Analitisiteit van holomorfiese funksies

In komplekse analise , 'n kompleks -gewaardeerde funksie van 'n komplekse veranderlike :${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$

Een van die belangrikste stellings van komplekse analise is dat holomorfiese funksies analities is en omgekeerd . Onder die gevolge van hierdie stelling is

Die argument, wat eers deur Cauchy gegee is, hang af van Cauchy se integrale formule en die magreeksuitbreiding van die uitdrukking

Laat 'n oop skyf wees gesentreer op en veronderstel is oral differensieerbaar binne 'n oop omgewing wat die sluiting van bevat . Laat wees die positief georiënteerde (dws antikloksgewys) sirkel wat die grens is van en laat 'n punt in wees . Begin met Cauchy se integrale formule, ons het${\displaystyle D}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle z}$${\displaystyle D}$

Verwisseling van die integraal en oneindige som word geregverdig deur waarneming wat begrens word deur een of ander positiewe getal , terwyl vir almal in${\displaystyle f(w)/(w-a)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle M}$${\displaystyle w}$${\displaystyle C}$

vir sommige positiewe ook. Ons het dus${\displaystyle r}$