Algebraïese meetkunde

Nulle van gelyktydige polinome

Sfeer en skuins sirkel

In klassieke algebraïese meetkunde is die belangrikste voorwerpe van belang die verdwynende versamelings van polinome , wat beteken die versameling van alle punte wat tegelykertyd aan een of meer polinoomvergelykings voldoen . Byvoorbeeld, die twee-dimensionele sfeer met radius 1 in drie-dimensionele Euklidiese ruimte R ³ kan gedefinieer word as die versameling van alle punte ( x , y , z ) met

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0. \,}$

A "skuins" sirkel in R ³ kan gedefinieer word as die versameling van alle punte ( x , y , z ) wat die twee polinoomvergelykings bevredig

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -1 = 0, \,}$

${\ displaystyle x + y + z = 0. \,}$

Affine variëteite

Eerstens begin ons met 'n veld k . In klassieke algebraïese meetkunde, hierdie veld is altyd die komplekse getalle C , maar baie van die dieselfde resultate waar as ons net aanvaar dat k is algebraïes gesluit . Ons beskou die affine ruimte van dimensie n oor k , aangedui A ⁿ ( k ) (of eenvoudiger A ⁿ , as k duidelik uit die konteks is). Wanneer 'n mens fixes 'n assestelsel, kan een identifiseer A ^N ( k ) met k ^N . Die doel om nie met k ^{n te werk nie,} is om te beklemtoon dat 'n mens die vektorruimte-struktuur wat k ⁿ dra, "vergeet" .

'N Funksie f  : A ^N → A ¹ word gesê dat polinoom (of gereelde ) indien dit geskryf kan word as 'n polinoom, dit is, as daar 'n polinoom p in k [ x ₁ , ..., x _N ] soos dat f ( M ) = p ( t ₁ , ..., t _n ) vir elke punt M met koördinate ( t ₁ , ..., t _n ) in A ⁿ . Die eienskap van 'n funksie om polinoom (of reëlmatig) te wees, hang nie af van die keuse van 'n koördinaatstelsel in A ^{n nie} .

Wanneer 'n koördinaatstelsel gekies word, kan die reëlmatige funksies op die affine n -ruimte geïdentifiseer word met die ring van polinoomfunksies in n veranderlikes oor k . Daarom is die stel van die gereelde funksies op 'n ^N is 'n ring, wat aangedui k [ A ^N ].

Ons sê dat 'n polinoom op 'n punt verdwyn as dit op daardie stadium geëvalueer word. Laat S 'n stel polinome in k [ A ⁿ ] wees. Die verdwyning stel S (of verdwyn lokus of nul stel ) is die stel V ( S ) van al die punte in 'n ^N waar elke polinoom in S verdwyn. Simbolies,

${\ displaystyle V (S) = \ {(t_ {1}, \ dots, t_ {n}) \ mid p (t_ {1}, \ dots, t_ {n}) = 0 {\ text {for all} } p \ in S \}. \,}$

'N subset van A ^N wat V ( S ), vir 'n paar S , staan bekend as 'n algebraïese stel . Die V staan ​​vir verskeidenheid ('n spesifieke soort algebraïese versameling wat hieronder gedefinieër moet word).

Gegewe 'n deelversameling U van A ⁿ , kan 'n mens die stel polinome herstel wat dit genereer? As U is enige subset van 'n ^N , definieer ek ( U ) om die versameling van alle polinome wie se verdwyning stel bevat wees U . Die I staan ​​vir ideaal : as twee polinome f en g albei op U verdwyn , dan verdwyn f + g op U , en as h enige polinome is, dan verdwyn hf op U , dus is ek ( U ) altyd 'n ideaal van die polinoom ring k [ A ⁿ ].

Twee natuurlike vrae om te vra is:

• Gegee 'n deelversameling U van A ⁿ , wanneer is U = V ( I ( U ))?
• Gegee 'n versameling S polinome, wanneer is S = I ( V ( S ))?

Die antwoord op die eerste vraag is voorsien deur die instelling van die Zariski topologie , 'n topologie op 'n ^N wie se geslote versamelings is die algebraïese stelle, en wat direk weerspieël die algebraïese struktuur van k [ A ^N ]. Dan is U = V ( I ( U )) as en net as U 'n algebraïese versameling is of gelykstaande aan 'n Zariski-geslote versameling. Die antwoord op die tweede vraag word deur Hilbert se Nullstellensatz gegee . In een van sy vorms staan ​​daar dat I ( V ( S )) die radikale is van die ideaal wat deur S gegenereer word . In meer abstrakte taal is daar 'n Galois-verband wat aanleiding gee tot twee sluitingsoperateurs ; hulle kan geïdentifiseer word en speel natuurlik 'n basiese rol in die teorie; die voorbeeld word uitgebrei by Galois-verbinding.

Om verskillende redes wil ons dalk nie altyd met die hele ideaal werk wat ooreenstem met 'n algebraïese versameling U nie . Basis Hilbert se stelling impliseer dat ideale in k [ A ^N ] is altyd eindig gegenereer.

'N Algebraïese versameling word onherleibaar genoem as dit nie as die vereniging van twee kleiner algebraïese versameling geskryf kan word nie. Enige algebraïese versameling is 'n eindige vereniging van onherleibare algebraïese versamelings en hierdie ontbinding is uniek. Die elemente daarvan word dus die onherleibare komponente van die algebraïese versameling genoem. 'N Onherleibare algebraïese versameling word ook 'n variëteit genoem . Dit blyk dat 'n algebraïese stel is 'n verskeidenheid as en slegs as dit kan gedefinieer word as die verdwyning stel 'n prima ideale van die polinoom ring.

Sommige outeurs maak nie 'n duidelike onderskeid tussen algebraïese versamelings en variëteite nie en gebruik onherleibare variëteit om die onderskeid te tref indien nodig.

