soos om die een as om te keer of om die twee as te skakel.

Deeltjie in drie dimensies

Die orbitale hoeksnelheidsvektor kodeer die tydsnelheid van die verandering van die hoekposisie, sowel as die oombliklike vlak van hoekverplasing. In hierdie geval (linksom sirkelbeweging) wys die vektor op.

In die driedimensionele ruimte het ons weer die posisievektor r van 'n bewegende deeltjie. Hier is die orbitale hoeksnelheid 'n pseudovector waarvan die grootte die tempo is waarteen r die hoek uitveeg, en waarvan die rigting loodreg is op die oombliklike vlak waarin r die hoek uitveeg (dws die vlak wat deur r en v gespan word ). Aangesien daar egter twee rigtings loodreg op enige vlak is, is 'n addisionele voorwaarde nodig om die rigting van die hoeksnelheid uniek te spesifiseer; konvensioneel word die regterhandse reël gebruik.

Laat die pseudovector ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$die eenheidsvektor loodreg op die vlak wees wat deur r en v gespan word , sodat die regterhandreël bevredig word (dws die oombliklike rigting van die hoekverplaatsing is linksom en kyk vanaf die top van${\ displaystyle \ mathbf {u}}$). Neem polêre koördinate${\ displaystyle (r, \ phi)}$ in hierdie vlak, soos in die tweedimensionele geval hierbo, kan 'n mens die wentelhoeksnelheidsvektor definieer as:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega \ mathbf {u} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ mathbf {u} = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}} \ mathbf {u},}$

waar θ die hoek tussen r en v is . In terme van die kruisproduk is dit:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}.}$^[4]

Vanuit die vergelyking hierbo kan 'n mens die tangensiële snelheid herwin as:

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}$

Toevoeging van hoeksnelheidsvektore

Skematiese konstruksie vir die toevoeging van hoeksnelheidsvektore vir roterende rame

As 'n punt met 'n wentelhoek van die wentelbaan draai ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$omtrent sy draaipunt in 'n koördinaatraam ${\ displaystyle F_ {1}}$ wat self met 'n draai-hoeksnelheid draai ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ met betrekking tot 'n eksterne raam ${\ displaystyle F_ {2}}$, kan ons definieer ${\ displaystyle \ omega _ {1} + \ omega _ {2}}$ om die saamgestelde baanhoeksnelheidsvektor te wees van die punt rondom sy draaipunt t.o.v. ${\ displaystyle F_ {2}}$. Hierdie bewerking val saam met die gewone byvoeging van vektore en gee hoeksnelheid die algebraïese struktuur van 'n ware vektor , eerder as net 'n pseudo-vektor.

Die enigste nie-ooglopende eienskap van bogenoemde toevoeging is kommutatiwiteit . Dit kan bewys word uit die feit dat die snelheidstensor W (sien hieronder) skeefsimmetries is, sodat${\ displaystyle R = e ^ {W \ cdot dt}}$is 'n rotasiematriks wat uitgebrei kan word as${\ displaystyle R = I + W \ cdot dt + {\ tfrac {1} {2}} (W \ cdot dt) ^ {2} + \ cdots}$. Die samestelling van rotasies is nie kommutatief nie, maar wel${\ displaystyle (I + W_ {1} \ cdot dt) (I + W_ {2} \ cdot dt) = (I + W_ {2} \ cdot dt) (I + W_ {1} \ cdot dt)}$ is kommutatief tot eerste orde, en daarom ${\ displaystyle \ omega _ {1} + \ omega _ {2} = \ omega _ {2} + \ omega _ {1}}$.

Let daarop dat dit ook die aftrekking definieer as die optel van 'n negatiewe vektor.

Gegewe 'n roterende raam van drie eenheidskoördinaatvektore, moet al drie dieselfde hoeksnelheid hê. In so 'n raam kan elke vektor beskou word as 'n bewegende deeltjie met konstante skalêre radius.