Gereelde funksies

Net soos deurlopende funksies die natuurlike kaarte in topologiese ruimtes is en gladde funksies die natuurlike kaarte op verskillende spruitstukke is , is daar 'n natuurlike klas funksies op 'n algebraïese versameling, genaamd gewone funksies of polinoomfunksies . 'N Reëlmatige funksie op 'n algebraïese versameling V vervat in A ⁿ is die beperking tot V van 'n gewone funksie op A ⁿ . Vir 'n algebraïese versameling wat gedefinieër word op die veld van die komplekse getalle, is die gereelde funksies glad en selfs analities .

Dit mag onnatuurlik beperkend lyk om te vereis dat 'n reëlmatige funksie altyd na die omringende ruimte strek, maar dit is baie soortgelyk aan die situasie in 'n normale topologiese ruimte , waar die Tietze-uitbreidingsstelling waarborg dat 'n deurlopende funksie op 'n geslote onderstel altyd tot by die omringende topologiese ruimte.

Net soos met die gewone funksies op affine ruimte, vorm die gewone funksies op V 'n ring wat ons met k [ V ] aandui. Hierdie ring word die koördinaatring van V genoem .

Aangesien gereelde funksies op V afkomstig is van gereelde funksies op A ⁿ , is daar 'n verband tussen die koördinaatringe. Spesifiek, as 'n reëlmatige funksie op V die beperking van twee funksies f en g in k [ A ⁿ ] is, dan is f  -  g 'n polinoomfunksie wat nul is op V en dus tot I ( V ) behoort. Dus kan k [ V ] geïdentifiseer word met k [ A ⁿ ] / I ( V ).

Morfisme van affine variëteite

Deur gewone funksies van 'n affine variëteit tot A ^{1 te gebruik} , kan ons gewone kaarte definieer van een affine variëteit na 'n ander. Eerstens sal ons 'n gereelde kaart van 'n variëteit in affine ruimte definieer: Laat V 'n variëteit wees in A ⁿ . Kies m gewone funksies op V , en noem dit f ₁ , ..., f _m . Ons definieer 'n gewone kaart f van V tot A ^m deur f = ( f ₁ , ..., f _m ) te laat . Met ander woorde, elke f _i bepaal een koördinaat van die omvang van f .

As V ''n variëteit is wat in A ^m vervat is , sê ons dat f 'n gereelde kaart is van V tot V ' as die omvang van f in V 'is.

Die definisie van die gewone kaarte is ook van toepassing op algebraïese versamelings. Die gewone kaarte word ook morfismes genoem , aangesien dit die versameling van alle affine algebraïese versamelings in 'n kategorie maak , waar die voorwerpe die affine algebraïese versamelings is en die morfismes die gewone kaarte is. Die affine variëteite is 'n subkategorie van die kategorie van algebraïese versamelings.

Gegee 'n gereelde kaart g van V tot V 'en 'n reëlmatige funksie f van k [ V '], dan f ∘ g ∈ k [ V ] . Die kaart f → f ∘ g is 'n ringhomomorfisme van k [ V ′] tot k [ V ]. Omgekeerd definieer elke ringhomomorfisme van k [ V ′] tot k [ V ] 'n gereelde kaart van V na V ′. Dit definieer 'n ekwivalensie van kategorieë tussen die kategorie van algebraïese stelle en die teenoorgestelde kategorie van die eindige gegenereer verminder k -algebras. Hierdie ekwivalensie is een van die vertrekpunte van die skema-teorie .

Rasionale funksie en birasionele ekwivalensie

In teenstelling met die voorafgaande gedeeltes, het hierdie afdeling slegs betrekking op variëteite en nie op algebraïese versamelings nie. Aan die ander kant strek die definisies van nature na projekterende variëteite (volgende afdeling), aangesien 'n affine variëteit en die projekterende voltooiing daarvan dieselfde funksieveld het.

As V 'n affine variëteit is, is die koördinaatring 'n integrale domein en het dit dus 'n veld van breuke wat aangedui word as k ( V ) en die veld van die rasionale funksies op V of, kort, die funksieveld van V genoem word . Die elemente daarvan is die beperkings tot V van die rasionele funksies oor die affine ruimte wat V bevat . Die domein van 'n rasionale funksie f is nie V nie, maar die aanvulling van die subvariëteit ('n hipervlak) waar die noemer van f verdwyn.

Soos met gewone kaarte, kan 'n mens 'n rasionele kaart definieer van 'n variëteit V tot 'n variëteit V '. Soos met die gewone kaarte, kan die rasionale kaarte van V tot V 'geïdentifiseer word aan die veldhomomorfismes van k ( V ') tot k ( V ).

Twee affiene rasse is birationally ekwivalent indien daar twee rasionale funksies tussen die wat omgekeerde een na die ander in die streke waar beide gedefinieer. Ekwivalent is dit gelykstaande aan birasionaal as hul funksievelde isomorf is.

'N Affiene variëteit is 'n rasionele variëteit as dit birasionaal gelykstaande is aan 'n affine ruimte. Dit beteken dat die variëteit 'n rasionele parameterisering erken , dit is 'n parametrisering met rasionale funksies . Byvoorbeeld die sirkel van vergelyking${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$is 'n rasionale kurwe, aangesien dit die parametriese vergelyking het

${\ displaystyle x = {\ frac {2 \, t} {1 + t ^ {2}}}}$

${\ displaystyle y = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \ ,,}$

wat ook as 'n rasionele kaart van die lyn na die sirkel gesien kan word.

Die probleem van die oplos van singulariteite is om te weet of elke algebraïese variëteit birasionaal gelykstaande is aan 'n variëteit waarvan die projeksiewe voltooiing nie- enkelvoudig is (sien ook gladde voltooiing ). Dit is bevestigend in karakteristiek 0 deur Heisuke Hironaka in 1964 opgelos en is nog nie opgelos in eindige eienskap nie.