Die draaiende raam verskyn in die konteks van starre liggame , en spesiale gereedskap is daarvoor ontwikkel: die draaihoeksnelheid kan beskryf word as 'n vektor of gelykstaande aan 'n tensor .

In ooreenstemming met die algemene definisie word die draai-hoeksnelheid van 'n raam gedefinieër as die wentelhoeksnelheid van een van die drie vektore (dieselfde vir almal) ten opsigte van sy eie rotasiesentrum. Die toevoeging van hoeksnelheidsvektore vir rame word ook gedefinieër deur die gewone vektortoevoeging (samestelling van lineêre bewegings) en kan nuttig wees om die rotasie te ontbind soos in 'n gimbal . Alle komponente van die vektor kan bereken word as afgeleides van die parameters wat die bewegende rame definieer (Euler-hoeke of rotasiematrikse). Soos in die algemeen is toevoeging kommutatief:${\ displaystyle \ omega _ {1} + \ omega _ {2} = \ omega _ {2} + \ omega _ {1}}$.

Volgens die rotasie-stelling van Euler het elke roterende raam 'n oombliklike rotasie-as , wat die rigting van die hoeksnelheidsvektor is, en die grootte van die hoeksnelheid stem ooreen met die tweedimensionele geval.

As ons 'n verwysingspunt kies ${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}}$ vas in die star liggaam, die snelheid ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {r}}}}$ van enige punt in die liggaam word gegee deur

${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {r}}} = {\ dot {\ boldsymbol {R}}} + ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {R}}) \ times {\ boldsymbol { \ omega}}}$

Komponente van die basisvektore van 'n liggaamsvaste raam

Beskou 'n vaste liggaam wat rondom 'n vaste punt O draai. Konstrueer 'n verwysingsraamwerk in die liggaam wat bestaan ​​uit 'n ortonormale stel vektore ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}$ vas aan die liggaam en met hul algemene oorsprong by O. Die hoeksnelheidsvektor van beide raam en liggaam rondom O is dan

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ links ({\ dot {\ mathbf {e}}} _ {1} \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \ regs) \ mathbf {e} _ {3} + \ links ({\ dot {\ mathbf {e}}} _ {2} \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \ regs) \ mathbf {e} _ {1} + \ links ({ \ dot {\ mathbf {e}}} _ {3} \ cdot \ mathbf {e} _ {1} \ right) \ mathbf {e} _ {2},}$

Hier

${\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {i} = {\ frac {d \ mathbf {e} _ {i}} {dt}}}$ is die tydstempo van verandering van die raamvektor ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}, i = 1,2,3,}$ as gevolg van die rotasie.

Let op dat hierdie formule nie met die uitdrukking versoenbaar is nie

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}.}$

aangesien die formule slegs die hoeksnelheid van 'n enkele punt om O definieer , terwyl die formule in hierdie afdeling op 'n raam of 'n vaste liggaam van toepassing is. In die geval van 'n stewige liggaam 'n enkele ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$moet rekening hou met die beweging van alle deeltjies in die liggaam.

Komponente uit Euler-hoeke

Diagram met Euler-raam in groen

Die komponente van die draai-hoeksnelheid-pseudovector is eers bereken deur Leonhard Euler met behulp van sy Euler-hoeke en die gebruik van 'n tussenraam:

• Een as van die verwysingsraamwerk (die presessie-as)
• Die lyn knope van die bewegende raam met betrekking tot die verwysingsraamwerk (voedingsas)
• Een as van die bewegende raam (die intrinsieke rotasie-as)

Euler het bewys dat die projeksies van die pseudovector van die hoeksnelheid op elk van hierdie drie asse die afgeleide is van die gepaardgaande hoek (wat gelykstaande is aan die ontleding van die oombliklike rotasie in drie oombliklike Euler-rotasies ). Daarom: ^[5]