Projektiewe verskeidenheid

Parabool ( y = x ² , rooi) en kubieke ( y = x ³ , blou) in projektiewe ruimte

Net soos die formules vir die wortels van tweede, derde en vierde graad polinome voorstel om reële getalle uit te brei na die meer algebraïese volledige instelling van die komplekse getalle, dui baie eienskappe van algebraïese variëteite aan om die affinêre ruimte uit te brei na 'n meer geometries volledige projeksieruimte. Terwyl die komplekse getalle verkry word deur die getal i , 'n wortel van die polinoom x ² + 1 , bymekaar te tel , word die projeksieruimte verkry deur gepaste punte "by oneindigheid" by te voeg, waar parallelle lyne mekaar kan ontmoet.

Kyk na die variëteit V ( y - x ² ) om te sien hoe dit kan ontstaan . As ons dit teken, kry ons 'n parabool . As x na positiewe oneindigheid gaan, gaan die helling van die lyn vanaf die oorsprong na die punt ( x ,  x ² ) ook na positiewe oneindigheid. Soos x na negatiewe oneindigheid gaan, gaan die helling van dieselfde lyn na negatiewe oneindigheid.

Vergelyk dit met die variëteit V ( y  -  x ³ ). Dit is 'n kubieke kurwe . Soos x na positiewe oneindigheid gaan, gaan die helling van die lyn vanaf die oorsprong na die punt ( x ,  x ³ ) net soos voorheen na positiewe oneindigheid. Maar anders as voorheen, as x na negatiewe oneindigheid gaan, gaan die helling van dieselfde lyn ook na positiewe oneindigheid; presies die teenoorgestelde van die parabool. Die gedrag "by oneindigheid" van V ( y  -  x ³ ) verskil dus van die gedrag "by oneindigheid" van V ( y  -  x ² ).

Die oorweging van die projekterende voltooiing van die twee krommes, dit is die verlenging daarvan "in die oneindigheid" in die projektiewe vlak , laat ons toe om hierdie verskil te kwantifiseer: die punt by oneindigheid van die parabool is 'n gereelde punt , waarvan die raaklyn die lyn by oneindigheid is , terwyl die punt by oneindigheid van die kubieke kromme 'n punt is . Beide krommes is ook rasioneel, aangesien hulle deur x geparametreer word , en die stelling van Riemann-Roch impliseer dat die kubieke kromme 'n enkelvoud moet hê wat oneindig moet wees, aangesien al sy punte in die affine ruimte reëlmatig is.

Dus is baie van die eienskappe van algebraïese variëteite, insluitend biratiese ekwivalensie en al die topologiese eienskappe, afhanklik van die gedrag "in die oneindigheid", en daarom is dit natuurlik om die variëteite in die projektiewe ruimte te bestudeer. Verder het die bekendstelling van projektiewe tegnieke baie stellings in algebraïese meetkunde eenvoudiger en skerper gemaak: Bézout se stelling oor die aantal snypunte tussen twee variëteite kan in sy skerpste vorm slegs in die projektiewe ruimte gestel word. Om hierdie redes speel projeksieruimte 'n fundamentele rol in algebraïese meetkunde.

Deesdae word die projektiewe ruimte P ⁿ van dimensie n gewoonlik gedefinieër as die versameling van die lyne wat deur 'n punt gaan, beskou as die oorsprong, in die affine ruimte van dimensie n + 1 , of gelykstaande aan die versameling van die vektorlyne in 'n vektorruimte van dimensie n + 1 . Wanneer 'n koördinaatstelsel gekies is in die ruimte van dimensie n + 1 , het al die punte van 'n lyn dieselfde stel koördinate, tot die vermenigvuldiging met 'n element van k . Dit definieer die homogene koördinate van 'n punt van P ⁿ as 'n reeks van n + 1 elemente van die basisveld k , gedefinieër tot die vermenigvuldiging met 'n non-element van k (dieselfde vir die hele ry).

'N Polinoom in n + 1 veranderlikes verdwyn op alle punte van 'n lyn wat deur die oorsprong gaan as en net as dit homogeen is . In hierdie geval sê 'n mens dat die polinoom op die ooreenstemmende punt van P ⁿ verdwyn . Dit stel ons in staat om 'n projektiewe algebraïese versameling in P ⁿ te definieer as die versameling V ( f ₁ , ..., f _k ) , waar 'n eindige versameling homogene polinome { f ₁ , ..., f _k } verdwyn. Soos met affine algebraïese versamelings, is daar 'n verband tussen die projekterende algebraïese versamelings en die verminderde homogene ideale wat dit definieer. Die projektiewe variëteite is die projekterende algebraïese versamelings waarvan die ideale ideaal is. Met ander woorde, 'n projektiewe variëteit is 'n projektiewe algebraïese versameling, waarvan die homogene koördinaatring 'n integrale domein is , en die projektiewe koördinaatring word gedefinieer as die kwosiënt van die gegradeerde ring of die polinome in n + 1 veranderlikes deur die homogene (verminderde) ideaal die variëteit te definieer. Elke projektiewe algebraïese versameling kan uniek ontbind word tot 'n eindige vereniging van projekterende variëteite.

Die enigste gereelde funksies wat op 'n projektiewe variëteit behoorlik gedefinieer kan word, is die konstante funksies. Hierdie begrip word dus nie in projektiewe situasies gebruik nie. Aan die ander kant is die veld van die rasionele funksies of funksieveld 'n nuttige begrip, wat, net soos die affine, gedefinieer word as die versameling van die kwosiënte van twee homogene elemente van dieselfde graad in die homogene koördinaatring.

Werklike algebraïese meetkunde is die studie van die werklike punte van algebraïese variëteite.