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ dot {\ alpha}} \ mathbf {u} _ {1} + {\ dot {\ beta}} \ mathbf {u} _ {2} + {\ punt {\ gamma}} \ mathbf {u} _ {3}}$

Hierdie basis is nie ortonormaal nie en dit is moeilik om te gebruik, maar nou kan die snelheidsvektor verander word na die vaste raam of na die bewegende raam met net 'n basisverandering. Byvoorbeeld, verander na die mobiele raam:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = ({\ dot {\ alpha}} \ sin \ beta \ sin \ gamma + {\ dot {\ beta}} \ cos \ gamma) {\ hat {\ mathbf { i}}} + ({\ dot {\ alpha}} \ sin \ beta \ cos \ gamma - {\ dot {\ beta}} \ sin \ gamma) {\ hat {\ mathbf {j}}} + ({ \ dot {\ alpha}} \ cos \ beta + {\ dot {\ gamma}}) {\ hat {\ mathbf {k}}}}$

waar ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}, {\ hat {\ mathbf {j}}}, {\ hat {\ mathbf {k}}}}$is eenheidsvektore vir die raam wat in die bewegende liggaam aangebring is. Hierdie voorbeeld is gemaak met behulp van die ZXZ-konvensie vir Euler-hoeke. ^{[ aanhaling nodig ]}

Die hoeksnelheidsvektor ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}$hierbo gedefinieër kan ekwivalent uitgedruk word as 'n hoeksnelheidstensor , die matriks (of lineêre kartering) W = W ( t ) gedefinieer deur:

${\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y } & \ omega _ {x} & 0 \\\ einde {pmatrix}}}$

Dit is 'n infinitesimale rotasie matriks . Die lineêre kartering W tree op as${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times)}$:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}.}$

Berekening vanaf die oriënteringsmatriks

'N Vektor ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ eenvormige sirkelbeweging om 'n vaste as ondergaan, voldoen aan:

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}}$

Gegewe die oriënteringsmatriks A ( t ) van 'n raam waarvan die kolomme die beweegbare ortonormale koördinaatvektore is${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}}$, kan ons die hoeksnelheidstensor W ( t ) soos volg verkry. Die hoeksnelheid moet dieselfde wees vir die drie vektore${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {e} _ {i}}$As ons die drie vektorvergelykings in kolomme van 'n matriks rangskik, het ons:

${\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = W \ cdot A.}$

(Dit geld selfs al draai A ( t ) nie eenvormig nie.) Daarom is die hoeksnelheidstensor:

${\ displaystyle W = {\ frac {dA} {dt}} \ cdot A ^ {- 1} = {\ frac {dA} {dt}} \ cdot A ^ {\ mathrm {T}},}$

sedert die inverse van die ortogonale matriks ${\ displaystyle A}$ is die transponeer daarvan ${\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}}}$.

In die algemeen is die hoeksnelheid in 'n N -dimensional ruimte is die tyd afgeleide van die hoekverplasing tensor, wat 'n tweede rang skeef-simmetriese tensor .

Dit tensor W sal N ( N -1) / 2 onafhanklike komponente, wat is die dimensie van die gemeenskap algebra van die gemeenskap groep van rotasies van 'n N -dimensional inwendige produkruimtes ruimte. ^[6]

Dualiteit ten opsigte van die snelheidsvektor

In drie dimensies kan die hoeksnelheid deur 'n pseudovector voorgestel word, want tweedegrade-tensors is dubbel as pseudovectors in drie dimensies. Aangesien die hoeksnelheidstensor W = W ( t ) 'n skewe-simmetriese matriks is :

${\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y } & \ omega _ {x} & 0 \\\ einde {pmatrix}},}$

sy Hodge dual is 'n vektor, wat presies die vorige hoeksnelheidsvektor is${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = [\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z}]}$.