Die feit dat die veld van die reële getalle 'n geordende veld is, kan nie in so 'n studie geïgnoreer word nie. Byvoorbeeld, die kromme van vergelyking${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -a = 0}$ is 'n sirkel as ${\ displaystyle a> 0}$, maar het geen werklike punt as ${\ displaystyle a <0}$. Hieruit volg dat werklike algebraïese meetkunde nie net die bestudering van die regte algebraïese variëteite is nie, maar veralgemeen is tot die bestudering van die semi-algebraïese versamelings , wat die oplossings is vir stelsels van polinoomvergelykings en polinoomongelykhede. Byvoorbeeld, 'n tak van die hiperbool van vergelyking${\ displaystyle xy-1 = 0}$ is nie 'n algebraïese variëteit nie, maar wel 'n semi-algebraïese versameling wat deur ${\ displaystyle xy-1 = 0}$ en ${\ displaystyle x> 0}$ of deur ${\ displaystyle xy-1 = 0}$ en ${\ displaystyle x + y> 0}$.

Een van die uitdagende probleme van ware algebraïese meetkunde is die onopgeloste Hilbert se sestiende probleem : Besluit watter onderskeie posisies vir die ovale van 'n nonsingular moontlik is vliegtuig kurwe van graad 8.

'N Mens kan die oorsprong van berekeningsalgebraïese meetkunde dateer tot die vergadering van EUROSAM'79 (Internasionale simposium oor simboliese en algebraïese manipulasie) wat in Junie 1979 in Marseille , Frankryk gehou is.

• Dennis S. Arnon het getoon dat die silindriese algebraïese ontbinding (CAD) van George E. Collins die topologie van semi-algebraïese versamelings bereken,
• Bruno Buchberger het die Gröbner-basisse en sy algoritme aangebied om dit te bereken,
• Daniel Lazard het 'n nuwe algoritme aangebied vir die oplossing van stelsels van homogene polinoomvergelykings met 'n kompleksiteit in berekening wat in wese polinoom is in die verwagte aantal oplossings en dus bloot eksponensieel in die aantal onbekendes. Hierdie algoritme hou sterk verband met Macaulay se multivariate resultant .

Sedertdien hou die meeste resultate op hierdie gebied verband met een of meer van hierdie items, deur een van hierdie algoritmes te gebruik of te verbeter, of deur algoritmes te vind waarvan die kompleksiteit bloot eksponensieel is in die aantal veranderlikes.

'N Versameling wiskundige teorie wat aanvullend is tot simboliese metodes wat numeriese algebraïese meetkunde genoem word , is gedurende die afgelope dekades ontwikkel. Die belangrikste berekeningsmetode is die voortsetting van homotopie . Dit ondersteun byvoorbeeld 'n model van drywingspuntberekening om probleme van algebraïese meetkunde op te los.

Gröbner basis

A Gröbner basis is 'n stelsel van kragopwekkers van 'n polinoom ideale wie berekening kan die aftrekking van baie eienskappe van die affiene algebraïese verskeidenheid gedefinieer deur die ideaal.

Gegewe 'n ideaal , definieer ek 'n algebraïese versameling V :

• V is leeg (oor 'n algebraïese geslote uitbreiding van die basisveld), al is dit net as die Gröbner-basis vir enige monomêre ordening verminder word tot {1}.
• Deur middel van die Hilbert-reeks 'n mens kan die bereken dimensie en die graad van V van enige Gröbner basis van ek vir 'n eenterm bestel verfyn die totale graad.
• As die dimensie van V 0 is, kan 'n mens die punte (eindig in aantal) van V bereken vanaf enige Gröbner-basis van I (sien Stelsels van polinoomvergelykings ).
• Met 'n Gröbner-basisberekening kan 'n mens alle onherleibare komponente wat in 'n gegewe hipervlak bevat, uit V verwyder .
• A Gröbner basis berekening mens toelaat om die Zariski sluiting van die beeld van bereken V deur die projeksie op die k eerste koördinate, en die subset van die beeld waar die projeksie is nie behoorlike.
• Meer in die algemeen kan die Gröbner-berekening die Zariski-sluiting van die beeld en die kritieke punte van 'n rasionele funksie van V in 'n ander affine variëteit bereken.

Met Gröbner-basisberekeninge kan 'n mens nie die primêre ontbinding van I bereken nie, en ook nie die hoofideale wat die onherleibare komponente van V definieer nie , maar die meeste algoritmes hiervoor behels die berekening van Gröbner-basis. Die algoritmes wat nie op Gröbner-basisse gebaseer is nie, gebruik gewone kettings, maar in sommige uitsonderlike situasies is dit moontlik dat Gröbner-basisse nodig is.

Gröbner-basisse word as moeilik berekenbaar beskou. In werklikheid kan dit in die ergste geval polinome bevat waarvan die mate dubbeld eksponensiaal is in die aantal veranderlikes en 'n aantal polinome wat ook dubbel eksponensiaal is. Dit is egter net die ergste geval, en die kompleksiteit van Lazard se algoritme van 1979 is dikwels van toepassing. Faugère F5 algoritme besef hierdie kompleksiteit, aangesien dit beskou kan word as 'n verbetering van Lazard se algoritme uit 1979. Hieruit volg dat die beste implementasies 'n mens byna gereeld met algebraïese graadstelle van meer as 100 kan bereken. Dit beteken dat die moeilikheid om 'n Gröbner-basis te bereken tans sterk verband hou met die intrinsieke probleem van die probleem.

Silindriese algebraïese ontbinding (CAD)

CAD is 'n algoritme wat in 1973 deur G. Collins bekendgestel is om die stelling Tarski – Seidenberg met 'n aanvaarbare kompleksiteit oor die kwantifiseringseliminasie oor die reële getalle te implementeer .

Hierdie stelling handel oor die formules van die eerste-orde-logika waarvan die atoomformules polinoom-gelykhede of ongelykhede tussen polinoom met werklike koëffisiënte is. Hierdie formules is dus die formules wat saamgestel kan word uit die atoomformules deur die logiese operatore en (∧), of (∨), nie (¬) nie, vir almal (∀) en bestaan (∃). Tarski se stelling beweer dat, uit so 'n formule, 'n ekwivalente formule sonder kwantifiseerder (ifier, ∃) kan bereken word.

Die kompleksiteit van CAD is dubbel eksponensiaal in die aantal veranderlikes. Dit beteken dat CAD in die teorie elke probleem van regte algebraïese meetkunde kan oplos wat deur so 'n formule tot uitdrukking kan kom, dit is byna elke probleem met betrekking tot eksplisiet gegewe variëteite en semi-algebraïese versamelings.

Terwyl die berekening van Gröbner-basis slegs in seldsame gevalle dubbeld eksponensiële kompleksiteit het, het CAD byna altyd hierdie hoë kompleksiteit. Dit impliseer dat, tensy die meeste polinome wat in die invoer voorkom lineêr is, dit dalk nie probleme met meer as vier veranderlikes kan oplos nie.

Sedert 1973 is die meeste navorsing oor hierdie onderwerp gewy aan die verbetering van CAD of om alternatiewe algoritmes te vind in spesiale gevalle van algemene belang.

As voorbeeld van die moderne kuns is daar doeltreffende algoritmes om ten minste 'n punt in elke gekoppelde komponent van 'n semi-algebraïese versameling te vind, en om sodoende te toets of 'n semi-algebraïese versameling leeg is. Aan die ander kant is CAD in die praktyk nog steeds die beste algoritme om die aantal gekoppelde komponente te tel.

Asimptotiese kompleksiteit teenoor praktiese doeltreffendheid

Die basiese algemene algoritmes van berekeningsgeometrie het 'n dubbele eksponensiële ergste geval- kompleksiteit . Meer presies, as d die maksimum graad van die invoer-polinome en n die aantal veranderlikes is, is die kompleksiteit daarvan hoogstens${\ displaystyle d ^ {2 ^ {cn}}}$vir sommige konstante c , en vir sommige insette is die kompleksiteit ten minste${\ displaystyle d ^ {2 ^ {c'n}}}$vir 'n ander konstante c '.

Gedurende die laaste 20 jaar van die 20ste eeu is verskillende algoritmes ingestel om spesifieke subprobleme met 'n beter kompleksiteit op te los. Die meeste van hierdie algoritmes het ingewikkeldheid${\ displaystyle d ^ {O (n ^ {2})}}$. ^{[ aanhaling nodig ]}

Onder hierdie algoritmes wat 'n subprobleem van die probleme wat deur Gröbner-basisse opgelos word, oplos, kan 'n mens die toetse noem as 'n affine-variëteit leeg is en nie- homogene polinoomstelsels met 'n beperkte aantal oplossings oplos. Sulke algoritmes word selde geïmplementeer omdat Faugère se F4- en F5-algoritmes op die meeste inskrywings 'n beter praktiese doeltreffendheid het en waarskynlik 'n soortgelyke of beter kompleksiteit ( waarskynlik omdat die evaluering van die kompleksiteit van Gröbner-basisalgoritmes op 'n bepaalde klas inskrywings 'n moeilike taak is is slegs in enkele spesiale gevalle gedoen).

Die hoofalgoritmes van regte algebraïese meetkunde wat 'n probleem oplos wat deur CAD opgelos word, hou verband met die topologie van semi-algebraïese versamelings. U kan die aantal gekoppelde komponente tel , toets of twee punte in dieselfde komponente is, of ' n Whitney-stratifikasie van 'n regte algebraïese versameling bereken . Hulle het 'n kompleksiteit van${\ displaystyle d ^ {O (n ^ {2})}}$, maar die konstante waarby O- notasie betrokke is, is so hoog dat dit onmoontlik is om dit te gebruik om enige nie-probleem op te los wat effektief deur CAD opgelos word, selfs al sou 'n mens al die bestaande rekenaarkrag in die wêreld kon gebruik. Daarom is hierdie algoritmes nooit geïmplementeer nie, en dit is 'n aktiewe navorsingsgebied om te soek na algoritmes met 'n goeie asimptotiese kompleksiteit en 'n goeie praktiese doeltreffendheid.

Die moderne benaderings tot algebraïese meetkunde herdefinieer en brei die reeks basiese voorwerpe op verskillende vlakke van algemeenheid uit tot skemas, formele skemas , ind-skemas , algebraïese ruimtes , algebraïese stapels , ensovoorts. Die behoefte hieraan spruit reeds uit die nuttige idees binne die teorie van variëteite, byvoorbeeld kan die formele funksies van Zariski geakkommodeer word deur nilpotente elemente in struktuurringe in te voer; oorweging van ruimtes van lusse en boë, konstruksie van kwosiënte deur groepaksies en die ontwikkeling van formele gronde vir natuurlike kruisingsteorie en vervormingsteorie, lei tot 'n paar verdere uitbreidings.

Opvallendste is dat algebraïese variëteite in die laat 1950's onder Alexander Grothendieck se konsep van 'n skema val . Hul plaaslike voorwerpe is affine-skemas of primêre spektrums, wat plaaslik geringe ruimtes vorm, wat 'n kategorie vorm wat gelykstaande is aan die kategorie kommutatiewe eenheidsringe, wat die dualiteit tussen die kategorie affine-algebraïese variëteite oor 'n veld k uitbrei , en die kategorie van eindig gegenereerde verminderde k -algebras. Die gom is volgens die Zariski-topologie; 'n mens kan binne die kategorie van lokaal geringe ruimtes gom, maar ook deur die Yoneda-inbedding te gebruik, binne die meer abstrakte kategorie van presheaves van versamelings oor die kategorie affine skemas. Die Zariski-topologie in die versamelde teoretiese sin word dan vervang deur 'n Grothendieck-topologie . Grothendieck het Grothendieck-topologieë bekendgestel met meer eksotiese, maar geometries fyner en sensitiewer voorbeelde as die kru Zariski-topologie, naamlik die étale topologie , en die twee plat Grothendieck-topologieë: fppf en fpqc; deesdae het enkele ander voorbeelde prominent geword, waaronder Nisnevich-topologie . Gerwe kan verder veralgemeen word na stapels in die sin van Grothendieck, gewoonlik met addisionele voorstelbaarheidstoestande wat lei tot Artin-stapels en, selfs fyner, Deligne-Mumford-stapels , albei dikwels algebraïese stapels genoem.