Eksponensiaal van W

As ons 'n aanvanklike raam A (0) ken en 'n konstante hoeksnelheidstensor W kry , kan ons A ( t ) vir elke t kry . Onthou die matriksdifferensiaalvergelyking:

${\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = W \ cdot A.}$

Hierdie vergelyking kan geïntegreer word om die volgende te gee:

${\ displaystyle A (t) = e ^ {Wt} A (0),}$

wat 'n verband met die Lie-groep van rotasies toon.

W is skeefsimmetries

Ons bewys dat die hoeksnelheidstensor simmetries is , dws${\ displaystyle W = {\ frac {dA (t)} {dt}} \ cdot A ^ {\ text {T}}}$ bevredig ${\ displaystyle W ^ {\ text {T}} = - W}$.

'N Rotasiematriks A is ortogonaal, omgekeerd van die transponering, so het ons${\ displaystyle I = A \ cdot A ^ {\ text {T}}}$. Vir${\ displaystyle A = A (t)}$ 'n raammatriks, wat die tyd afgelei het van die vergelyking gee:

${\ displaystyle 0 = {\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} + A {\ frac {dA ^ {\ text {T}}} {dt}}}$

Die toepassing van die formule ${\ displaystyle (AB) ^ {\ text {T}} = B ^ {\ text {T}} A ^ {\ text {T}}}$,

${\ displaystyle 0 = {\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} + \ left ({\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} \ right) ^ {\ text {T}} = W + W ^ {\ text {T}}}$

So, W is die negatiewe van sy getransponeerde, wat impliseer dit skeef simmetriese.

Koördinaatvrye beskrywing

Op enige oomblik ${\ displaystyle t}$, stel die hoeksnelheidstensor 'n lineêre kaart voor tussen die posisievektor ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t)}$ en die snelheidsvektore ${\ displaystyle \ mathbf {v} (t)}$ van 'n punt op 'n vaste liggaam wat om die oorsprong draai:

${\ displaystyle \ mathbf {v} = W \ mathbf {r}.}$

Die verband tussen hierdie lineêre kaart en die pseudovector van die hoeksnelheid ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ is die volgende.

Omdat W die afgeleide van 'n ortogonale transformasie is , is die bilineêre vorm

${\ displaystyle B (\ mathbf {r}, \ mathbf {s}) = (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s}}$

is skeef-simmetries . Sodoende kan ons die feit van buite-algebra toepas dat daar 'n unieke lineêre vorm is ${\ displaystyle L}$ aan ${\ displaystyle \ Lambda ^ {2} V}$ daardie

${\ displaystyle L (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = B (\ mathbf {r}, \ mathbf {s})}$

waar ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s} \ in \ Lambda ^ {2} V}$is die buiteproduk van${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ en ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$.

Neem die skerp L ^♯ van L wat ons kry

${\ displaystyle (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = L ^ {\ sharp} \ cdot (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s})}$

Bekendstelling ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}: = {\ ster} (L ^ {\ skerp})}$, as die Hodge-dubbele van L ^♯ , en die definisie van die Hodge-dubbele twee keer ^toepas , met die veronderstelling dat die voorkeur-eenheid 3-vektor is${\ displaystyle \ ster 1}$

${\ displaystyle (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = {\ star} ({\ star} (L ^ {\ sharp}) \ wig \ mathbf {r} \ wig \ mathbf {s} ) = {\ ster} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wig \ mathbf {r} \ wig \ mathbf {s}) = {\ ster} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wig \ mathbf {r }) \ cdot \ mathbf {s} = ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s},}$

waar

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}: = {\ star} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge \ mathbf {r})}$

by definisie.

Omdat ${\ displaystyle \ mathbf {s}}$is 'n arbitrêre vektor, van nondegeneracy van skalaarproduk volg

${\ displaystyle W \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}}$

Hoeksnelheid as vektorveld

Aangesien die draai-hoeksnelheidstensor van 'n rigiede liggaam (in sy rusraam) 'n lineêre transformasie is wat posisies toewys aan snelhede (binne die rigiede liggaam), kan dit as 'n konstante vektorveld beskou word . In die besonder is die draaihoeksnelheid 'n doodsvektorveld wat behoort tot 'n element van die Lie algebra SO (3) van die driedimensionele rotasiegroep SO (3) .