Soms vervang ander algebraïese terreine die kategorie affine-skemas. Byvoorbeeld, Nikolai Durov het kommutatiewe algebraïese Monads bekendgestel as 'n veralgemening van plaaslike voorwerpe in 'n algemene algebraïese meetkunde. Weergawes van 'n tropiese meetkunde , 'n absolute meetkunde oor 'n veld van een element en 'n algebraïese analoog van Arakelov se meetkunde is in hierdie opset gerealiseer.

'N Ander formele veralgemening is moontlik vir universele algebraïese meetkunde waarin elke verskeidenheid algebras sy eie algebraïese meetkunde het. Die term verskeidenheid algebras moet nie verwar word met algebraïese variëteit nie .

Die taal van skemas, stapels en veralgemenings is 'n waardevolle manier om geometriese begrippe te hanteer en word die hoeksteen van moderne algebraïese meetkunde.

Algebraïese stapels kan verder veralgemeen word, en vir baie praktiese vrae soos vervormingsteorie en kruisingsteorie, is dit dikwels die mees natuurlike benadering. 'N Mens kan die Grothendieck-terrein van affine-skemas uitbrei na 'n hoër kategoriese site van afgeleide affine-skemas , deur die kommutatiewe ringe te vervang deur 'n oneindige kategorie van gedifferensieerde kommutatiewe algebras , of eenvoudige kommutatiewe ringe of 'n soortgelyke kategorie deur 'n toepaslike variant van 'n Grothendieck. topologie. 'N Mens kan ook presheaves van stelle vervang deur presheaves van eenvoudige sets (of oneindige groepoïede). In die teenwoordigheid van 'n toepaslike homotopiese masjinerie kan 'n mens 'n begrip van afgeleide stapels ontwikkel as sodanige voorskof op die oneindige kategorie van afgeleide affine-skemas, wat voldoen aan sekere oneindige kategoriese weergawes van 'n gerfaksioom (en om algebraïes te wees, induktief 'n reeks) van verteenwoordigbaarheidstoestande). Quillen- modelkategorieë , Segal-kategorieë en kwasikategorieë is van die instrumente wat die meeste gebruik word om dit te formaliseer, wat die afgeleide algebraïese meetkunde lewer , wat deur die skool van Carlos Simpson bekendgestel is , waaronder Andre Hirschowitz, Bertrand Toën , Gabrielle Vezzosi, Michel Vaquié en ander; en verder ontwikkel deur Jacob Lurie , Bertrand Toën en Gabrielle Vezzosi . 'N Ander (nie-kommutatiewe) weergawe van afgeleide algebraïese meetkunde, met behulp van A-oneindigheidskategorieë, is sedert die vroeë negentigerjare ontwikkel deur Maxim Kontsevich en volgelinge.

Voor die 16de eeu

Sommige van die wortels van algebraïese meetkunde dateer uit die werk van die Hellenistiese Grieke uit die 5de eeu v.C. Die Delian-probleem was byvoorbeeld om 'n lengte x te konstrueer sodat die kubus van sy x dieselfde volume bevat as die reghoekige boks a ² b vir gegewe sye a en b . Menaechmus (ongeveer 350 vC) het die probleem meetkundig oorweeg deur die paar plat kegels te sny ay  =  x ² en xy  =  ab . ^[1] In die 3de eeu vC het Archimedes en Apollonius stelselmatig aanvullende probleme op kegelsnitte bestudeer deur koördinate te gebruik. ^{[1] [2]} Middeleeuse Moslem-wiskundiges , insluitend Ibn al-Haytham in die 10de eeu nC, ^[3] het sekere kubieke vergelykings met suiwer algebraïese middele opgelos en die resultate geometries geïnterpreteer. Die Persiese wiskundige Omar Khayyám (gebore 1048 nC) het 'n metode ontdek om kubieke vergelykings op te los deur 'n parabool met 'n sirkel te sny ^[4] en blyk die eerste te wees wat 'n algemene teorie van kubieke vergelykings bedink het. ^[5] Enkele jare na Omar Khayyám, word Sharaf al-Din al-Tusi se verhandeling oor vergelykings deur Roshdi Rashed beskryf as 'ingewyding van die begin van algebraïese meetkunde'. ^[6] Jeffrey Oaks, wat beweer dat die studie van krommes deur middel van vergelykings sy oorsprong by Descartes in die sewentiende eeu, het kritiek hierop gelewer. ^[7]

Renaissance

Sulke tegnieke om geometriese konstruksies op algebraïese probleme toe te pas, is ook deur 'n aantal Renaissance- wiskundiges soos Gerolamo Cardano en Niccolò Fontana "Tartaglia" toegepas in hul studie van die kubieke vergelyking. Die meetkundige benadering van konstruksieprobleme, eerder as die algebraïese, is bevoordeel deur die meeste wiskundiges uit die 16de en 17de eeu, veral Blaise Pascal, wat teen die gebruik van algebraïese en analitiese metodes in meetkunde aangevoer het. ^[8] Die Franse wiskundiges Franciscus Vieta en later René Descartes en Pierre de Fermat het 'n rewolusie vir die konvensionele manier van dink oor konstruksieprobleme deur die bekendstelling van koördinaatmeetkunde . Hulle was hoofsaaklik geïnteresseerd in die eienskappe van algebraïese kurwes , soos dié wat deur Diophantine-vergelykings (in die geval van Fermat) gedefinieer word , en die algebraïese herformulering van die klassieke Griekse werke oor kegels en kubieke (in die geval van Descartes).

Gedurende dieselfde tydperk het Blaise Pascal en Gérard Desargues meetkunde vanuit 'n ander perspektief benader en die sintetiese opvattings van projektiewe meetkunde ontwikkel . Pascal en Desargues het ook kurwes bestudeer, maar uit die suiwer geometriese oogpunt: die analoog van die Griekse heerser en kompaskonstruksie . Uiteindelik het die analitiese meetkunde van Descartes en Fermat gewen, want dit het die 18de eeuse wiskundiges voorsien van konkrete kwantitatiewe instrumente wat nodig is om fisiese probleme te bestudeer met behulp van die nuwe calculus van Newton en Leibniz . Teen die einde van die 18de eeu is die algebraïese karakter van die koördinaatgeometrie egter ondervang deur die berekening van die oneindige diere van Lagrange en Euler .

19de en vroeë 20ste eeu

Dit het die gelyktydige ontwikkeling van die 19de eeu van nie-Euklidiese meetkunde en Abeliese integrale geneem om die ou algebraïese idees weer in die geometriese vou te bring. Die eerste van hierdie nuwe ontwikkelings is aangegryp deur Edmond Laguerre en Arthur Cayley , wat gepoog het om die algemene metriekeienskappe van die projektiewe ruimte te bepaal. Cayley het die idee van homogene polinoomvorme , en meer spesifiek kwadratiese vorms , in die projektiewe ruimte bekendgestel . Vervolgens bestudeer Felix Klein projektiewe meetkunde (saam met ander soorte meetkunde) vanuit die oogpunt dat die meetkunde in 'n ruimte in 'n sekere klas transformasies in die ruimte gekodeer is . Teen die einde van die 19de eeu het projeksiewe geometers meer algemene soorte transformasies op figure in die projektiewe ruimte bestudeer. In plaas van die projektiewe lineêre transformasies wat normaalweg beskou word as die fundamentele Kleiniese meetkunde oor die projeksiewe ruimte, het hulle hulself ook besig gehou met die hoër graad van birasionele transformasies . Hierdie swakker idee van kongruensie sou later daartoe lei dat lede van die 20ste eeuse Italiaanse skool vir algebraïese meetkunde algebraïese oppervlaktes kon klassifiseer tot birasionele isomorfisme .

Die tweede vroeë 19de eeuse ontwikkeling, dié van Abeliese integrale, sou Bernhard Riemann lei tot die ontwikkeling van Riemann-oppervlaktes .

In dieselfde tydperk het die algebraïisering van die algebraïese meetkunde deur kommutatiewe algebra begin . Die prominente resultate in hierdie rigting is Hilbert se basisstelling en Hilbert se Nullstellensatz , wat die basis vorm van die verband tussen algebraïese meetkunde en kommutatiewe algebra, en Macaulay se meerveranderlike resultant , wat die basis is van die eliminasieteorie . As gevolg van die grootte van die berekening wat deur meervoudige resultate geïmpliseer word, is die eliminasieteorie in die middel van die 20ste eeu vergete totdat dit hernu is deur die singulariteitsteorie en algebraïese meetkunde. ^[a]

20ste eeu

BL van der Waerden , Oscar Zariski en André Weil het 'n grondslag ontwikkel vir algebraïese meetkunde gebaseer op hedendaagse kommutatiewe algebra , insluitend waardasieteorie en die teorie van ideale . Een van die doelwitte was om 'n noukeurige raamwerk te gee om die resultate van die Italiaanse skool vir algebraïese meetkunde te bewys . In die besonder het hierdie skool stelselmatig die begrip generiese punt sonder enige presiese definisie gebruik, wat die eerste keer deur die outeurs gedurende die dertigerjare gegee is.

In die vyftiger- en sestigerjare het Jean-Pierre Serre en Alexander Grothendieck die fondamente hersaamgestel deur gebruik te maak van gerfteorie . Later, vanaf ongeveer 1960, en grotendeels gelei deur Grothendieck, is die idee van skemas uitgewerk, tesame met 'n baie verfynde apparaat vir homologiese tegnieke . Na 'n dekade van vinnige ontwikkeling het die veld in die 1970's gestabiliseer, en nuwe toepassings is gedoen op die getalleteorie en op meer klassieke geometriese vrae oor algebraïese variëteite, singulariteite , moduli en formele moduli .

'N Belangrike klas variëteite, wat nie maklik direk verstaan ​​kan word uit hul definisievergelykings nie, is die abeliese variëteite , dit is die projektiewe variëteite waarvan die punte 'n abeliese groep vorm . Die prototipiese voorbeelde is die elliptiese kurwes met 'n ryk teorie. Dit was instrumenteel in die bewys van Fermat se laaste stelling en word ook gebruik in kriptografie met elliptiese kromme .

Parallel met die abstrakte tendens van die algebraïese meetkunde, wat te make het met algemene stellings oor variëteite, is daar ook metodes ontwikkel vir effektiewe berekening met konkreet gegewe variëteite, wat lei tot die nuwe gebied van berekeningsalgebraïese meetkunde. Een van die stigtingsmetodes in hierdie gebied is die teorie van Gröbner-basisse , wat in 1965 deur Bruno Buchberger bekendgestel is. ' N Ander stigtingsmetode, meer spesiaal gewy aan regte algebraïese meetkunde, is die silindriese algebraïese ontbinding , wat deur George E. Collins in 1973 bekendgestel is .

Kyk ook: afgeleide algebraïese meetkunde .