Daar kan ook aangetoon word dat die draaihoeksnelheidsvektorveld presies die helfte van die krul van die lineêre snelheidsvektorveld v ( r ) van die rigiede liggaam is. In simbole,

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla \ times \ mathbf {v}}$

Posisie van punt P in die vaste liggaam (in blou getoon). R _i is die posisie ten opsigte van die laboratoriumraam, gesentreer op O en r _i is die posisie ten opsigte van die stewige liggaamsraam, gesentreer op O ' . Die oorsprong van die rigiede liggaamsraam is in die posisie R vanaf die laboratoriumraam.

Dieselfde vergelykings vir die hoeksnelheid kan verkry word, met redenasies oor 'n draaiende vaste liggaam . Hier word nie aanvaar dat die starre liggaam om die oorsprong draai nie. In plaas daarvan kan dit veronderstel word om te draai om 'n willekeurige punt wat met 'n lineêre snelheid V ( t ) in elke oomblik beweeg.

Om die vergelykings te verkry, is dit gerieflik om 'n rigiede liggaam voor te stel wat aan die raamwerke geheg is en 'n koördinaatstelsel te beskou wat vasgestel is ten opsigte van die rigiede liggaam. Dan sal ons die koördinaattransformasies tussen hierdie koördinaat en die vaste "laboratorium" -stelsel bestudeer.

Soos getoon in die figuur aan die regterkant, oorsprong se die laboratorium stelsel is by punt O , die starre liggaam stelsel oorsprong is by O ' en die vektor van O tot O ' is R . 'N Deeltjie ( i ) in die vaste liggaam is geleë by punt P en die vektorposisie van hierdie deeltjie is R _i in die laboratoriumraam, en by posisie r _i in die liggaamsraam. Daar word gesien dat die posisie van die deeltjie geskryf kan word:

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _ {i}}$

Die bepalende kenmerk van 'n stywe liggaam is dat die afstand tussen enige twee punte in 'n stywe liggaam onveranderd in tyd is. Dit beteken dat die lengte van die vektor${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$is onveranderlik. Deur die rotasie-stelling van Euler kan ons die vektor vervang${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ met ${\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}}$ waar ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$is 'n 3 × 3 rotasiematriks en${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {io}}$is die posisie van die deeltjie op 'n vaste punt in die tyd, sê t = 0 . Hierdie vervanging is nuttig, want dit is nou net die rotasiematriks${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$ dit verander in tyd en nie die verwysingsvektor nie ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {io}}$, terwyl die rigiede liggaam om punt O ′ draai . Aangesien die drie kolomme van die rotasiematriks die drie versors van 'n verwysingsraam wat saam met die vaste liggaam draai, voorstel, word elke rotasie om enige as nou sigbaar, terwyl die vektor${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$sou nie draai as die rotasie-as parallel daaraan was nie, en daarom sou dit slegs 'n rotasie om 'n as loodreg daarop beskryf (dws dit sou nie die komponent van die pseudovector met die hoeksnelheid parallel sien nie, en sou slegs die berekening toelaat van die komponent loodreg daarop). Die posisie van die deeltjie word nou geskryf as:

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {R} + {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}}$

Die neem van die tyd afgeleide lewer die snelheid van die deeltjie:

${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} \ mathbf {r} _ {io}}$

waar V _i die snelheid van die deeltjie is (in die laboratoriumraamwerk) en V die snelheid van O ' (die oorsprong van die rigiede liggaamsraamwerk). Sedert${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$is 'n rotasiematriks, sy omgekeerde is sy transponeer. Ons vervang dus${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T}} {\ mathcal {R}}}$:

${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {I}} \ mathbf {r} _ { io}}$

${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T} } {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}}$

${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T} } \ mathbf {r} _ {i}}$

of

${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + W \ mathbf {r} _ {i}}$

waar ${\ displaystyle W = {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T}}}$is die vorige hoeksnelheidstensor .