'N Analitiese variëteit word plaaslik gedefinieer as die versameling algemene oplossings van verskeie vergelykings wat analitiese funksies insluit . Dit is analoog aan die ingeslote konsep van werklike of komplekse algebraïese verskeidenheid . Enige komplekse spruitstuk is 'n analitiese verskeidenheid. Aangesien analitiese variëteite enkele punte kan hê , is nie alle analitiese variëteite nie.

Moderne analitiese meetkunde is in wese gelykstaande aan werklike en komplekse algebraïese meetkunde, soos deur Jean-Pierre Serre getoon in sy referaat GAGA , waarvan die naam Frans is vir algebraïese meetkunde en analitiese meetkunde . Nietemin bly die twee velde onderskeidelik, aangesien die bewysmetodes heel anders is en algebraïese meetkunde ook meetkunde in eindige eienskappe insluit .

Algebraïese meetkunde vind nou toepassings in statistieke , ^[9] beheerteorie , ^{[10] [11]} robotika , ^[12] foutkorrigerende kodes , ^[13] filogenetika ^[14] en meetkundige modellering . ^[15] Daar is ook verbindings met snaarteorie , ^[16] spelteorie , ^[17] grafiekpassings , ^[18] solitons ^[19] en heelgetalprogrammering . ^[20]

Bronne

• Kline, M. (1972). Wiskundige denke van antieke tot moderne tye . Jaargang 1. Oxford University Press. ISBN 0195061357. |volume=het ekstra teks ( hulp )

Sommige klassieke handboeke wat voorafgegaan is aan skemas

• van der Waerden, BL (1945). Einfuehrung in die algebraische Geometrie . Dover .
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994). Metodes van algebraïese meetkunde Deel 1 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46900-5. Zbl  0796.14001 .
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994). Metodes van algebraïese meetkunde Deel 2 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46901-2. Zbl  0796.14002 .
• Hodge, WVD ; Pedoe, Daniel (1994). Metodes van algebraïese meetkunde Jaargang 3 . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46775-9. Zbl  0796.14003 .

Moderne handboeke wat nie die taal van skemas gebruik nie

• Garrity, Thomas; et al. (2013). Algebraïese meetkunde 'n benadering tot probleemoplossing . Amerikaanse Wiskundige Vereniging . ISBN 978-0-821-89396-8.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Beginsels van algebraïese meetkunde . Wiley-Intercience . ISBN 978-0-471-05059-9. Zbl  0836.14001 .
• Harris, Joe (1995). Algebraïese Meetkunde 'n Eerste kursus . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97716-4. Zbl  0779.14001 .
• Mumford, David (1995). Algebraïese meetkunde I Komplekse projektiewe variëteite (2de uitg.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58657-9. Zbl  0821.14001 .
• Reid, Miles (1988). Voorgraadse algebraïese meetkunde . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-35662-6. Zbl  0701.14001 .
• Shafarevich, Igor (1995). Basiese algebraïese meetkunde I-variëteite in projektiewe ruimte (2de uitg.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-54812-8. Zbl  0797.14001 .

Handboeke in algebraïese meetkunde

• Cox, David A .; Klein, John; O'Shea, Donal (1997). Ideale, variëteite en algoritmes (2de uitg.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94680-1. Zbl  0861.13012 .
• Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2006). Algoritmes in regte algebraïese meetkunde . Springer-Verlag .
• González-Vega, Laureano; Recio, Tómas (1996). Algoritmes in algebraïese meetkunde en toepassings . Birkhaüser.
• Elkadi, Mohamed; Mourrain, Bernard; Piene, Ragni, reds. (2006). Algebraïese meetkunde en meetkundige modellering . Springer-Verlag .
• Dickenstein, Alicia ; Schreyer, Frank-Olaf; Sommese, Andrew J., reds. (2008). Algoritmes in algebraïese meetkunde . Die IMA-volumes in wiskunde en die toepassings daarvan. 146 . Springer . ISBN 9780387751559. LCCN  2007938208 .
• Cox, David A .; Little, John B .; O'Shea, Donal (1998). Gebruik algebraïese meetkunde . Springer-Verlag .
• Caviness, Bob F .; Johnson, Jeremy R. (1998). Kwantifiseerder eliminasie en silindriese algebraïese ontbinding . Springer-Verlag .

Handboeke en verwysings vir skemas

• Eisenbud, David ; Harris, Joe (1998). Die meetkunde van skemas . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98637-1. Zbl  0960.14002 .
• Grothendieck, Alexander (1960). Éléments de géométrie algébrique . Publikasies Mathématiques de l'IHÉS . Zbl  0118.36206 .
• Grothendieck, Alexander ; Dieudonné, Jean Alexandre (1971). Éléments de géométrie algébrique . 1 (2de uitg.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8. Zbl  0203.23301 .
• Hartshorne, Robin (1977). Algebraïese Meetkunde . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl  0367.14001 .
• Mumford, David (1999). Die Red Book of Varieties and Schemes bevat die Michigan-lesings oor kurwes en hul Jacobians (2de uitg.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-63293-1. Zbl  0945.14001 .
• Shafarevich, Igor (1995). Basiese algebraïese meetkunde II-skemas en ingewikkelde spruitstukke (2de uitg.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-57554-2. Zbl  0797.14002 .

• Grondslae van algebraïese meetkunde deur Ravi Vakil, 808 pp.
• Inskrywing van algebraïese meetkunde op PlanetMath
• Engelse vertaling van die van der Waerden-handboek
• Dieudonné, Jean (3 Maart 1972). "Die geskiedenis van algebraïese meetkunde" . Praat by die Departement Wiskunde van die Universiteit van Wisconsin – Milwaukee - via YouTube .
• The Stacks Project , 'n open source handboek en naslaanwerk oor algebraïese stapels en algebraïese meetkunde