Daar kan bewys word dat dit 'n skewe simmetriese matriks is , sodat ons die dubbele kan neem om 'n driedimensionele pseudovector te kry wat presies die vorige hoeksnelheidsvektor is${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = [\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z}]}$

Vervang ω vir W in bogenoemde snelheidsuitdrukking en vervang matriksvermenigvuldiging met 'n ekwivalente kruisproduk:

${\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {i}}$

Daar kan gesien word dat die snelheid van 'n punt in 'n star liggaam in twee terme verdeel kan word - die snelheid van 'n verwysingspunt wat in die vaste liggaam vasgestel is plus die kruisprodukterm wat die wentelhoeksnelheid van die deeltjie met betrekking tot die verwysing behels. punt. Hierdie hoeksnelheid is wat fisici noem die "spin hoeksnelheid" van die starre liggaam, in teenstelling met die orbitaal hoeksnelheid van die verwysingspunt O ' oor die oorsprong O .

Konsekwentheid

Ons het veronderstel dat die vaste liggaam om 'n arbitrêre punt draai. Ons moet bewys dat die vroeëre gedefinieerde hoeksnelheid van die draai onafhanklik is van die keuse van oorsprong, wat beteken dat die draai-hoeksnelheid 'n intrinsieke eienskap van die draai-rigiede liggaam is. (Let op die gemerkte kontras van hierdie met die orbitaal hoeksnelheid van 'n punt deeltjie, wat beslis nie afhanklik van die keuse van oorsprong.)

Bewys die onafhanklikheid van die draai-hoeksnelheid van die keuse van oorsprong

Sien die grafiek hiernaas: Die oorsprong van die laboratoriumraam is O , terwyl O ₁ en O ₂ twee vaste punte op die vaste liggaam is, waarvan die snelheid${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$ en ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$onderskeidelik. Gestel die hoeksnelheid ten opsigte van O ₁ en O ₂ is${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1}}$ en ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2}}$onderskeidelik. Aangesien punt P en O ₂ slegs een snelheid het,

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times \ mathbf {r} _ {1} = \ mathbf {v} _ {2} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2} \ times \ mathbf {r} _ {2}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} _ {1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times \ mathbf {r} = \ mathbf {v} _ { 1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2})}$

Die bogenoemde twee lewer dit op

${\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ omega}} _ {2} - {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1}) \ times \ mathbf {r} _ {2} = 0}$

Sedert die punt P (en dus${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}}$) arbitrêr is, volg dit

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} = {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2}}$

As die verwysingspunt die oombliklike rotasie-as is, het die uitdrukking van die snelheid van 'n punt in die vaste liggaam net die hoek-snelheidsterm. Dit is omdat die snelheid van die oombliklike rotasie-as nul is. 'N Voorbeeld van die oombliklike rotasie-as is die skarnier van 'n deur. Nog 'n voorbeeld is die raakpunt van 'n suiwer, bolvormige (of meer algemene, konvekse) vaste liggaam.

• Hoeksnelheid
• Hoekfrekwensie
• Hoek momentum
• Oppervlakkige snelheid
• Isometrie
• Ortogonale groep
• Vaste liggaamsdinamika
• Vorticiteit

• Symon, Keith (1971). Meganika . Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1997). Meganika . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.

• 'N Fisika-handboek vir fisika deur Arthur Lalanne Kimball ( Hoeksnelheid van 'n deeltjie )
• Pickering, Steve (2009). "ω Rotasiesnelheid [hoeksnelheid]" . Sestig simbole . Brady Haran vir die Universiteit van Nottingham .